Темперамент Веркмайстера - Werckmeister temperament

Темпераменты Веркмайстера - это системы настройки, описанные Андреасом Веркмайстером в его трудах. Системы настройки пронумерованы двумя разными способами: первый относится к порядку, в котором они были представлены как «хорошие темпераменты» в трактате Веркмайстера 1691 года, второй - к их маркировке на его монохорде . Этикетки монохорда начинаются с III, так как интонация обозначена I, а четверть запятой означает, что один обозначен II.

Настройки I (III), II (IV) и III (V) были представлены графически циклом квинт и списком мажорных третей , с указанием темперамента каждой в долях запятой . Веркмайстер использовал обозначение изготовителя органов буквы ^ для закаленного вниз или суженного интервала и v для закаленного вверх или расширенного интервала. (Это кажется нелогичным - это основано на использовании инструмента настройки конической формы, который меняет форму концов труб.) Чистая квинта - это просто тире. Веркмайстер не уточнил, имелась в виду синтоническая запятая или пифагорейская запятая : разница между ними, так называемая схизма , почти неслышна , и он заявил, что ее можно разделить между пятыми.

Последняя настройка "Септенария" не была задумана в терминах долей запятой, несмотря на попытки некоторых современных авторов приблизить ее каким-либо подобным способом. Вместо этого Веркмайстер напрямую указал длину струны на монохорде и на основании этого рассчитал, как следует закалять каждую пятую струну.

Werckmeister I (III): «правильный темперамент» на основе деления на 1/4 запятой.

Эта настройка использует в основном чистые ( идеальные ) квинты, как и в настройке Пифагора , но каждая квинта CG, GD, DA и BF ♯ уменьшена, то есть смягчена 1/4 запятой. Независимо от того, используется ли пифагорейская запятая или синтоническая запятая, получаемые в результате темперированные квинты для всех практических целей такие же, как и для одной темпераментной квинты. Все основные трети достаточно близки к 400 центам, и, поскольку не все квинты темперированы, нет волчьей квинты, и все 12 нот могут использоваться в качестве тонизирующего средства.

Веркмайстер обозначил эту настройку как особенно подходящую для воспроизведения хроматической музыки (« фикте »), что, возможно, привело к ее популярности в последние годы в качестве настройки для музыки И. С. Баха .

Пятый	Темперирование	Третий	Темперирование
CG	^	CE	1 v
GD	^	C ♯ -F	4 в
DA	^	DF ♯	2 в
AE	-	D ♯ -G	3 в
EB	-	EG ♯	3 в
BF ♯	^	FA	1 v
F ♯ -C ♯	-	F ♯ -B ♭	4 в
C ♯ -G ♯	-	ГБ	2 в
G ♯ -D ♯	-	G ♯ -C	4 в
D ♯ -B ♭	-	AC ♯	3 в
B ♭ -F	-	B ♭ -D	2 в
FC	-	BD ♯	3 в

Сыграть мажорный тонический аккорд  ( помощь · информация )

Поскольку четверть запятой Пифагора равна или , можно вычислить точные математические значения для частотных отношений и интервалов: ${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {\ frac {531441} {524288}}}}$${\ displaystyle {\ frac {27} {32}} {\ sqrt [{4}] {2}}}$

Заметка	Точное частотное соотношение	Стоимость в центах
C	${\ displaystyle {\ frac {1} {1}}}$	0
C ♯	${\ displaystyle {\ frac {256} {243}}}$	90
D	${\ displaystyle {\ frac {64} {81}} {\ sqrt {2}}}$	192
D ♯	${\ displaystyle {\ frac {32} {27}}}$	294
E	${\ displaystyle {\ frac {256} {243}} {\ sqrt [{4}] {2}}}$	390
F	${\ displaystyle {\ frac {4} {3}}}$	498
F ♯	${\ displaystyle {\ frac {1024} {729}}}$	588
грамм	${\ displaystyle {\ frac {8} {9}} {\ sqrt [{4}] {2 ^ {3}}}}$	696
G ♯	${\ displaystyle {\ frac {128} {81}}}$	792
А	${\ displaystyle {\ frac {1024} {729}} {\ sqrt [{4}] {2}}}$	888
B ♭	${\ displaystyle {\ frac {16} {9}}}$	996
B	${\ displaystyle {\ frac {128} {81}} {\ sqrt [{4}] {2}}}$	1092

Werckmeister II (IV): еще один темперамент, включенный в Orgelprobe, разделенный через 1/3 запятой.

