Дробное вейвлет-преобразование - Fractional wavelet transform

Дробное вейвлет-преобразование (FRWT) является обобщением классического вейвлет-преобразования (WT). Это преобразование предлагается для того, чтобы устранить ограничения WT и дробного преобразования Фурье (FRFT). FRWT наследует преимущества анализа WT с множественным разрешением и имеет возможность представления сигналов в дробной области, которая аналогична FRFT.

Определение

Дробное преобразование Фурье (FRFT) обобщение преобразования Фурье (FT), служит полезным и мощным инструментом анализа в оптике, связи, обработке сигналов и изображений и т. Д. Это преобразование, однако, имеет один существенный недостаток из-за использования глобального ядро, т. е. дробное представление Фурье обеспечивает только такое спектральное содержание FRFT без указания временной локализации спектральных компонентов FRFT. Следовательно, анализ нестационарных сигналов, спектральные характеристики FRFT которых меняются со временем, требует совместного представления сигналов как во временной области, так и в области FRFT, а не только в представлении в области FRFT.

Первой модификацией FRFT, позволяющей анализировать вышеупомянутые нестационарные сигналы, стала кратковременная FRFT (STFRFT). Идея, лежащая в основе STFRFT, заключалась в сегментировании сигнала с использованием окна, локализованного во времени, и выполнении спектрального анализа FRFT для каждого сегмента. Поскольку FRFT вычислялся для каждого оконного сегмента сигнала, STFRFT смог обеспечить истинное совместное представление сигнала как во временной области, так и в области FRFT. Однако недостатком является то, что STFRFT имеет ограничение фиксированной ширины окна, которое необходимо фиксировать априори; это фактически означает, что он не обеспечивает требуемого хорошего разрешения как во временной области, так и в области FRFT. Другими словами, эффективность методов STFRFT ограничена фундаментальным принципом неопределенности, который подразумевает, что узкие окна обеспечивают хорошее временное разрешение, но плохое спектральное разрешение, тогда как широкие окна обеспечивают хорошее спектральное разрешение, но плохое временное разрешение. Большинство сигналов, представляющих практический интерес, таковы, что они имеют высокие спектральные компоненты для коротких длительностей и низкие спектральные компоненты для больших длительностей.

В качестве обобщения вейвлет-преобразования Мендлович и Дэвид впервые ввели дробное вейвлет-преобразование (FRWT) как способ работы с оптическими сигналами, которое было определено как каскад FRFT и обычного вейвлет-преобразования (WT), т. Е.

${\ displaystyle {\ begin {align} W ^ {\ alpha} (a, b) & = {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ int \ limits _ {\ mathbb {R}} \ int \ limits _ {\ mathbb {R}} {\ mathcal {K}} _ {\ alpha} (u, t) f (t) \ psi ^ {\ ast} \ left ({\ frac {ub} {a} } \ right) dtdu \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ int \ limits _ {\ mathbb {R}} \ left (\ int \ limits _ {\ mathbb {R}} f (t) {\ mathcal {K}} _ {\ alpha} (u, t) dt \ right) \ psi ^ {\ ast} \ left ({\ frac {ub} {a}} \ right) du \ \ & = {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ int \ limits _ {\ mathbb {R}} F ​​_ {\ alpha} (u) \ psi ^ {\ ast} \ left ({\ frac {ub} {a}} \ right) du \\\ конец {выровнено}}}$

где ядро ​​преобразования определяется выражением ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} _ {\ alpha} (и, т)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {\ alpha} (u, t) = {\ begin {cases} A _ {\ alpha} e ^ {j {\ frac {u ^ {2} + t ^ {2 }} {2}} \ cot \ alpha -jut \ csc \ alpha}, & \ alpha \ neq k \ pi \\\ delta (tu), & \ alpha = 2k \ pi \\\ delta (t + u) , & \ alpha = (2k-1) \ pi \\\ end {case}}}$

