Чирп масса - Chirp mass

В астрофизике ЛАЯ масса компактной двойной системы определяет ведущий порядка орбитальной эволюцию системы в результате потери энергии из излучающих гравитационных волн . Поскольку частота гравитационной волны определяется орбитальной частотой, масса щебета также определяет изменение частоты сигнала гравитационной волны, излучаемого во время инспиральной фазы двойной системы . При анализе данных гравитационных волн легче измерить массу чирпа, чем массы только двух компонентов.

Определение по массам компонентов

Двухчастичная система с массами компонентов и массой чирпа ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {(m_ {1} m_ {2}) ^ {3/5}} {(m_ {1} + m_ {2}) ^ {1/5} }}}$

Массу щебета можно также выразить через общую массу системы и другие общие массовые параметры: ${\ displaystyle M = m_ {1} + m_ {2}}$

• приведенная масса : ${\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

  ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = \ mu ^ {3/5} M ^ {2/5},}$

• соотношение масс : ${\ Displaystyle д = м_ {1} / м_ {2}}$

  ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ left [{\ frac {q} {(1 + q) ^ {2}}} \ right] ^ {3/5} M,}$ или же

• симметричное соотношение масс : ${\ displaystyle \ eta = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {(m_ {1} + m_ {2}) ^ {2}}} = {\ frac {\ mu} {M}} = {\ frac {q} {(1 + q) ^ {2}}} = \ left ({\ frac {m _ {\ rm {geo}}} {M}} \ right) ^ {2}}$

  ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ eta ^ {3/5} M.}$

  Симметричное отношение масс достигает максимального значения, когда , и, следовательно, ${\ displaystyle \ eta = {\ frac {1} {4}}}$${\ displaystyle m_ {1} = m_ {2}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = (1/4) ^ {3/5} M \ приблизительно 0,435 \, M.}$

• среднее геометрическое масс компонентов : ${\ displaystyle m_ {geo} = {\ sqrt {m_ {1} m_ {2}}}}$

  ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = m _ {\ rm {geo}} \ left ({\ frac {m _ {\ rm {geo}}} {M}} \ right) ^ {1/5},}$

  Если массы двух компонентов примерно одинаковы, то последний фактор близок к такому . Этот множитель уменьшается при неравных массах компонентов, но довольно медленно. Например, при массовом соотношении 3: 1 оно становится равным , а при массовом соотношении 10: 1 - ${\ displaystyle (1/2) ^ {1/5} = 0,871,}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ приблизительно 0,871 \, m _ {\ rm {geo}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = 0,846 \, m _ {\ rm {geo}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = 0,779 \, m _ {\ rm {geo}}.}$

Орбитальная эволюция

В общей теории относительности фазовая эволюция двойной орбиты может быть вычислена с использованием постньютоновского разложения , пертурбативного разложения по степеням орбитальной скорости . Эволюция частоты гравитационной волны первого порядка описывается дифференциальным уравнением${\ displaystyle v / c}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {96} {5}} \ pi ^ {8/3} \ left ({\ frac {G {\ mathcal {M}}} {c ^ {3}}} \ right) ^ {5/3} f ^ {11/3}}$ ,

где и - скорость света и гравитационная постоянная Ньютона соответственно. ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle G}$

Если можно измерить как частоту, так и производную по частоте сигнала гравитационной волны, можно определить массу щебета. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ dot {f}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {c ^ {3}} {G}} \ left ({\ frac {5} {96}} \ pi ^ {- 8/3} f ^ { -11/3} {\ dot {f}} \ right) ^ {3/5}}$

( 1 )

Чтобы разделить массы отдельных компонентов в системе, необходимо дополнительно измерить члены более высокого порядка в постньютоновском разложении.

Вырождение массового красного смещения

Одним из ограничений массы щебета является то, что на него влияет красное смещение ; то, что фактически получено из наблюдаемой формы гравитационной волны, является продуктом

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {o} = {\ mathcal {M}} (1 + z)}$

где красное смещение. Эта масса ЛЧМ-сигнала с красным смещением больше, чем масса ЛЧМ-сигнала источника, и может быть преобразована в массу ЛЧМ-сигнала источника только путем нахождения красного смещения . ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

Обычно это решается путем использования наблюдаемой амплитуды для нахождения массы щебета, деленной на расстояние, и решения обоих уравнений с использованием закона Хаббла для вычисления зависимости между расстоянием и красным смещением.

Сянь Чен указал, что это предполагает, что некосмологические красные смещения ( пекулярная скорость и гравитационное красное смещение ) незначительны, и ставит под сомнение это предположение. Если двойная пара черных дыр звездной массы сливается, находясь на близком расстоянии от сверхмассивной черной дыры ( экстремальное отношение масс по спирали ), наблюдаемая гравитационная волна испытает значительное гравитационное и доплеровское красное смещение, что приведет к ошибочно заниженной оценке красного смещения и, следовательно, к ложной оценке. большая масса. Он предполагает, что есть веские причины подозревать, что аккреционный диск сверхмассивной черной дыры и приливные силы увеличат скорость слияния двойных черных дыр рядом с ней, и, как следствие, ошибочно высокие оценки массы могут объяснить неожиданно большие массы наблюдаемых слияний черных дыр . (Этот вопрос лучше всего решить с помощью низкочастотного детектора гравитационных волн, такого как LISA, который мог бы наблюдать форму волны EMRI.)

Смотрите также

• Уменьшенная масса
• Задача двух тел в общей теории относительности

Примечание

Рекомендации