Лемниската Героно - Lemniscate of Gerono

Лемниската Джероно

В алгебраической геометрии , в лемниската жероно или лемнискаты Гюйгенса , или в виде восьмерки кривой , является плоской алгебраической кривой четвертой степени и род нуль и является лемниската кривой в форме , как символ, или цифры восемь. У него есть уравнение ${\ displaystyle \ infty}$

${\ displaystyle x ^ {4} -x ^ {2} + y ^ {2} = 0.}$

Его изучал Камилла-Кристоф Жероно .

Параметризация

Поскольку кривая имеет нулевой род, ее можно параметризовать рациональными функциями; один из способов сделать это

${\ displaystyle x = {\ frac {t ^ {2} -1} {t ^ {2} +1}}, \ y = {\ frac {2t (t ^ {2} -1)} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}}.}$

Другое представление

${\ Displaystyle х = \ соз \ varphi, \ y = \ sin \ varphi \, \ cos \ varphi = \ sin (2 \ varphi) / 2}$

что показывает, что эта лемниската является частным случаем фигуры Лиссажу .

Двойная кривая

Поэтому двойственная кривая (см. Формулу Плюккера ), изображенная ниже, имеет несколько иной характер. Его уравнение

${\ displaystyle (x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {3} + 8y ^ {4} + 20x ^ {2} y ^ {2} -x ^ {4} -16y ^ {2} = 0.}$

Двойной к лемнискате Джероно

Ссылки

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications . п. 124 . ISBN 0-486-60288-5.

внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Кривая в виде восьмерки" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.