Генетическая алгебра - Genetic algebra

В математической генетике генетическая алгебра - это (возможно, неассоциативная ) алгебра, используемая для моделирования наследования в генетике. Некоторые вариации этих алгебр называются поезда алгебра , специальные поезда алгебра , гаметы алгебры , Bernstein алгебра , связочная алгебра , зиготическая алгебра и Барические алгебры (также называется взвешенная алгебра ). Изучение этих алгебр было начато Айвором Этерингтоном  ( 1939 ).

В приложениях к генетике эти алгебры часто имеют основу, соответствующую генетически различным гаметам , а структурная константа алгебры кодирует вероятности получения потомства различных типов. Затем законы наследования кодируются как алгебраические свойства алгебры.

Обзоры генетических алгебр см. В Bertrand (1966) , Wörz-Busekros (1980) и Reed (1997) .

Барические алгебры

Барические алгебры (или весовые алгебры) были введены Этерингтоном (1939) . Бариевая алгебра над полем   K является , возможно , не-ассоциативной алгеброй над  K вместе с гомоморфизмом  ш , называется весом, от алгебры до  K .

Алгебры Бернштейна

Алгебра Бернштейна, основанная на работе Сергея Натановича Бернштейна  ( 1923 ) о законе Харди – Вайнберга в генетике, является (возможно, неассоциативной) барической алгеброй B над полем K с гомоморфизмом весов w из B в K, удовлетворяющим . Каждая такая алгебра имеет идемпотенты e вида с . Разложения Пирса из B , соответствующие е является ${\ Displaystyle (х ^ {2}) ^ {2} = ш (х) ^ {2} х ^ {2}}$${\ Displaystyle е = а ^ {2}}$${\ Displaystyle ш (а) = 1}$

${\ displaystyle B = Ke \ oplus U_ {e} \ oplus Z_ {e}}$

где и . Хотя эти подпространства зависят от е , их размеры инвариантны и представляют собой тип из B . Исключительная Бернштейн алгебра одна с . ${\ displaystyle U_ {e} = \ {a \ in \ ker w: ea = a / 2 \}}$${\ Displaystyle Z_ {е} = \ {а \ ин \ кер ш: еа = 0 \}}$${\ displaystyle U_ {e} ^ {2} = 0}$

Копулярные алгебры

Копулярные алгебры были введены Этерингтоном (1939 , раздел 8).

Эволюционные алгебры

Эволюция алгебра над полем является алгеброй с базисом , на котором умножение определяется произведением различных базисных терминов равно нуль , а квадрат каждого базисного элемента , являющегося линейная форма базисных элементов. Реальная эволюция алгебра одна определен над переАльсом: это неотрицательное , если структурные константы в линейной форме все неотрицательные. Алгебра эволюции обязательно коммутативна и гибка, но не обязательно ассоциативна или ассоциативна по степени .

Гаметические алгебры

Гаметы алгебра является конечно-мерной вещественной алгеброй , для которой все структурных константы лежат между 0 и 1.

Генетические алгебры

Генетические алгебры были введены Шафер (1949), который показал, что специальные обучающие алгебры являются генетическими алгебрами, а генетические алгебры - обучающими алгебрами.

Специальные обучающие алгебры

Специальные обучающие алгебры были введены Этерингтоном (1939 , раздел 4) как частные случаи барических алгебр.

Специальная алгебра поездов - это барическая алгебра, в которой ядро N весовой функции нильпотентно, а главные степени N являются идеалами.

Этерингтон (1941) показал, что специальные обучающие алгебры являются обучающими алгебрами.

Обучение алгебрам

Тренировочные алгебры были введены Этерингтоном (1939 , раздел 4) как частные случаи барических алгебр.

Позвольте быть элементы поля K с . Формальный многочлен ${\ Displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {n}}$${\ displaystyle 1 + c_ {1} + \ cdots + c_ {n} = 0}$

${\ displaystyle x ^ {n} + c_ {1} w (x) x ^ {n-1} + \ cdots + c_ {n} w (x) ^ {n}}$

- поездный многочлен . Барическая алгебра B веса w является обучающей алгеброй, если

${\ displaystyle a ^ {n} + c_ {1} w (a) a ^ {n-1} + \ cdots + c_ {n} w (a) ^ {n} = 0}$

для всех элементов , с определяются как основные полномочия, . ${\ displaystyle a \ in B}$${\ Displaystyle а ^ {к}}$${\ Displaystyle (а ^ {к-1}) а}$

Зиготические алгебры

Зиготические алгебры были введены Этерингтоном (1939 , раздел 7).

использованная литература

• Бернштейн, С. Н. (1923), «Принцип стационарной и общей деформации Менделя», CR Acad. Sci. Париж , 177 : 581–584 .
• Бертран, Моник (1966), Algèbres non-associatives et algèbres génétiques , Mémorial des Sciences Mathématiques, Fasc. 162, Gauthier-Villars Éditeur, Париж, MR   0215885
• Этерингтон, IMH (1939), "Генетические алгебры" (PDF) , Proc. Рой. Soc. Эдинбург , 59 : 242–258, MR   0000597 , Zbl   0027.29402 , заархивировано из оригинала (PDF) на 2011-07-06
• Etherington, IMH (1941), "Специальные алгебры поезд", Ежеквартальный журнал математики , вторая серия, 12 : 1-8, DOI : 10,1093 / qmath / Os-12.1.1 , ISSN   0033-5606 , JFM   67.0093.04 , Руководство по ремонту   0005111 , Zbl   0027.29401
• Любич, Ю.И. (2001) [1994], "Проблема Бернштейна в математической генетике" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Микали, А. (2001) [1994], "Барическая алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Микали, А. (2001) [1994], "Алгебра Бернштейна" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Рид, Мэри Линн (1997), "Алгебраическая структура генетического наследования", Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 34 (2): 107-130, DOI : 10,1090 / S0273-0979-97-00712-X , ISSN   0002-9904 , MR   1414973 , Zbl   0876.17040
• Шефер, Ричард Д. (1949), "Структура генетических алгебр", Американский журнал математики , 71 : 121-135, DOI : 10,2307 / 2372100 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372100 , MR   0027751
• Тиан, Цзяньцзюнь Пол (2008), Эволюционные алгебры и их приложения , Лекционные заметки по математике, 1921 , Берлин: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-74283-8 , Zbl   1136,17001
• Вёрц-Бусекрос, Анжелика (1980), Алгебры в генетике , Лекционные заметки по биоматематике, 36 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-09978-1 , Руководство по ремонту   0599179
• Вёрц-Бусекрос, А. (2001) [1994], "Генетическая алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press

дальнейшее чтение

• Любич, Ю.И. (1983), Математические структуры в популяционной генетике. (Математические структуры в популярной генетике) , Киев: Наукова думка, Zbl   0593.92011.