Неточное дифференциальное уравнение - Inexact differential equation

Неточное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением вида (см также: неточное дифференциала )

{\ displaystyle M (x, y) \, dx + N (x, y) \, dy = 0, {\ text {where}} {\ frac {\ partial M} {\ partial y}} \ neq {\ frac {\ partial N} {\ partial x}}.}

Решение таких уравнений пришло с изобретением интегрирующего фактора по Леонарду Эйлеру в 1739 году.

Метод решения

Чтобы решить уравнение, нам нужно преобразовать его в точное дифференциальное уравнение . Для этого нам нужно найти интегрирующий коэффициент, на который умножить уравнение. Начнем с самого уравнения. , так что получаем . Нам потребуется удовлетворить . Мы получили ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle M \, dx + N \, dy = 0}$ ${\ Displaystyle \ му М \, dx + \ му N \, dy = 0}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ textstyle {\ frac {\ partial \ mu M} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial \ mu N} {\ partial x}}}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} M + {\ frac {\ partial M} {\ partial y}} \ mu = {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x} } N + {\ frac {\ partial N} {\ partial x}} \ mu.}

После упрощения получаем

{\ Displaystyle M \ mu _ {y} -N \ mu _ {x} + (M_ {y} -N_ {x}) \ mu = 0.}

Поскольку это уравнение в частных производных , его в большинстве случаев чрезвычайно сложно решить, однако в некоторых случаях мы получим либо или , и в этом случае нам нужно только найти с помощью линейного дифференциального уравнения первого порядка или разделяемого дифференциального уравнения , и как такой либо ${\ Displaystyle \ му (х, у) = \ му (х)}$ ${\ Displaystyle \ му (х, у) = \ му (у)}$ ${\ displaystyle \ mu}$