символ 'т Хофт - 't Hooft symbol

Символ ' т Хоофта η - это символ, который позволяет выразить генераторы алгебры Ли SU (2) через порождающие алгебры Лоренца. Этот символ представляет собой смесь дельты Кронекера и символа Леви-Чивита . Его представил Жерар т Хофт . Он используется при построении инстантона BPST .

η ^a _μν - символ ' т Хофта :

${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} ^ {a} = {\ begin {case} \ epsilon ^ {a \ mu \ nu} & \ mu, \ nu = 1,2,3 \\ - \ delta ^ {a \ nu} & \ mu = 4 \\\ delta ^ {a \ mu} & \ nu = 4 \\ 0 & \ mu = \ nu = 4 \ end {case}}.}$

Другими словами, они определяются

( ) ${\ displaystyle a = 1,2,3; ~ \ mu, \ nu = 1,2,3,4; ~ \ epsilon _ {1234} = + 1}$

${\ displaystyle \ eta _ {a \ mu \ nu} = \ epsilon _ {a \ mu \ nu 4} + \ delta _ {a \ mu} \ delta _ {\ nu 4} - \ delta _ {a \ nu } \ delta _ {\ mu 4}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ eta}} _ {a \ mu \ nu} = \ epsilon _ {a \ mu \ nu 4} - \ delta _ {a \ mu} \ delta _ {\ nu 4} + \ дельта _ {а \ ню} \ дельта _ {\ му 4}}$

где последние - антиавтодуальные символы 'т Хофта.

Более точно, эти символы

${\ displaystyle \ eta _ {1 \ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ quad \ eta _ {2 \ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ quad \ eta _ {3 \ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \ end {bmatrix}},}$

а также

${\ displaystyle {\ bar {\ eta}} _ {1 \ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ quad { \ bar {\ eta}} _ {2 \ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ quad {\ bar {\ eta}} _ {3 \ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Они удовлетворяют свойствам самодуальности и анти-самодуальности:

${\ displaystyle \ eta _ {a \ mu \ nu} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ eta _ {a \ rho \ sigma} \, \ qquad {\ bar {\ eta}} _ {a \ mu \ nu} = - {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} {\ bar {\ eta}} _ {а \ ро \ сигма} \}$

Некоторые другие свойства

${\ displaystyle \ epsilon _ {abc} \ eta _ {b \ mu \ nu} \ eta _ {c \ rho \ sigma} = \ delta _ {\ mu \ rho} \ eta _ {a \ nu \ sigma} + \ delta _ {\ nu \ sigma} \ eta _ {a \ mu \ rho} - \ delta _ {\ mu \ sigma} \ eta _ {a \ nu \ rho} - \ delta _ {\ nu \ rho} \ эта _ {а \ му \ сигма}}$

${\ displaystyle \ eta _ {a \ mu \ nu} \ eta _ {a \ rho \ sigma} = \ delta _ {\ mu \ rho} \ delta _ {\ nu \ sigma} - \ delta _ {\ mu \ сигма} \ delta _ {\ ню \ rho} + \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \,}$

${\ displaystyle \ eta _ {a \ mu \ rho} \ eta _ {b \ mu \ sigma} = \ delta _ {ab} \ delta _ {\ rho \ sigma} + \ epsilon _ {abc} \ eta _ { c \ rho \ sigma} \,}$

${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ theta} \ eta _ {a \ sigma \ theta} = \ delta _ {\ sigma \ mu} \ eta _ {a \ nu \ rho} + \ delta _ {\ sigma \ rho} \ eta _ {a \ mu \ nu} - \ delta _ {\ sigma \ nu} \ eta _ {a \ mu \ rho} \,}$

${\ Displaystyle \ эта _ {а \ му \ ню} \ эта _ {а \ му \ ню} = 12 \, \ квад \ эта _ {а \ му \ ню} \ эта _ {б \ му \ ню} = 4 \ delta _ {ab} \, \ quad \ eta _ {a \ mu \ rho} \ eta _ {a \ mu \ sigma} = 3 \ delta _ {\ rho \ sigma} \.}$

То же самое, за исключением ${\ displaystyle {\ bar {\ eta}}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ eta}} _ {a \ mu \ nu} {\ bar {\ eta}} _ {a \ rho \ sigma} = \ delta _ {\ mu \ rho} \ delta _ {\ nu \ sigma} - \ delta _ {\ mu \ sigma} \ delta _ {\ nu \ rho} - \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \.}$

а также

${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ theta} {\ bar {\ eta}} _ {a \ sigma \ theta} = - \ delta _ {\ sigma \ mu} {\ bar {\ eta} } _ {a \ nu \ rho} - \ delta _ {\ sigma \ rho} {\ bar {\ eta}} _ {a \ mu \ nu} + \ delta _ {\ sigma \ nu} {\ bar {\ eta}} _ {a \ mu \ rho} \,}$

Очевидно, из-за разных свойств двойственности. ${\ displaystyle \ eta _ {a \ mu \ nu} {\ bar {\ eta}} _ {b \ mu \ nu} = 0}$

Многие их свойства приведены в таблице в приложении к статье 'т Хоофта, а также в статье Белицкого и др.

Смотрите также

• Немедленное включение
• Аномалия т Хофта
• Монополь 'т Хофта – Полякова
• Оператор 'т Хофта

использованная литература