Формула Коши для повторного интегрирования - Cauchy formula for repeated integration

Формула Коши для повторного интегрирования , названная в честь Огюстена Луи Коши , позволяет сжать n антидифференцирований функции в один интеграл (см . Формулу Коши ).

Скалярный случай

Пусть f - непрерывная функция на вещественной прямой. Тогда п - й повторного интеграла от е с Basepoint а ,

{\ displaystyle f ^ {(- n)} (x) = \ int _ {a} ^ {x} \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {1}} \ cdots \ int _ {a} ^ { \ sigma _ {n-1}} f (\ sigma _ {n}) \, \ mathrm {d} \ sigma _ {n} \ cdots \, \ mathrm {d} \ sigma _ {2} \, \ mathrm {d} \ sigma _ {1},}

дается однократным интегрированием

{\ displaystyle f ^ {(- n)} (x) = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ int _ {a} ^ {x} \ left (xt \ right) ^ {n -1} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Доказательство

Доказательство проводится по индукции . Поскольку функция f непрерывна, базовый случай следует из основной теоремы исчисления :

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f ^ {(- 1)} (x) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {(xt) ^ {0}} {0!}} f (t) \, \ mathrm {d} t = {\ frac {\ mathrm { d}} {\ mathrm {d} x}} \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t = f (x);}

куда

{\ displaystyle f ^ {(- 1)} (a) = \ int _ {a} ^ {a} f (t) \, \ mathrm {d} t = 0.}

Теперь предположим, что это верно для n , и докажем это для n +1. Во-первых, используя правило интеграла Лейбница , заметим, что

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [{\ frac {1} {n!}} \ int _ {a} ^ {x} \ left (xt \ right) ^ {n} f (t) \, \ mathrm {d} t \ right] = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ int _ {a} ^ {x} \ left (xt \ right) ^ {n-1} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Тогда, применяя предположение индукции,

{\ displaystyle {\ begin {align} f ^ {- (n + 1)} (x) & = \ int _ {a} ^ {x} \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {1}} \ cdots \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {n}} f (\ sigma _ {n + 1}) \, \ mathrm {d} \ sigma _ {n + 1} \ cdots \, \ mathrm {d } \ sigma _ {2} \, \ mathrm {d} \ sigma _ {1} \\ & = \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {1} {(n-1)!}} \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {1}} \ left (\ sigma _ {1} -t \ right) ^ {n-1} f (t) \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ sigma _ {1} \\ & = \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ sigma _ {1}}} \ left [ {\ frac {1} {n!}} \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {1}} \ left (\ sigma _ {1} -t \ right) ^ {n} f (t) \, \ mathrm {d} t \ right] \, \ mathrm {d} \ sigma _ {1} \\ & = {\ frac {1} {n!}} \ int _ {a} ^ {x} \ left ( xt \ right) ^ {n} f (t) \, \ mathrm {d} t. \ end {align}}}

Это завершает доказательство.

Обобщения и приложения

Формула Коши обобщается на нецелые параметры с помощью интеграла Римана-Лиувилля , где заменяется на , а факториал заменяется гамма-функцией . Две формулы согласуются, когда . ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {Z} _ {\ geq 0}}$ ${\ Displaystyle \ альфа \ в \ mathbb {C}, \ \ Re (\ альфа)> 0}$ ${\ Displaystyle \ альфа \ в \ mathbb {Z} _ {\ geq 0}}$

И формула Коши, и интеграл Римана-Лиувилля обобщаются на произвольную размерность с помощью потенциала Рисса .

В дробном исчислении , эти формулы могут быть использованы для построения дробного интегро-дифференцирования , позволяющим дифференцировать или интегрировать дробное число раза. Дробное число раз дифференцировать можно путем дробного интегрирования с последующим дифференцированием результата.

использованная литература

Огюстен Луи Коши : Trente-Cinquième Leçon . В: Résumé des leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur le Calcul infinitésimal . Imprimerie Royale, Париж, 1823 г. Перепечатка: Œuvres completeètes II (4), Готье-Виллар, Париж, стр. 5–261.
Джеральд Б. Фолланд, Advanced Calculus , p. 193, Прентис Холл (2002). ISBN 0-13-065265-2

внешние ссылки

Алан Бердон (2000). «Дробное исчисление II» . Кембриджский университет.

Languages

In other projects