Уравнения кинематики - Kinematics equations

Уравнения кинематики - это уравнения связи механической системы, такой как робот- манипулятор, которые определяют, как входное движение в одном или нескольких суставах определяет конфигурацию устройства для достижения положения задачи или положения конечного исполнительного элемента. Уравнения кинематики используются для анализа и проектирования шарнирно-сочлененных систем, от четырехзвенных рычагов до последовательных и параллельных роботов.

Уравнения кинематики - это уравнения связей, которые характеризуют геометрическую конфигурацию шарнирно-сочлененной механической системы. Следовательно, эти уравнения предполагают, что звенья жесткие, а соединения обеспечивают чистое вращение или поступательное движение. Уравнения связи этого типа известны как голономные связи при изучении динамики систем многих тел.

Уравнения цикла

Уравнения кинематики механической системы формируются как последовательность жестких преобразований вдоль звеньев и вокруг соединений в механической системе. Принцип, согласно которому последовательность преобразований вокруг цикла должна возвращаться к идентичности, обеспечивает то, что известно как уравнения цикла. Независимый набор кинематических уравнений собирается из различных наборов петлевых уравнений, имеющихся в механической системе.

Трансформации

В 1955 году Жак Денави и Ричард Хартенберг ввели соглашение для определения совместных матриц [Z] и матриц связей [X], чтобы стандартизировать системы координат для пространственных связей. Это соглашение позиционирует соединительную раму так, чтобы она состояла из винтового смещения по оси Z

${\ displaystyle [Z_ {i}] = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta _ {i} & - \ sin \ theta _ {i} & 0 & 0 \\\ sin \ theta _ {i} & \ cos \ theta _ {i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_ {i} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}},}$

и он позиционирует раму звена так, чтобы она состояла из винтового смещения по оси X,

${\ displaystyle [X_ {i}] = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_ {i, i + 1} \\ 0 & \ cos \ alpha _ {i, i + 1} & - \ sin \ alpha _ {i, i +1} & 0 \\ 0 & \ sin \ alpha _ {i, i + 1} & \ cos \ alpha _ {i, i + 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Уравнения кинематики получены с использованием жесткого преобразования [Z] для характеристики относительного перемещения, разрешенного в каждом соединении, и отдельного жесткого преобразования [X] для определения размеров каждого звена.

Результатом является последовательность жестких преобразований, чередующихся преобразований суставов и звеньев от основания цепи, вокруг петли и обратно к основанию, чтобы получить уравнение петли,

${\ displaystyle [Z_ {1}] [X_ {1}] [Z_ {2}] [X_ {2}] \ ldots [X_ {n-1}] [Z_ {n}] = [I]. \! }$

Серия преобразований равна единичной матрице, потому что они возвращаются в начало цикла.

Последовательные цепи

Уравнения кинематики для последовательного цепного робота получаются путем формулирования петлевых уравнений в терминах преобразования [T] от основания к рабочему элементу, которое приравнивается к серии преобразований вдоль робота. В результате

${\ displaystyle [T] = [Z_ {1}] [X_ {1}] [Z_ {2}] [X_ {2}] \ ldots [X_ {n-1}] [Z_ {n}], \! }$

Эти уравнения называются уравнениями кинематики последовательной цепи.

Параллельные цепи

Уравнения кинематики для параллельной цепи или параллельного робота, образованного конечным эффектором, поддерживаемым несколькими последовательными цепями, получаются из уравнений кинематики каждой из поддерживающих последовательных цепей. Предположим, что m последовательных цепей поддерживают конечный эффектор, тогда преобразование от основания к конечному результату определяется m уравнениями,

${\ Displaystyle [T] = [Z_ {1, j}] [X_ {1, j}] [Z_ {2, j}] [X_ {2, j}] \ ldots [X_ {n-1, j} ] [Z_ {n, j}], \ quad j = 1, \ ldots, m. \!}$

Эти уравнения являются уравнениями кинематики параллельной цепочки.

Кинематические уравнения для линейного движения

Существует три основных кинематических уравнения линейного (и, как правило, равномерного) движения. Эти

• v = u + при
• v ² = u ² + 2 как
• s = ut + 1/2в ²

Помимо этих уравнений, есть еще одно уравнение, которое вступает в игру, когда нам нужно найти расстояние (или, точнее, смещение), пройденное за n-ю секунду. Уравнение:

• sn =1/2 а (2 п - 1)

Прямая кинематика

Уравнения кинематики последовательных и параллельных роботов можно рассматривать как связывающие параметры, такие как углы сочленения, которые находятся под управлением исполнительных механизмов, с положением и ориентацией [T] рабочего органа.

С этой точки зрения уравнения кинематики можно использовать двумя разными способами. Первая вызванная прямая кинематика использует указанные значения параметров соединения для вычисления положения и ориентации рабочего органа. Вторая, называемая обратная кинематика, использует положение и ориентацию рабочего органа для вычисления значений параметров сустава.

Примечательно, что в то время как прямая кинематика последовательной цепи представляет собой прямое вычисление одного матричного уравнения, прямая кинематика параллельной цепочки требует одновременного решения нескольких матричных уравнений, что представляет собой серьезную проблему.

использованная литература