Функционал Латтинджера – Уорда - Luttinger–Ward functional

В физике твердого тела , то Латтинжера Ward функционал , предложенный Хоакин Маздак Латтинжером и Джон Клайв Уорд в 1960 году, является скаляром функционал от голого электрон-электронного взаимодействия и перенормируется функции многих тел Грина . В терминах диаграмм Фейнмана функционал Латтинджера – Уорда представляет собой сумму всех замкнутых жирных двухчастичных неприводимых диаграмм, т. Е. Всех диаграмм без входящих или исходящих частиц, которые не разваливаются, если удалить две пропагаторные линии. Обычно его записывают как или , где - функция Грина, а - затравочное взаимодействие. ${\ displaystyle \ Phi [G]}$${\ displaystyle \ Phi [G, U]}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle U}$

Функционал Латтинджера – Уорда не имеет прямого физического смысла, но полезен при доказательстве законов сохранения .

Функционал тесно связан с функционалом Байма – Каданова, независимо построенным Гордоном Беймом и Лео Кадановым в 1961 году. Некоторые авторы используют эти термины как синонимы; если провести различие, то функционал Байма – Каданова идентичен двухчастичному неприводимому эффективному действию , которое отличается от функционала Латтинджера – Уорда тривиальным членом. ${\ displaystyle \ Gamma [G]}$

Строительство

Для системы, характеризующейся действием в терминах полей Грассмана , статистическая сумма может быть выражена как интеграл по путям : ${\ displaystyle S [c, {\ bar {c}}]}$ ${\ displaystyle c_ {i}, {\ bar {c}} _ {i}}$

${\ Displaystyle Z [J] = \ int \ mathrm {D} [c, {\ bar {c}}] \ exp \! {\ Big (} -S [c, {\ bar {c}}] + \ сумма _ {ij} {\ bar {c}} _ {i} J_ {ij} c_ {j} {\ Big)}}$ ,

где - поле бинарного источника. Путем разложения в ряд Дайсона можно найти, что это сумма всех (возможно, несвязных) замкнутых диаграмм Фейнмана. в свою очередь является производящим функционалом N-частичной функции Грина: ${\ displaystyle J}$${\ Displaystyle Z = Z [J = 0]}$${\ displaystyle Z [J]}$

${\ displaystyle G_ {i_ {1} j_ {1} \ ldots i_ {N} j_ {N}} = - \ langle c_ {i_ {1}} {\ bar {c}} _ {j_ {1}} \ cdots c_ {i_ {N}} {\ bar {c}} _ {j_ {N}} \ rangle = {\ frac {-1} {Z [0]}} \ left. {\ frac {\ delta ^ { N} Z [J]} {\ delta J_ {j_ {1} i_ {1}} \ cdots \ delta J_ {j_ {N} i_ {N}}}} \ right | _ {J = 0}}$

Теорема о связанных кластерах утверждает, что эффективное действие - это сумма всех замкнутых, связанных, голых диаграмм. в свою очередь является производящим функционалом для связной функции Грина. Например, функция Грина, связанная с двумя частицами, выглядит так: ${\ Displaystyle W = \ журнал Z}$${\ Displaystyle W [J] = \ журнал Z [J]}$

${\ displaystyle G_ {ijkl} ^ {\ mathrm {conn}} = - \ langle c_ {i} {\ bar {c}} _ {j} c_ {k} {\ bar {c}} _ {l} \ rangle + \ langle c_ {i} {\ bar {c}} _ {j} \ rangle \ langle c_ {k} {\ bar {c}} _ {l} \ rangle - \ langle c_ {i} {\ bar {c}} _ {l} \ rangle \ langle c_ {k} {\ bar {c}} _ {j} \ rangle = - \ left. {\ frac {\ delta ^ {2} W [J]} { \ delta J_ {ji} \ delta J_ {lk}}} \ right | _ {J = 0}}$

