В прикладной математике функции Кельвина ber ν ( x ) и bei ν ( x ) являются действительной и мнимой частями соответственно
J
ν
(
Икс
е
3
π
я
4
)
,
{\ displaystyle J _ {\ nu} \ left (xe ^ {\ frac {3 \ pi i} {4}} \ right), \,}
где x вещественно, а J ν ( z ) - функция Бесселя ν- го порядка первого рода. Аналогично, функции ker ν ( x ) и kei ν ( x ) являются действительной и мнимой частями соответственно
K
ν
(
Икс
е
π
я
4
)
,
{\ displaystyle K _ {\ nu} \ left (xe ^ {\ frac {\ pi i} {4}} \ right), \,}
где K ν ( z ) - модифицированная функция Бесселя ν- го порядка второго рода.
Эти функции названы в честь Уильяма Томсона, 1-го барона Кельвина .
Хотя функции Кельвина определены как действительная и мнимая части функций Бесселя, где x считается действительным, функции могут быть аналитически продолжены для комплексных аргументов xe iφ , 0 ≤ φ <2 π . За исключением ber n ( x ) и bei n ( x ) для целого n , функции Кельвина имеют точку ветвления при x = 0.
Ниже Γ ( z ) - гамма-функция, а ψ ( z ) - дигамма-функция .
бер ( х )
ber (
x ) для
x от 0 до 20.
б
е
р
(
Икс
)
/
е
Икс
/
2
{\ Displaystyle \ mathrm {ber} (х) / е ^ {х / {\ sqrt {2}}}}
для
x от 0 до 50.
Для целых n ber n ( x ) имеет разложение в ряд
б
е
р
п
(
Икс
)
знак равно
(
Икс
2
)
п
∑
k
≥
0
потому что
[
(
3
п
4
+
k
2
)
π
]
k
!
Γ
(
п
+
k
+
1
)
(
Икс
2
4
)
k
,
{\ displaystyle \ mathrm {ber} _ {n} (x) = \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {n} \ sum _ {k \ geq 0} {\ frac {\ cos \ left [\ left ({\ frac {3n} {4}} + {\ frac {k} {2}} \ right) \ pi \ right]} {k! \ Gamma (n + k + 1)} } \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4}} \ right) ^ {k},}
где Γ ( z ) - гамма-функция . Частный случай ber 0 ( x ), обычно обозначаемый просто ber ( x ), имеет разложение в ряд
б
е
р
(
Икс
)
знак равно
1
+
∑
k
≥
1
(
-
1
)
k
[
(
2
k
)
!
]
2
(
Икс
2
)
4
k
{\ displaystyle \ mathrm {ber} (x) = 1 + \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {(-1) ^ {k}} {[(2k)!] ^ {2}}} \ влево ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {4k}}
и асимптотический ряд
б
е
р
(
Икс
)
∼
е
Икс
2
2
π
Икс
(
ж
1
(
Икс
)
потому что
α
+
грамм
1
(
Икс
)
грех
α
)
-
k
е
я
(
Икс
)
π
{\ displaystyle \ mathrm {ber} (x) \ sim {\ frac {e ^ {\ frac {x} {\ sqrt {2}}}} {\ sqrt {2 \ pi x}}} \ left (f_ { 1} (x) \ cos \ alpha + g_ {1} (x) \ sin \ alpha \ right) - {\ frac {\ mathrm {kei} (x)} {\ pi}}}
,
где
α
знак равно
Икс
2
-
π
8
,
{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {x} {\ sqrt {2}}} - {\ frac {\ pi} {8}},}
ж
1
(
Икс
)
знак равно
1
+
∑
k
≥
1
потому что
(
k
π
/
4
)
k
!
(
8
Икс
)
k
∏
л
знак равно
1
k
(
2
л
-
1
)
2
{\ displaystyle f_ {1} (x) = 1 + \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {\ cos (k \ pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} \ prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}}
грамм
1
(
Икс
)
знак равно
∑
k
≥
1
грех
(
k
π
/
4
)
k
!
(
8
Икс
)
k
∏
л
знак равно
1
k
(
2
л
-
1
)
2
.
{\ displaystyle g_ {1} (x) = \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {\ sin (k \ pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} \ prod _ { l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.}
bei ( x )
bei (
x ) для
x от 0 до 20.
б
е
я
(
Икс
)
/
е
Икс
/
2
{\ Displaystyle \ mathrm {bei} (х) / е ^ {х / {\ sqrt {2}}}}
для
x от 0 до 50.
Для целых n , bei n ( x ) имеет разложение в ряд
б
е
я
п
(
Икс
)
знак равно
(
Икс
2
)
п
∑
k
≥
0
грех
[
(
3
п
4
+
k
2
)
π
]
k
!
