Уравнение Ишимори - Ishimori equation

Уравнение Ишимори - это уравнение в частных производных, предложенное японским математиком Ишимори (1984) . Его интерес представляет как первый пример нелинейной модели поля со спином единицы в плоскости, которая интегрируема ( Sattinger, Tracy & Venakides, 1991 , стр. 78).

Уравнение

Уравнение Ишимори имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {S}} {\ partial t}} = \ mathbf {S} \ wedge \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {S}} {\ частичный x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {S}} {\ partial y ^ {2}}} \ right) + {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} {\ frac {\ partial \ mathbf {S}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} {\ frac {\ partial \ mathbf {S}} {\ частичный x}}, \ qquad (1a)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} - \ alpha ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ { 2}}} = - 2 \ alpha ^ {2} \ mathbf {S} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {S}} {\ partial x}} \ wedge {\ frac {\ partial \ mathbf {S}} {\ partial y}} \ right). \ qquad (1b)}$

Слабое представление

Представление Лакса

${\ Displaystyle L_ {t} = AL-LA \ qquad (2)}$

уравнения задается

${\ Displaystyle L = \ Sigma \ partial _ {x} + \ alpha I \ partial _ {y}, \ qquad (3a)}$

${\ Displaystyle A = -2i \ Sigma \ partial _ {x} ^ {2} + (- я \ Sigma _ {x} -i \ alpha \ Sigma _ {y} \ Sigma + u_ {y} I- \ alpha ^ {3} u_ {x} \ Sigma) \ partial _ {x}. \ Qquad (3b)}$

Здесь

${\ Displaystyle \ Sigma = \ сумма _ {j = 1} ^ {3} S_ {j} \ sigma _ {j}, \ qquad (4)}$

являются матрицы Паули и является единичной матрицей. ${\ displaystyle \ sigma _ {я}}$${\ displaystyle I}$

Скидки

Уравнение Ишимори допускает важную редукцию: в размерности 1 + 1 оно сводится к непрерывному классическому уравнению ферромагнетика Гейзенберга (CCHFE). CCHFE является интегрируемым.

Эквивалентный аналог

Эквивалентным аналогом уравнения Ишимори является уравнение Дэви-Стюартсона .

Смотрите также

• Нелинейное уравнение Шредингера.
• Модель Гейзенберга (классическая)
• Спиновая волна
• Модель Ландау – Лифшица.
• Солитон
• Вихрь
• Нелинейные системы
• Уравнение Дэви – Стюартсона

Рекомендации

• Гутшабаш, Э.Ш. (2003), «Обобщенное преобразование Дарбу в модели магнита Ишимори на фоне спиральных структур», JETP Letters , 78 (11): 740–744, arXiv : nlin / 0409001 , Bibcode : 2003JETPL..78..740G , doi : 10.1134 / 1.1648299
• Ишимори, Юджи (1984), "Многовихревые решения двумерного нелинейного волнового уравнения", Прог. Теор. Phys. , 72 : 33-37, Bibcode : 1984PThPh..72 ... 33i , DOI : 10,1143 / PTP.72.33 , MR  0760959
• Конопельченко, Б.Г. (1993), Солитоны в многомерности , World Scientific, ISBN 978-981-02-1348-0
• Мартина, Л .; Profilo, G .; Soliani, G .; Соломбрино, Л. (1994), "Нелинейные возбуждения в гамильтоновой модели спинового поля в 2 + 1 измерениях", Phys. Rev. B , 49 (18): 12915-12922, Bibcode : 1994PhRvB..4912915M , DOI : 10,1103 / PhysRevB.49.12915
• Sattinger, Дэвид Х .; Трейси, Калифорния; Венакидес, С., ред. (1991), Обратное рассеяние и приложения , Современная математика, 122 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, DOI : 10.1090 / conm / 122 , ISBN 0-8218-5129-2, Руководство по ремонту  1135850
• Sung, Li-Енг (1996), "Задача Коши для уравнения Ишимори", журнал функционального анализа , 139 : 29-67, DOI : 10,1006 / jfan.1996.0078

Внешние ссылки

• Ishimori_system в вики по дисперсионным уравнениям