Уравнение Бэтчелора – Чандрасекара - Batchelor–Chandrasekhar equation

Уравнение Бэтчелора – Чандрасекара - это уравнение эволюции для скалярных функций, определяющее двухточечный тензор корреляции скоростей однородной осесимметричной турбулентности, названный в честь Джорджа Бэтчелора и Субраманьяна Чандрасекара . Они разработали теорию однородной осесимметричной турбулентности, основанную на работе Говарда П. Робертсона по изотропной турбулентности с использованием принципа инварианта. Это уравнение является расширением уравнения Кармана – Ховарта от изотропной турбулентности к осесимметричной.

Математическое описание

Теория основана на принципе, что статистические свойства инвариантны для вращения вокруг определенного направления (скажем) и отражений в плоскостях, содержащих и перпендикулярных . Этот тип осесимметрии иногда называют сильной осесимметрией или осесимметрией в сильном смысле , в отличие от слабой осесимметрии , когда отражения в плоскостях, перпендикулярных или содержащих плоскости , не допускаются. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$

Пусть двухточечная корреляция для однородной турбулентности имеет вид

{\ Displaystyle R_ {ij} (\ mathbf {r}, t) = {\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r} , t)}}.}

Один скаляр описывает этот тензор корреляции в изотропной турбулентности, тогда как для осесимметричной турбулентности оказывается, что двух скалярных функций достаточно, чтобы однозначно задать тензор корреляции. На самом деле, Бачелор не смогло выразить тензор корреляции в терминах двух скалярных функций, но в конечном итоге с четырьмя скалярными функциями, тем не менее, Чандрасекхар показал , что она может быть выражена только два скалярными функциями путем выражения соленоидального тензор осесимметричного как завиток из общий осесимметричный тензор перекоса (рефлексивно неинвариантный тензор).

Пусть - единичный вектор, определяющий ось симметрии потока, тогда у нас есть две скалярные переменные, и . Поскольку ясно, что представляет собой косинус угла между и . Пусть и - две скалярные функции, описывающие корреляционную функцию, тогда наиболее общий осесимметричный тензор, который является соленоидальным (несжимаемым), имеет вид ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} = r ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ lambda}} = r \ mu}$ ${\ displaystyle | {\ boldsymbol {\ lambda}} | = 1}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ Displaystyle Q_ {1} (г, \ му, т)}$ ${\ Displaystyle Q_ {2} (г, \ му, т)}$

{\ displaystyle R_ {ij} = Ar_ {i} r_ {j} + B \ delta _ {ij} + C \ lambda _ {i} \ lambda _ {j} + D \ left (\ lambda _ {i} r_ {j} + r_ {i} \ lambda _ {j} \ right)}

где

{\ displaystyle {\ begin {align} A & = \ left (D_ {r} -D _ {\ mu \ mu} \ right) Q_ {1} + D_ {r} Q_ {2}, \\ B & = \ left [ - \ left (r ^ {2} D_ {r} + r \ mu D _ {\ mu} +2 \ right) + r ^ {2} \ left (1- \ mu ^ {2} \ right) D _ {\ mu \ mu} -r \ mu D _ {\ mu} \ right] Q_ {1} - \ left [r ^ {2} \ left (1- \ mu ^ {2} \ right) D_ {r} +1 \ right] Q_ {2}, \\ C & = - r ^ {2} D _ {\ mu \ mu} Q_ {1} + \ left (r ^ {2} D_ {r} +1 \ right) Q_ {2} , \\ D & = \ left (r \ mu D _ {\ mu} +1 \ right) D _ {\ mu} Q_ {1} -r \ mu D_ {r} Q_ {2}. \ End {align}}}

Дифференциальные операторы, фигурирующие в приведенных выше выражениях, определяются как

{\ displaystyle {\ begin {align} D_ {r} & = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} - {\ frac {\ mu} {r ^ { 2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mu}}, \\ D _ {\ mu} & = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mu }}, \\ D _ {\ mu \ mu} & = D _ {\ mu} D _ {\ mu} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ mu ^ {2}}}. \ end {align}}}

Тогда эволюционные уравнения (эквивалентная форма уравнения Кармана – Ховарта ) для двух скалярных функций имеют вид

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial Q_ {1}} {\ partial t}} & = 2 \ nu \ Delta Q_ {1} + S_ {1}, \\ {\ frac {\ частичное Q_ {2}} {\ partial t}} & = 2 \ nu \ left (\ Delta Q_ {2} + 2D _ {\ mu \ mu} Q_ {1} \ right) + S_ {2} \ end {выровнено }}}

где - кинематическая вязкость, а ${\ displaystyle \ nu}$

{\ displaystyle \ Delta = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {4} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r} } + {\ frac {1- \ mu ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ mu ^ {2}}} - {\ frac { 4 \ mu} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mu}}.}

Скалярные функции и связаны с трижды коррелированным тензором точно таким же образом и связаны с двухточечным коррелированным тензором . Трехкоррелированный тензор ${\ Displaystyle S_ {1} (г, \ му, т)}$ ${\ Displaystyle S_ {2} (г, \ му, т)}$ ${\ displaystyle S_ {ij}}$ ${\ Displaystyle Q_ {1} (г, \ му, т)}$ ${\ Displaystyle Q_ {2} (г, \ му, т)}$ ${\ displaystyle R_ {ij}}$

{\ displaystyle S_ {ij} = {\ frac {\ partial} {\ partial r_ {k}}} \ left ({\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ {k} (\ mathbf {x}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}} - {\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ {k} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho} } \ left ({\ frac {\ overline {\ partial p (\ mathbf {x}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}} {\ partial r_ {i }}} - {\ frac {\ overline {\ partial p (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t) u_ {i} (\ mathbf {x}, t)}} {\ partial r_ {j }}}\право).}

Вот плотность жидкости. ${\ displaystyle \ rho}$

Свойства

След корреляционного тензора сводится к

{\ displaystyle R_ {ii} = r ^ {2} \ left (1- \ mu ^ {2} \ right) \ left (D _ {\ mu \ mu} Q_ {1} -D_ {r} Q_ {2} \ right) -2Q_ {2} -2 \ left (r ^ {2} D_ {r} + 2r \ mu D _ {\ mu} +3 \ right) Q_ {1}.}

Условие однородности подразумевает, что оба и являются четными функциями от и . ${\ Displaystyle R_ {ij} (- \ mathbf {r}) = R_ {ji} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle Q_ {1}}$ ${\ displaystyle Q_ {2}}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r \ mu}$

Затухание турбулентности

Если во время распада мы пренебрегаем скалярами тройной корреляции, то уравнения сводятся к осесимметричным пятимерным уравнениям теплопроводности:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial Q_ {1}} {\ partial t}} & = 2 \ nu \ Delta Q_ {1}, \\ {\ frac {\ partial Q_ {2} } {\ partial t}} & = 2 \ nu \ left (\ Delta Q_ {2} + 2D _ {\ mu \ mu} Q_ {1} \ right) \ end {align}}}

Решения этого пятимерного уравнения теплопроводности были решены Чандрасекар. Начальные условия могут быть выражены через полиномы Гегенбауэра (без ограничения общности):