Γ
(
п
+
k
+
1
)
(
Икс
2
4
)
k
.
{\ displaystyle \ mathrm {bei} _ {n} (x) = \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {n} \ sum _ {k \ geq 0} {\ frac {\ sin \ left [\ left ({\ frac {3n} {4}} + {\ frac {k} {2}} \ right) \ pi \ right]} {k! \ Gamma (n + k + 1)} } \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4}} \ right) ^ {k}.}
Частный случай bei 0 ( x ), обычно обозначаемый как bei ( x ), имеет разложение в ряд
б
е
я
(
Икс
)
знак равно
∑
k
≥
0
(
-
1
)
k
[
(
2
k
+
1
)
!
]
2
(
Икс
2
)
4
k
+
2
{\ displaystyle \ mathrm {bei} (x) = \ sum _ {k \ geq 0} {\ frac {(-1) ^ {k}} {[(2k + 1)!] ^ {2}}} \ влево ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {4k + 2}}
и асимптотический ряд
б
е
я
(
Икс
)
∼
е
Икс
2
2
π
Икс
[
ж
1
(
Икс
)
грех
α
-
грамм
1
(
Икс
)
потому что
α
]
-
k
е
р
(
Икс
)
π
,
{\ displaystyle \ mathrm {bei} (x) \ sim {\ frac {e ^ {\ frac {x} {\ sqrt {2}}}} {\ sqrt {2 \ pi x}}} [f_ {1} (x) \ sin \ alpha -g_ {1} (x) \ cos \ alpha] - {\ frac {\ mathrm {ker} (x)} {\ pi}},}
где α, и определяются как для бер ( х ).
ж
1
(
Икс
)
{\ displaystyle f_ {1} (х)}
грамм
1
(
Икс
)
{\ displaystyle g_ {1} (х)}
ker ( x )
ker (
x ) для
x от 0 до 14.
k
е
р
(
Икс
)
е
Икс
/
2
{\ Displaystyle \ mathrm {ker} (х) е ^ {х / {\ sqrt {2}}}}
для
x от 0 до 50.
Для целых n , ker n ( x ) имеет разложение в (сложный) ряд
k
е
р
п
(
Икс
)
знак равно
-
пер
(
Икс
2
)
б
е
р
п
(
Икс
)
+
π
4
б
е
я
п
(
Икс
)
+
1
2
(
Икс
2
)
-
п
∑
k
знак равно
0
п
-
1
потому что
[
(
3
п
4
+
k
2
)
π
]
(
п
-
k
-
1
)
!
k
!
(
Икс
2
4
)
k
+
1
2
(
Икс
2
)
п
∑
k
≥
0
потому что
[
(
3
п
4
+
k
2
)
π
]
ψ
(
k
+
1
)
+
ψ
(
п
+
k
+
1
)
k
!
(
п
+
k
)
!
(
Икс
2
4
)
k
.
{\ Displaystyle {\ begin {align} & \ mathrm {ker} _ {n} (x) = - \ ln \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ mathrm {ber} _ {n } (x) + {\ frac {\ pi} {4}} \ mathrm {bei} _ {n} (x) \\ & + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {x } {2}} \ right) ^ {- n} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ cos \ left [\ left ({\ frac {3n} {4}} + {\ frac { k} {2}} \ right) \ pi \ right] {\ frac {(nk-1)!} {k!}} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4}} \ right) ^ {k} \\ & + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {n} \ sum _ {k \ geq 0} \ cos \ left [\ left ({\ frac {3n} {4}} + {\ frac {k} {2}} \ right) \ pi \ right] {\ frac {\ psi (k + 1) + \ psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4}} \ right) ^ {k}. \ end {align}}}
Частный случай ker 0 ( x ), обычно обозначаемый как ker ( x ), имеет разложение в ряд
k
е
р
(
Икс
)
знак равно
-
пер
(
Икс
2
)
б
е
р
(
Икс
)
+
π
4
б
е
я
(
Икс
)
+
∑
k
≥
0
(
-
1
)
k
ψ
(
2
k
+
1
)
[
(
2
k
)
!
]
2
(
Икс
2
4
)
2
k
{\ displaystyle \ mathrm {ker} (x) = - \ ln \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ mathrm {ber} (x) + {\ frac {\ pi} {4} } \ mathrm {bei} (x) + \ sum _ {k \ geq 0} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ psi (2k + 1)} {[(2k)!] ^ {2} }} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4}} \ right) ^ {2k}}
и асимптотический ряд
k
е
р
(
Икс
)
∼
π
2
Икс
е
-
Икс
2
[
ж
2
(
Икс
)
потому что
β
+
грамм
2
(
Икс
)
грех
β
]
,
{\ displaystyle \ mathrm {ker} (x) \ sim {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} e ^ {- {\ frac {x} {\ sqrt {2}}}} [f_ { 2} (x) \ cos \ beta + g_ {2} (x) \ sin \ beta],}
где
β
знак равно
Икс
2
+
π
8
,
{\ displaystyle \ beta = {\ frac {x} {\ sqrt {2}}} + {\ frac {\ pi} {8}},}
ж
2
(
Икс
)
знак равно
1
+
∑
k
≥
1
(
-
1
)
k
потому что
(
k
π
/
4
)
k
!
