Формула Клейна – Нишина - Klein–Nishina formula

Распределение Клейна – Нишины сечений углов рассеяния в диапазоне часто встречающихся энергий.

Формула Клейна-Нишины дает дифференциальное сечение от фотонов , рассеянных от одного свободного электрона в низшем порядке квантовой электродинамики . На низких частотах (например, в видимом свете ) это дает томсоновское рассеяние ; на более высоких частотах (например, рентгеновские лучи и гамма-лучи ) это приводит к комптоновскому рассеянию .

Для падающего неполяризованного фотона энергии дифференциальное сечение равно: ${\ displaystyle E _ {\ gamma}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} = {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {2} r_ {c} ^ {2} P (E _ {\ gamma}, \ theta) ^ {2} [P (E _ {\ gamma}, \ theta) + P (E _ {\ gamma}, \ theta) ^ {- 1} - \ sin ^ {2} (\ theta)]}$

где - дифференциальное сечение , - бесконечно малый элемент телесного угла , - постоянная тонкой структуры (~ 1 / 137,04), - угол рассеяния ; - «приведенная» комптоновская длина волны электрона (~ 0,38616 пм); - масса электрона (~ 511 кэВ ); и - отношение энергии фотонов после и до столкновения: ${\ displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}}}$${\ displaystyle d \ Omega}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle r_ {c} = \ hbar / m_ {e} c}$${\ displaystyle m_ {e}}$${\ displaystyle / c ^ {2}}$${\ Displaystyle P (E _ {\ gamma}, \ theta)}$

${\ Displaystyle P (E _ {\ gamma}, \ theta) = {\ frac {1} {1+ (E _ {\ gamma} / m_ {e} c ^ {2}) (1- \ cos \ theta)} } = {\ frac {\ lambda} {\ lambda '}}}$

Обратите внимание, что этот результат также может быть выражен через классический радиус электрона : ${\ displaystyle r_ {e} = \ alpha r_ {c}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} = {\ frac {1} {2}} r_ {e} ^ {2} \ left ({\ frac {\ lambda} {\ lambda ' }} \ right) ^ {2} \ left [{\ frac {\ lambda} {\ lambda '}} + {\ frac {\ lambda'} {\ lambda}} - \ sin ^ {2} (\ theta) \правильно]}$

Хотя эта классическая величина не особенно актуальна в квантовой электродинамике, ее легко понять: в прямом направлении (для ~ 0) фотоны рассеиваются от электронов, как если бы они были примерно (~ 2,8179 фм) в линейном измерении и (~ 7,9406) x10 ⁻³⁰ м ² или 79,406 мб). ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle r_ {e} = \ alpha r_ {c}}$${\ displaystyle r_ {e} ^ {2}}$

Если входящий фотон поляризован, рассеянный фотон больше не изотропен по отношению к азимутальному углу. Для линейно поляризованного фотона, рассеянного свободным электроном в покое, дифференциальное сечение вместо этого определяется как:

${\ displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} = {\ frac {1} {2}} r_ {e} ^ {2} \ left ({\ frac {\ lambda} {\ lambda ' }} \ right) ^ {2} \ left [{\ frac {\ lambda} {\ lambda '}} + {\ frac {\ lambda'} {\ lambda}} - 2 \ sin ^ {2} (\ theta ) \ cos ^ {2} (\ phi) \ right]}$

где - азимутальный угол рассеяния. Обратите внимание, что неполяризованное дифференциальное сечение может быть получено путем усреднения по . ${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ соз ^ {2} (\ фи)}$

Формула Клейна – Нишина была выведена в 1928 году Оскаром Клейном и Йошио Нишиной и была одним из первых результатов, полученных при изучении квантовой электродинамики . Учет релятивистских и квантово-механических эффектов позволил разработать точное уравнение рассеяния излучения на электроне-мишени. До этого вывода, сечение электронов были получены классическим английским физиком и открыватель электрона , Томсон . Однако эксперименты по рассеянию показали значительные отклонения от результатов, предсказанных сечением Томсона. Дальнейшие эксперименты по рассеянию полностью совпали с предсказаниями формулы Клейна – Нишины.

Заметим, что если , и формула Клейна – Нишины сводится к классическому выражению Томсона. ${\ displaystyle E _ {\ gamma} \ ll m_ {e} c ^ {2}}$${\ Displaystyle P (E _ {\ gamma}, \ theta) \ rightarrow 1}$

Конечная энергия рассеянного фотона зависит только от угла рассеяния и исходной энергии фотона, поэтому ее можно вычислить без использования формулы Клейна – Нишины: ${\ displaystyle E _ {\ gamma} '}$

${\ Displaystyle E _ {\ gamma} '(E _ {\ gamma}, \ theta) = E _ {\ gamma} \ cdot P (E _ {\ gamma}, \ theta) \,}$

Смотрите также

• Синхротронное излучение
• Ёсио Нишина
• Оскар Кляйн

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Эванс, RD (1955). Атомное ядро . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 674–676. OCLC   542611 .
• Мелиссинос, AC (1966). Эксперименты в современной физике . Нью-Йорк: Academic Press. С. 252–265. ISBN   0-12-489850-5 .
• Klein, O .; Нишина Ю. (1994). «О рассеянии излучения на свободных электронах в соответствии с новой релятивистской квантовой динамикой Дирака». В Ekspong, Gösta (ред.). Лекции памяти Оскара Клейна, Vol. 2: Лекции Ханса А. Бете и Алана Х. Гута с переведенными репринтами Оскара Кляйна . Сингапур: World Scientific. С. 113–139.