Кривая контракта - Contract curve

Синяя кривая точек, эффективных по Парето, в точках касания кривых безразличия в поле Эджворта . Если первоначальное распределение двух товаров находится в точке, отличной от этого локуса, то два человека могут торговать до точки на эффективном локусе в пределах линзы, образованной кривыми безразличия, на которых они изначально находились. Набор всех этих эффективных точек, до которых можно было бы торговать, и есть кривая контракта.
На приведенном ниже графике начальные одаренности этих двух людей находятся в точке X на кривой безразличия Кельвина K ₁ и кривой безразличия Джейн J ₁ . Оттуда они могли согласиться на взаимовыгодную торговлю в любую точку линзы, образованной этими кривыми безразличия. Но единственные точки, из которых не существует взаимовыгодной торговли, - это точки соприкосновения между кривыми безразличия двух людей, например, точка E. Кривая контракта - это совокупность этих касаний кривых безразличия внутри линзы - это кривая, идущая вверх. вправо и проходит через точку E.

В микроэкономике , то кривая контракта является множество точек , представляющих конечных распределения двух товаров между двумя людьми , которые могут возникнуть в результате взаимовыгодной торговли между этими людьми дали свои первоначальные распределения товара. Все точки в этом локусе являются эффективными по Парето распределениями, что означает, что из любой из этих точек нет перераспределения, которое могло бы сделать одного из людей более удовлетворенным его или ее распределением, но не сделало бы другого менее удовлетворенным. Контрактная кривая - это подмножество точек, эффективных по Парето, которые могут быть достигнуты при торговле из первоначальных запасов людей двумя товарами. Он изображен на диаграмме Эджворта, показанной здесь, на которой распределение каждого человека измеряется по вертикали для одного товара и по горизонтали для другого товара из происхождения этого человека (точка нулевого распределения обоих товаров); происхождение одного человека - это нижний левый угол прямоугольника Эджворта, а происхождение другого человека - верхний правый угол поля. Первоначальные запасы людей (начальные распределения двух благ) представлены точкой на диаграмме; двое людей будут торговать друг с другом товарами до тех пор, пока взаимовыгодные сделки не прекратятся. Набор точек, в которых они теоретически могут остановиться, - это точки на кривой контракта.

Однако большинство авторов идентифицируют контрактную кривую как весь эффективный по Парето локус от одного источника к другому.

Любое вальрасовское равновесие лежит на контрактной кривой. Как и все точки, эффективные по Парето , каждая точка кривой контракта является точкой соприкосновения между кривой безразличия одного человека и кривой безразличия другого человека. Таким образом, на кривой контракта предельная норма замещения одинакова для обоих людей.

пример

Предположим, что существует экономика с двумя агентами, Октавио и Эбби, которые потребляют два товара X и Y, из которых есть фиксированные запасы, как показано на приведенной выше диаграмме Эджворта. Далее, предположим, что между Октавио и Эбби начальное распределение (снабжение) благами, и пусть каждый из них имеет нормально структурированные (выпуклые) предпочтения, представленные кривыми безразличия , выпуклыми по отношению к соответствующему происхождению людей. Если первоначальное распределение не находится в точке соприкосновения между кривой безразличия Октавио и одной из Эбби, то это первоначальное распределение должно быть в точке, где кривая безразличия Октавио пересекает кривую безразличия Эбби. Эти две кривые безразличия образуют форму линзы с начальным расположением в одном из двух углов линзы. Октавио и Эбби предпочтут совершать взаимовыгодные сделки - то есть они будут торговать до точки, которая находится на лучшей (более удаленной от начала) кривой безразличия для обоих. Такая точка будет внутри линзы, и скорость обмена одного товара на другой будет находиться между предельной скоростью замещения Октавио и Эбби. Поскольку сделки всегда приносят каждому человеку больше одного товара и меньше другого, торговля приводит к движению вверх и влево или вниз и вправо на диаграмме.

Эти два человека будут продолжать торговать до тех пор, пока предельная норма замещения каждого из них (абсолютное значение наклона кривой безразличия человека в этой точке) отличается от таковой у другого человека при текущем распределении (в этом случае будет взаимоприемлемое соотношение обмена одного товара на другой между различными предельными ставками замещения). В момент, когда предельная норма замещения Октавио равна предельной норме замещения Эбби, взаимовыгодный обмен невозможен. Эта точка называется равновесием, эффективным по Парето . В поле Эджворта это точка, в которой кривая безразличия Октавио касается кривой безразличия Эбби, и находится внутри линзы, образованной их начальными выделениями.