где , и обозначает FRFT . Но его нельзя рассматривать как своего рода совместное представление FRFT-области времени, поскольку информация о времени теряется в этом преобразовании. Более того, Прасад и Махато выразили обычную WT сигнала в терминах FRFT сигнала и материнского вейвлета, а также назвали это выражение FRWT. То есть, ${\ displaystyle A _ {\ alpha} = {\ sqrt {{(1-j \ cot \ alpha)} / {2 \ pi}}}}$${\ Displaystyle F _ {\ alpha} (и)}$${\ displaystyle f (t)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left (W _ {\ psi} ^ {\ alpha} f \ right) (b, a) & = {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ int \ пределы _ {\ mathbb {R}} f (t) \ psi ^ {\ ast} \ left ({\ frac {tb} {a}} \ right) dt \\ & = {\ frac {\ csc \ alpha} {4 \ pi ^ {2}}} \ int \ limits _ {\ mathbb {R}} F ​​(u \ sin \ alpha) \ Psi ^ {\ ast} (au \ sin \ alpha) e ^ {j {\ frac {u ^ {2}} {4}} (1-a ^ {2}) \ sin 2 \ alpha -jbu} du \\\ конец {выровнено}}}$

где и обозначают FT (с масштабированием их аргументов через ) и , соответственно. Ясно, что этот так называемый FRWT идентичен обычному WT. ${\ Displaystyle F (и \ грех \ альфа)}$${\ Displaystyle \ пси (и \ грех \ альфа)}$${\ Displaystyle \ грех \ альфа}$${\ displaystyle f (t)}$${\ Displaystyle \ psi (т)}$

Недавно Shi et al. предложил новое определение FRWT, введя новую структуру дробной свертки, связанную с FRFT. В частности, FRWT любой функции определяется как [8] ${\ Displaystyle е (т) \ в L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle W_ {е} ^ {\ альфа} (a, b) = {\ mathcal {W}} ^ {\ alpha} [f (t)] (a, b) = \ int \ limits _ {\ mathbb {R}} f (t) \ psi _ {\ alpha, a, b} ^ {\ ast} (t) \, dt}$

где - непрерывное аффинное преобразование и чирп-модуляция материнского вейвлета , т. е. ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha, a, b} (t)}$${\ Displaystyle \ psi (т)}$

${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha, a, b} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ psi \ left ({\ frac {tb} {a}} \ right) e ^ {- j {\ frac {t ^ {2} -b ^ {2}} {2}} \ cot \ alpha}}$

в которых и - параметры масштабирования и трансляции соответственно. Наоборот, обратный FRWT определяется как ${\ Displaystyle а \ ин \ mathbb {R ^ {+}}}$${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {2 \ pi C _ {\ psi}}} \ int \ limits _ {\ mathbb {R}} \ int \ limits _ {\ mathbb {R} ^ { +}} W_ {f} ^ {\ alpha} (a, b) \ psi _ {\ alpha, a, b} (t) {\ frac {da} {a ^ {2}}} db}$

где - константа, которая зависит от используемого вейвлета. Успех реконструкции зависит от этой константы, называемой константой допустимости, чтобы удовлетворять следующему условию допустимости: ${\ displaystyle C _ {\ psi}}$

${\ Displaystyle C _ {\ psi} = \ int \ limits _ {\ mathbb {R}} {\ frac {| \ Psi (\ Omega) | ^ {2}} {| \ Omega |}} \, d \ Omega <\ infty}$

где обозначает FT of . Условие допустимости подразумевает то , что есть . Следовательно, непрерывные дробные вейвлеты должны колебаться и вести себя как полосовые фильтры в дробной области Фурье. С этой точки зрения FRWT можно выразить в терминах представления FRFT-области как ${\ Displaystyle \ Psi (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ psi (т)}$${\ Displaystyle \ Psi (0) = 0}$${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} \ psi (t) dt = 0}$${\ displaystyle f (t)}$

${\ displaystyle W_ {f} ^ {\ alpha} (a, b) = \ int \ limits _ {\ mathbb {R}} {{\ sqrt {2 \ pi a}} F _ {\ alpha} (u) \ Psi ^ {\ ast} (au \ csc \ alpha)} {\ mathcal {K}} _ {\ alpha} ^ {\ ast} (u, b) du}$

где указывает FRFT , а обозначает FT (с его аргументом, масштабированным на ) . Обратите внимание, что когда FRWT сводится к классическому WT. Подробнее об этом типе FRWT см. [8] и. ${\ Displaystyle F _ {\ alpha} (и)}$${\ displaystyle f (t)}$${\ Displaystyle \ пси (и \ csc \ альфа)}$${\ displaystyle \ csc \ alpha}$${\ Displaystyle \ psi (т)}$${\ displaystyle \ alpha = {\ pi} / {2}}$

Анализ множественного разрешения (MRA), связанный с дробным вейвлет-преобразованием

Полный обзор MRA и ортогональных дробных вейвлетов, связанных с FRWT, можно найти в статье.

Рекомендации