Уравнение Уиллера – ДеВитта - Wheeler–DeWitt equation

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Задний план Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера
Стандартная модель Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса
Неполные теории Топологическая квантовая теория поля Теория струн Суперсимметрия Разноцветный Теория всего Квантовая гравитация
Ученые КД Андерсон П. У. Андерсон Быть Bjorken Боголюбов Brout Каллан Коулман ДеВитт Дирак Дайсон Энглерт Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Глэшоу Гелл-Манн Валовой Гуральник Гейзенберг Хиггс Haag Hagen 'т Хофт Иордания Кендалл Kibble ягненок Ландо Ли Майорана Миллс Намбу Нисидзима Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Сударшан Томонага Вельтман сторожить Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Ян Юкава
v т е

Уравнение Уиллера – ДеВитта - это уравнение поля, приписываемое Джону Арчибальду Уиллеру и Брайсу ДеВитту, которое пытается математически объединить идеи квантовой механики и общей теории относительности , шаг к теории квантовой гравитации . В этом подходе время играет роль, отличную от той, что оно делает в нерелятивистской квантовой механике, что приводит к так называемой « проблеме времени ». Более конкретно, уравнение описывает квантовую версию гамильтоновой связи с использованием метрических переменных. Его коммутационные соотношения с ограничениями диффеоморфизма порождают «группу» Бергмана – Комара (которая является группой диффеоморфизмов на оболочке ).

Квантовая гравитация

Все определенные и понятые описания струнной / М-теории имеют дело с фиксированными асимптотическими условиями на фоновом пространстве-времени. На бесконечности «правильный» выбор временной координаты «t» определяется (поскольку пространство-время асимптотично некоторому фиксированному пространству-времени) в каждом описании, поэтому существует предпочтительное определение гамильтониана (с ненулевыми собственными значениями) для развития состояний системы вперед во времени. Это избавляет от необходимости динамически генерировать измерение времени с помощью уравнения Уиллера – ДеВитта. Таким образом, уравнение пока не играет роли в теории струн.

Может существовать способ в стиле Уиллера – ДеВитта для описания динамики объема квантовой теории гравитации. Некоторые эксперты считают, что это уравнение все еще может помочь в понимании квантовой гравитации; однако спустя десятилетия после того, как уравнение было опубликовано, совершенно другие подходы, такие как теория струн, принесли физикам ясные результаты о квантовой гравитации.

Мотивация и предыстория

В канонической гравитации пространство-время расслаивается на пространственноподобные подмногообразия. Трехметрика (т. Е. Метрика на гиперповерхности) задается формулой ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$

${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \, \ mathrm {d} x ^ {\ mu} \, \ mathrm {d} x ^ {\ nu} = (- \, N ^ {2} + \ beta _ {k} \ beta ^ {k}) \, \ mathrm {d} t ^ {2} +2 \ beta _ {k} \, \ mathrm {d} x ^ {k} \, \ mathrm {d} t + \ gamma _ {ij} \, \ mathrm {d} x ^ {i} \, \ mathrm {d} x ^ {j}.}$

В этом уравнении латинские индексы пробегают значения 1, 2, 3, а греческие индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4. Трехметрика - это поле, и мы обозначаем его сопряженные импульсы как . Гамильтониан - это ограничение (характерное для большинства релятивистских систем) ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ displaystyle \ pi ^ {kl}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ gamma}}}} G_ {ijkl} \ pi ^ {ij} \ pi ^ {kl} - {\ sqrt { \ gamma}} \, {} ^ {(3)} \! R = 0}$

где и - метрика Уиллера – ДеВитта. ${\ Displaystyle \ gamma = \ det (\ gamma _ {ij})}$${\ displaystyle G_ {ijkl} = (\ gamma _ {ik} \ gamma _ {jl} + \ gamma _ {il} \ gamma _ {jk} - \ gamma _ {ij} \ gamma _ {kl})}$

Квантование «снимает шляпу» с импульсными и полевыми переменными; то есть функции чисел в классическом случае становятся операторами, которые изменяют функцию состояния в квантовом случае. Таким образом, мы получаем оператор

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathcal {H}}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ gamma}}}} {\ widehat {G}} _ {ijkl} {\ widehat {\ pi }} ^ {ij} {\ widehat {\ pi}} ^ {kl} - {\ sqrt {\ gamma}} \, {} ^ {(3)} \! {\ widehat {R}}.}$

Работая в "пространстве позиций", эти операторы

${\ displaystyle {\ hat {\ gamma}} _ {ij} (t, x ^ {k}) \ to \ gamma _ {ij} (t, x ^ {k})}$

${\ displaystyle {\ hat {\ pi}} ^ {ij} (t, x ^ {k}) \ to -i {\ frac {\ delta} {\ delta \ gamma _ {ij} (t, x ^ { k})}}.}$

Оператор можно применить к общему волновому функционалу метрики, где: ${\ Displaystyle {\ Widehat {\ mathcal {H}}} \ Psi [\ gamma] = 0}$

