Разрешение Годема - Godement resolution

Разрешение Годемана из пучка является построением в гомологической алгебре , что позволяет просматривать глобальную, когомологическую информацию о пучке в терминах локальной информации , поступающих от своих стеблей. Это полезно для вычисления когомологий пучков . Его открыл Роджер Годеман .

Строительство Годемента

Для топологического пространства X (в более общем смысле, топоса X с достаточным количеством точек) и пучка F на X конструкция Годемана для F дает пучок, построенный следующим образом. Для каждой точки позвольте обозначить стержень F в x . Учитывая открытый набор , определите ${\ displaystyle \ operatorname {Gode} (F)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle F_ {x}}$${\ Displaystyle U \ substeq X}$

${\ displaystyle \ operatorname {Gode} (F) (U): = \ prod _ {x \ in U} F_ {x}.}$

Открытое подмножество явно индуцирует отображение ограничений , так же как и предпучок . Один проверяет пучок аксиома легко. Также легко доказывается, что это дряблый , то есть каждое отображение ограничения сюръективно. Отображение можно превратить в функтор, потому что отображение между двумя пучками индуцирует отображения между их стеблями. Наконец, существует каноническая карта пучков, которая отправляет каждую секцию в «продукт» ее ростков . Эта каноническая карта представляет собой естественное преобразование между функтором тождества и . ${\ Displaystyle U \ substeq V}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Gode} (F) (V) \ rightarrow \ OperatorName {Gode} (F) (U)}$${\ displaystyle \ operatorname {Gode} (F)}$${\ displaystyle \ operatorname {Gode} (F)}$${\ displaystyle \ operatorname {Gode}}$${\ displaystyle F \ to \ operatorname {Gode} (F)}$${\ displaystyle \ operatorname {Gode}}$

Другой способ просмотра выглядит следующим образом. Позвольте быть множество X с дискретной топологией. Позвольте быть непрерывное отображение, индуцированное тождеством. Он индуцирует сопряженные функторы прямого и обратного изображения и . Тогда , а единицей этого присоединения является естественное преобразование, описанное выше. ${\ displaystyle \ operatorname {Gode}}$${\ displaystyle X _ {\ text {диск}}}$${\ displaystyle p \ двоеточие X _ {\ text {disc}} \ to X}$${\ displaystyle p _ {*}}$${\ displaystyle p ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ operatorname {Gode} = p _ {*} \ circ p ^ {- 1}}$

Из - за это примыкание, есть связанная с ним монада на категории пучков на X . Используя эту монаду, можно превратить пучок F в коаугментированный косимплициальный пучок. Это coaugmented косимплициальную пучок приводит к появлению дополненному коцепного комплексу , который определяется как разрешение Годемана из F .

В более приземленных терминах let и let обозначают каноническую карту. Для каждого , пусть обозначают , и пусть обозначают каноническое отображение. В результате разрешением является вялым разрешением F , и его когомологией является пучком когомологиями из F . ${\ Displaystyle G_ {0} (F) = \ operatorname {Gode} (F)}$${\ displaystyle d_ {0} \ двоеточие F \ rightarrow G_ {0} (F)}$${\ displaystyle i> 0}$${\ Displaystyle G_ {я} (F)}$${\ displaystyle \ operatorname {Gode} (\ operatorname {coker} (d_ {i-1}))}$${\ displaystyle d_ {i} \ двоеточие G_ {i-1} \ rightarrow G_ {i}}$

Ссылки

• Годеман, Роджер (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Париж: Hermann, MR  0345092
• Weibel, Чарльз А. (1994), Введение в гомологической алгебре , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9781139644136 , ISBN 978-0-521-55987-4, MR  1269324