(
8
Икс
)
k
∏
л
знак равно
1
k
(
2
л
-
1
)
2
{\ displaystyle f_ {2} (x) = 1 + \ sum _ {k \ geq 1} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ cos (k \ pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} \ prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}}
грамм
2
(
Икс
)
знак равно
∑
k
≥
1
(
-
1
)
k
грех
(
k
π
/
4
)
k
!
(
8
Икс
)
k
∏
л
знак равно
1
k
(
2
л
-
1
)
2
.
{\ displaystyle g_ {2} (x) = \ sum _ {k \ geq 1} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ sin (k \ pi / 4)} {k! (8x) ^ { k}}} \ prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.}
кей ( х )
kei (
x ) для
x от 0 до 14.
k
е
я
(
Икс
)
е
Икс
/
2
{\ Displaystyle \ mathrm {kei} (х) е ^ {х / {\ sqrt {2}}}}
для
x от 0 до 50.
Для целого n kei n ( x ) имеет разложение в ряд
k
е
я
п
(
Икс
)
знак равно
-
пер
(
Икс
2
)
б
е
я
п
(
Икс
)
-
π
4
б
е
р
п
(
Икс
)
-
1
2
(
Икс
2
)
-
п
∑
k
знак равно
0
п
-
1
грех
[
(
3
п
4
+
k
2
)
π
]
(
п
-
k
-
1
)
!
k
!
(
Икс
2
4
)
k
+
1
2
(
Икс
2
)
п
∑
k
≥
0
грех
[
(
3
п
4
+
k
2
)
π
]
ψ
(
k
+
1
)
+
ψ
(
п
+
k
+
1
)
k
!
(
п
+
k
)
!
(
Икс
2
4
)
k
.
{\ Displaystyle {\ begin {align} & \ mathrm {kei} _ {n} (x) = - \ ln \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ mathrm {bei} _ {n } (x) - {\ frac {\ pi} {4}} \ mathrm {ber} _ {n} (x) \\ & - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {x } {2}} \ right) ^ {- n} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ sin \ left [\ left ({\ frac {3n} {4}} + {\ frac { k} {2}} \ right) \ pi \ right] {\ frac {(nk-1)!} {k!}} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4}} \ right) ^ {k} \\ & + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {n} \ sum _ {k \ geq 0} \ sin \ left [\ left ({\ frac {3n} {4}} + {\ frac {k} {2}} \ right) \ pi \ right] {\ frac {\ psi (k + 1) + \ psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4}} \ right) ^ {k}. \ end {align}}}
Частный случай kei 0 ( x ), обычно обозначаемый просто kei ( x ), имеет разложение в ряд
k
е
я
(
Икс
)
знак равно
-
пер
(
Икс
2
)
б
е
я
(
Икс
)
-
π
4
б
е
р
(
Икс
)
+
∑
k
≥
0
(
-
1
)
k
ψ
(
2
k
+
2
)
[
(
2
k
+
1
)
!
]
2
(
Икс
2
4
)
2
k
+
1
{\ displaystyle \ mathrm {kei} (x) = - \ ln \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ mathrm {bei} (x) - {\ frac {\ pi} {4} } \ mathrm {ber} (x) + \ sum _ {k \ geq 0} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ psi (2k + 2)} {[(2k + 1)!] ^ { 2}}} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4}} \ right) ^ {2k + 1}}
и асимптотический ряд
k
е
я
(
Икс
)
∼
-
π
2
Икс
е
-
Икс
2
[
ж
2
(
Икс
)
грех
β
+
грамм
2
(
Икс
)
потому что
β
]
,
{\ displaystyle \ mathrm {kei} (x) \ sim - {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} e ^ {- {\ frac {x} {\ sqrt {2}}}} [f_ {2} (x) \ sin \ beta + g_ {2} (x) \ cos \ beta],}
где β , f 2 ( x ) и g 2 ( x ) определены как для ker ( x ).
Смотрите также
Ссылки
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 9» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 379. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
Olver, FWJ; Максимон, LC (2010), «Функции Бесселя» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
внешние ссылки
Вайсштейн, Эрик В. «Функции Кельвина». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. [1]
Исходный код C / C ++ под лицензией GPL для вычисления функций Кельвина на codecogs.com: [2]
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">