Для того, чтобы перейти к неприводимому двухчастичному (2ПИТЕ) эффективное действие, один выполны ют преобразование Лежандра по новому поля двоичного источника. В этой точке выбирается произвольно выпуклый в качестве источника и получается функционал 2PI, также известный как функционал Байма – Каданова: ${\ displaystyle W [J]}$ ${\ displaystyle G_ {ij}}$

${\ displaystyle \ Gamma [G] = {\ Big [} -W [J] - \ sum _ {ij} J_ {ij} G_ {ij} {\ Big]} _ {J = J [G]}}$   с   . ${\ displaystyle G_ {ij} = - {\ frac {\ delta W [J]} {\ delta J_ {ij}}}}$

В отличие от связного случая требуется еще один шаг для получения производящего функционала от двухчастичного неприводимого эффективного действия из-за наличия невзаимодействующей части. Вычитая его, получаем функционал Латтинджера – Уорда: ${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle \ Phi [G] = \ Gamma [G] - \ Gamma _ {0} [G] = \ Gamma [G] - \ mathrm {tr} \ log (-G) - \ mathrm {tr} (\ Сигма G)}$ ,

где есть собственная энергия . Следуя принципам доказательства теоремы о сцепленном кластере, можно показать, что это производящий функционал для двухчастичных неприводимых пропагаторов. ${\ displaystyle \ Sigma}$

Характеристики

На диаграмме функционал Латтинджера – Уорда представляет собой сумму всех замкнутых жирных двухчастичных неприводимых диаграмм Фейнмана (также известных как «скелетные» диаграммы):

Диаграммы замкнуты, так как у них нет внешних ветвей, т. Е. Нет частиц, входящих или выходящих из диаграммы. Они «смелые», потому что сформулированы в терминах взаимодействующего или жирного пропагатора, а не невзаимодействующего. Они двухчастично неприводимы, поскольку они не разъединяются, если мы разделим до двух фермионных линий.

Функционал Латтинджера – Уорда связан с огромным потенциалом системы: ${\ displaystyle \ Omega}$

${\ Displaystyle \ Omega = \ mathrm {tr} \ log (-G) + \ mathrm {tr} (\ Sigma G) + \ Phi \ left [G \ right]}$

${\ displaystyle \ Phi}$ является производящим функционалом для неприводимых вершинных величин: первая функциональная производная по дает собственную энергию , а вторая производная дает частично двухчастичную неприводимую четырехточечную вершину: ${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ Sigma _ {ij} = {\ frac {\ delta \ Phi} {\ delta G_ {ij}}}}$ ;   ${\ displaystyle \ Gamma _ {ijkl} = {\ frac {\ delta ^ {2} \ Phi} {\ delta G_ {ij} \ delta G_ {kl}}}}$

Хотя функционал Латтинджера – Уорда существует, можно показать, что он не уникален для моделей, подобных Хаббарду . В частности, неприводимые вершинные функции демонстрируют набор расхождений, из-за чего собственная энергия разделяется на причинное и непричинное (и, следовательно, нефизическое) решение. Однако, ограничивая собственную энергию причинными решениями, можно восстановить уникальность функционала.

Байм и Каданов показали, что любое схематическое усечение функционала Латтинджера – Уорда удовлетворяет набору законов сохранения. Поэтому приближения, эквивалентные такому усечению, называются сохраняющими или -выводимыми . Некоторые примеры: ${\ displaystyle \ Phi}$

• (Полностью самосогласованное) приближение GW эквивалентно усечению так называемых кольцевых диаграмм: (Кольцевая диаграмма состоит из пузырьков поляризации, соединенных линиями взаимодействия). ${\ displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle \ Phi [G] \ приблизительно GUG + GUGGUG + \ ldots}$
• Теория динамического среднего поля эквивалентна учету только чисто локальных диаграмм:, где - индексы узлов решетки. ${\ displaystyle \ Phi [G_ {ij}, U_ {ijkl}]}$${\ displaystyle \ приблизительно \ Phi [G_ {ii}, U_ {iiii}]}$${\ displaystyle i, j, k, l}$

Смотрите также

• Теорема Латтинжера
• Идентичность подопечного

Рекомендации