${\ Displaystyle \ Psi [\ gamma] = a + \ int \ psi (x) \ gamma (x) dx ^ {3} + \ int \ int \ psi (x, y) \ gamma (x) \ gamma (y) dx ^ {3} dy ^ {3} + ...}$

что даст набор ограничений среди коэффициентов . Это означает, что амплитуды гравитонов в определенных положениях связаны с амплитудами разного количества гравитонов в разных положениях. Или можно было бы использовать формализм двух полей, рассматривая как независимое поле, так что волновая функция равна . ${\ Displaystyle \ psi (х, у, ...)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ omega (g)}$${\ Displaystyle \ пси [\ гамма, \ омега]}$

Математический формализм

Уравнение Уиллера – ДеВитта является функционально-дифференциальным уравнением. В общем случае это плохо определено, но очень важно в теоретической физике , особенно в квантовой гравитации . Это функционально-дифференциальное уравнение в пространстве трехмерных пространственных метрик. Уравнение Уиллера – ДеВитта имеет вид оператора, действующего на волновой функционал; в космологии функционал сводится к функции. В отличие от общего случая, уравнение Уиллера – ДеВитта хорошо определено в минисуперпространствах, подобных конфигурационному пространству космологических теорий. Примером такой волновой функции является состояние Хартла – Хокинга . Брайс ДеВитт впервые опубликовал это уравнение в 1967 году под названием «уравнение Эйнштейна – Шредингера»; Позднее оно было переименовано в «уравнение Уиллера – ДеВитта».

Гамильтонова связь

Проще говоря, уравнение Уиллера – ДеВитта говорит

где - гамильтонова связь в квантованной общей теории относительности, а - волновая функция Вселенной . В отличие от обычной квантовой теории поля или квантовой механики, гамильтониан является ограничением первого класса для физических состояний. У нас также есть независимое ограничение для каждой точки пространства. ${\ displaystyle {\ hat {H}} (х)}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

Хотя символы и могут показаться знакомыми, их интерпретация в уравнении Уиллера – ДеВитта существенно отличается от нерелятивистской квантовой механики. больше не является пространственной волновой функцией в традиционном смысле комплекснозначной функции, которая определена на трехмерной пространственно-подобной поверхности и нормирована на единицу. Напротив, это функционал конфигураций полей во всем пространстве-времени. Эта волновая функция содержит всю информацию о геометрии и содержании материи Вселенной. по-прежнему является оператором, который действует в гильбертовом пространстве волновых функций, но это не то же самое гильбертово пространство, как в нерелятивистском случае, и гамильтониан больше не определяет эволюцию системы, поэтому уравнение Шредингера больше не применяется. Это свойство известно как безвременье. Возрождение времени требует инструментов декогеренции и операторов часов (или использования скалярного поля ). ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} | \ psi \ rangle = я \ hbar \ partial / \ partial t | \ psi \ rangle}$

Ограничение импульса

Нам также необходимо дополнить гамильтонову связь ограничениями на импульс

${\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {P}}} (x) \ left | \ psi \ right \ rangle = 0}$

связанной с инвариантностью пространственного диффеоморфизма.

В приближении минисуперпространства у нас есть только одна гамильтонова связь (вместо бесконечного их множества).

Фактически, принцип общей ковариантности в общей теории относительности подразумевает, что глобальной эволюции как таковой не существует; время - это просто метка, которую мы назначаем одной из координатных осей. Таким образом, то, что мы думаем как временная эволюция любой физической системы, - это просто калибровочное преобразование , подобное преобразованию QED, вызванному локальным калибровочным преобразованием U (1), где играет роль локального времени. Роль гамильтониана состоит в том, чтобы просто ограничить пространство «кинематических» состояний Вселенной пространством «физических» состояний - тех, которые следуют по калибровочным орбитам. По этой причине мы называем это «гамильтоновой связью». При квантовании физические состояния становятся волновыми функциями, лежащими в ядре гамильтонова оператора. ${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ psi \ rightarrow e ^ {я \ theta ({\ vec {r}})} \ psi}$${\ displaystyle \ theta ({\ vec {r}})}$

В общем случае гамильтониан исчезает для теории с общей ковариантностью или масштабной инвариантностью по времени.

Смотрите также

использованная литература

• Герберт В. Хамбер и Рут М. Уильямс (2011). «Дискретное уравнение Уиллера-ДеВитта». Physical Review D . 84 (10): 104033. arXiv : 1109.2530 . Bibcode : 2011PhRvD..84j4033H . DOI : 10.1103 / PhysRevD.84.104033 . S2CID  4812404 .
• Герберт В. Хамбер, Рэйко Торими и Рут М. Уильямс (2012). «Уравнение Уиллера-ДеВитта в 2 + 1 измерениях». Physical Review D . 86 (8): 084010. arXiv : 1207.3759 . Bibcode : 2012PhRvD..86h4010H . DOI : 10.1103 / PhysRevD.86.084010 . S2CID  119229306 .