Импульсная инвариантность - Impulse invariance

Импульсная инвариантность - это метод разработки фильтров с дискретным временем и бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) на основе фильтров с непрерывным временем, в которых импульсная характеристика системы с непрерывным временем дискретизируется для получения импульсной характеристики системы с дискретным временем. Частотная характеристика системы с дискретным временем будет суммой сдвинутых копий частотной характеристики системы с непрерывным временем; если система с непрерывным временем приблизительно ограничена полосой частот до частоты ниже частоты Найквиста выборки, то частотная характеристика системы с дискретным временем будет приблизительно равна ей для частот ниже частоты Найквиста.

Обсуждение

Импульсная характеристика системы с непрерывным временем дискретизируется с периодом дискретизации для получения импульсной характеристики системы с дискретным временем . ${\ displaystyle h_ {c} (t)}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ Displaystyle ч [п]}$

{\ displaystyle h [n] = Th_ {c} (nT) \,}

Таким образом, частотные характеристики двух систем связаны соотношением

{\ displaystyle H (e ^ {j \ omega}) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {H_ {c} \ left (j {\ frac {\ omega} {T}} + j {\ frac {2 {\ pi}} {T}} k \ right)} \,}

Если фильтр непрерывного времени приблизительно ограничен полосой (т. Е. Когда ), то частотная характеристика системы с дискретным временем будет приблизительно соответствовать частотной характеристике системы непрерывного времени для частот ниже π радиан на выборку (ниже частоты Найквиста 1 / ( 2 Тл ) Гц): ${\ displaystyle H_ {c} (j \ Omega) <\ delta}$ ${\ displaystyle | \ Omega | \ geq \ pi / T}$

{\ Displaystyle H (е ^ {J \ omega}) = H_ {c} (J \ omega / T) \,}

за

{\ Displaystyle | \ омега | \ leq \ pi \,}

Сравнение с билинейным преобразованием

Обратите внимание, что наложение будет происходить, в том числе наложение ниже частоты Найквиста, до такой степени, что отклик фильтра непрерывного времени будет отличным от нуля выше этой частоты. Билинейной преобразования является альтернативой импульсной инвариантности , которая использует различные отображения , который отображает частоты непрерывного времени системы ответа, к бесконечной частоте, в диапазоне частот вплоть до частоты Найквиста в дискретном случае, в отличие от отображения частоты линейно с круговым перекрытием, как это делает импульсная инвариантность.

Влияние на полюса в работе системы

Если непрерывные полюса в , системная функция может быть записана в разложении частичной дроби как ${\ displaystyle s = s_ {k}}$

{\ displaystyle H_ {c} (s) = \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {A_ {k}} {s-s_ {k}}} \,}

Таким образом, с помощью обратного преобразования Лапласа импульсная характеристика равна

{\ displaystyle h_ {c} (t) = {\ begin {cases} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {A_ {k} e ^ {s_ {k} t}}, & t \ geq 0 \ \ 0, & {\ mbox {иначе}} \ end {case}}}

Соответствующая импульсная характеристика системы с дискретным временем определяется следующим образом:

{\ displaystyle h [n] = Th_ {c} (nT) \,}

{\ displaystyle h [n] = T \ sum _ {k = 1} ^ {N} {A_ {k} e ^ {s_ {k} nT} u [n]} \,}

Выполнение z-преобразования импульсной характеристики с дискретным временем дает следующую системную функцию с дискретным временем

{\ displaystyle H (z) = T \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {A_ {k}} {1-e ^ {s_ {k} T} z ^ {- 1}}} \,}

Таким образом , полюс от системной функции непрерывного времени, переводятся полюса при г = е ^{сек _к Т} . Нули, если они есть, отображаются не так просто.

Полюса и нули

Если системная функция имеет нули, а также полюса, они могут быть отображены таким же образом, но результат больше не является результатом импульсной инвариантности: импульсный отклик в дискретном времени не равен просто выборкам импульсного отклика в непрерывном времени. Этот метод известен как метод согласованного Z-преобразования или отображение полюс-ноль.

Стабильность и причинность

Поскольку полюса в системе с непрерывным временем при s = s _k преобразуются в полюсы в системе с дискретным временем при z = exp ( s _k T ), полюса в левой половине s- плоскости отображаются внутрь единичного круга в z -плоскость; поэтому, если фильтр непрерывного времени является причинным и стабильным, то фильтр дискретного времени также будет причинным и стабильным.

Исправленная формула

Когда причинно-следственная импульсная характеристика с непрерывным временем имеет разрыв в точке , приведенные выше выражения несовместимы. Это происходит потому , что имеют разные правые и левые пределы, и должно действительно только способствовать их среднему, половина его правильного значения , к . ${\ displaystyle t = 0}$ ${\ displaystyle h_ {c} (0)}$ ${\ displaystyle h_ {c} (0 _ {+})}$ ${\ displaystyle h [0]}$