Таким образом, кривая контракта, набор точек, в которых могли бы оказаться Октавио и Эбби, представляет собой участок эффективного по Парето локуса, который находится внутри линзы, образованной начальным распределением. Анализ не может сказать, в какой конкретной точке контрактной кривой они окажутся - это зависит от навыков ведения переговоров между двумя людьми.

Математическое объяснение

В случае двух товаров и двух людей кривую контракта можно найти следующим образом. Здесь относится к окончательному количеству блага 2, выделенному лицу 1 и т. Д., И относится к конечным уровням полезности, испытываемым человеком 1 и лицом 2 соответственно, относится к уровню полезности, которое человек 2 получил бы от первоначального распределения без торговля вообще, а и относятся к фиксированному общему количеству товаров 1 и 2, соответственно. ${\ displaystyle x_ {2} ^ {1}}$${\ displaystyle u ^ {1}}$${\ displaystyle u ^ {2}}$${\ displaystyle u_ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {tot}}$${\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {tot}}$

${\ displaystyle \ max _ {x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}, x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}} u ^ {1} (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1})}$

при условии:

${\ displaystyle x_ {1} ^ {1} + x_ {1} ^ {2} \ leq \ omega _ {1} ^ {tot}}$

${\ displaystyle x_ {2} ^ {1} + x_ {2} ^ {2} \ leq \ omega _ {2} ^ {tot}}$

${\ displaystyle u ^ {2} (x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}) \ geq u_ {0} ^ {2}}$

Эта задача оптимизации гласит, что товары должны быть распределены между двумя людьми таким образом, чтобы не более чем доступное количество каждого товара распределялось между двумя людьми вместе, а полезность первого лица должна быть как можно выше, пока сделать полезность второго человека не ниже, чем при первоначальном распределении (чтобы второе лицо не отказывалось торговать от первоначального распределения до найденной точки); эта формулировка задачи находит на линзе точку, эффективную по Парето, как можно дальше от места происхождения человека 1. Это точка, которая была бы достигнута, если бы у человека 1 была вся сила на переговорах. (Фактически, чтобы создать хотя бы легкий стимул для человека 2 согласиться торговать до определенной точки, точка должна быть немного внутри линзы.)

Чтобы проследить всю кривую контракта, указанная выше задача оптимизации может быть изменена следующим образом. Максимизируйте средневзвешенное значение полезностей людей 1 и 2 с весами b и 1 - b , при условии, что распределение каждого товара не превышает его предложение, и с учетом ограничений, согласно которым полезности обоих людей должны быть не менее их полезности при начальных затратах:

${\ displaystyle \ max _ {x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}, x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}} b \ cdot u ^ {1 } (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}) + (1-b) \ cdot u ^ {2} (x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2 })}$

при условии:

${\ displaystyle x_ {1} ^ {1} + x_ {1} ^ {2} \ leq \ omega _ {1} ^ {tot}}$

${\ displaystyle x_ {2} ^ {1} + x_ {2} ^ {2} \ leq \ omega _ {2} ^ {tot}}$

${\ displaystyle u ^ {1} (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}) \ geq u_ {0} ^ {1}}$

${\ displaystyle u ^ {2} (x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}) \ geq u_ {0} ^ {2}}$

где - полезность, которую человек 1 получил бы, если бы не торговал за пределами начального капитала. Варьируя весовой параметр b , можно проследить всю кривую контракта: если b = 1, проблема такая же, как и в предыдущей задаче, и она определяет эффективную точку на одном крае линзы, образованную кривыми безразличия исходной эндаумент; если b = 0, весь вес приходится на полезность человека 2, а не человека 1, и поэтому оптимизация определяет эффективную точку на другом крае линзы. Поскольку b плавно изменяется между этими двумя крайностями, все промежуточные точки на кривой контракта отслеживаются. ${\ displaystyle u ^ {1}}$

Обратите внимание, что вышеупомянутые оптимизации не являются теми, в которых эти два человека фактически участвовали бы, явно или неявно. Вместо этого эти оптимизации - просто способ для экономиста определить точки на кривой контракта.

Смотрите также

• Экономика благосостояния
• Список тем по экономике

Рекомендации

• Мас-Колелл, Андреу ; Whinston, Michael D .; И Грин, Джерри (1995). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN   0-19-510268-1