В Werckmeister II квинты CG, DA, EB, F ♯ -C ♯ и B ♭ -F сужены на 1/3 запятой, а квинты G ♯ -D ♯ и E ♭ -B ♭ расширены на 1 / 3 запятая. Остальные квинты чистые. Веркмайстер разработал этот строй для исполнения в основном диатонической музыки (т.е. редко используя «черные ноты»). Большинство его интервалов близки к шестой запятой, означающей один . Werckmeister также предоставил таблицу длин монохорды для этой настройки, установив C = 120 единиц, что является практическим приближением к точным теоретическим значениям. После чисел монохорды G и D несколько ниже своих теоретических значений, но другие ноты несколько выше.

Пятый	Темперирование	Третий	Темперирование
CG	^	CE	1 v
GD	-	C ♯ -F	4 в
DA	^	DF ♯	1 v
AE	-	D ♯ -G	2 в
EB	^	EG ♯	1 v
BF ♯	-	FA	1 v
F ♯ -C ♯	^	F ♯ -B ♭	4 в
C ♯ -G ♯	-	ГБ	1 v
G ♯ -D ♯	v	G ♯ -C	4 в
D ♯ -B ♭	v	AC ♯	1 v
B ♭ -F	^	B ♭ -D	1 v
FC	-	BD ♯	3 в

Заметка	Точное частотное соотношение	Стоимость в центах	Примерная длина монохорды	Стоимость в центах
C	${\ displaystyle {\ frac {1} {1}}}$	0	${\ displaystyle 120}$	0
C ♯	${\ displaystyle {\ frac {16384} {19683}} {\ sqrt [{3}] {2}}}$	82	${\ displaystyle 114 {\ frac {1} {5}}}$- (опечатано как )${\ displaystyle 114 {\ frac {1} {2}}}$	85,8
D	${\ displaystyle {\ frac {8} {9}} {\ sqrt [{3}] {2}}}$	196	${\ displaystyle 107 {\ frac {1} {5}}}$	195,3
D ♯	${\ displaystyle {\ frac {32} {27}}}$	294	${\ displaystyle 101 {\ frac {1} {5}}}$	295,0
E	${\ displaystyle {\ frac {64} {81}} {\ sqrt [{3}] {4}}}$	392	${\ displaystyle 95 {\ frac {3} {5}}}$	393,5
F	${\ displaystyle {\ frac {4} {3}}}$	498	${\ displaystyle 90}$	498,0
F ♯	${\ displaystyle {\ frac {1024} {729}}}$	588	${\ displaystyle 85 {\ frac {1} {3}}}$	590,2
грамм	${\ displaystyle {\ frac {32} {27}} {\ sqrt [{3}] {2}}}$	694	${\ displaystyle 80 {\ frac {1} {5}}}$	693,3
G ♯	${\ displaystyle {\ frac {8192} {6561}} {\ sqrt [{3}] {2}}}$	784	${\ displaystyle 76 {\ frac {2} {15}}}$	787,7
А	${\ displaystyle {\ frac {256} {243}} {\ sqrt [{3}] {4}}}$	890	${\ displaystyle 71 {\ frac {7} {10}}}$	891,6
B ♭	${\ displaystyle {\ frac {9} {4 {\ sqrt [{3}] {2}}}}}$	1004	${\ displaystyle 67 {\ frac {1} {5}}}$	1003,8
B	${\ displaystyle {\ frac {4096} {2187}}}$	1086	${\ displaystyle 64}$	1088,3

Werckmeister III (V): дополнительный темперамент, разделенный через 1/4 запятой

В Werckmeister III квинты DA, AE, F ♯ -C ♯ , C ♯ -G ♯ и FC сужены на 1/4, а пятая G ♯ -D ♯ расширена на 1/4 запятой. Остальные квинты чистые. Этот темперамент более близок к одинаковому, чем два предыдущих.

Пятый	Темперирование	Третий	Темперирование
CG	-	CE	2 в
GD	-	C ♯ -F	4 в
DA	^	DF ♯	2 в
AE	^	D ♯ -G	3 в
EB	-	EG ♯	2 в
BF ♯	-	FA	2 в
F ♯ -C ♯	^	F ♯ -B ♭	3 в
C ♯ -G ♯	^	ГБ	2 в
G ♯ -D ♯	v	G ♯ -C	4 в
D ♯ -B ♭	-	AC ♯	2 в
B ♭ -F	-	B ♭ -D	3 в
FC	^	BD ♯	3 в

Заметка	Точное частотное соотношение	Стоимость в центах
C	${\ displaystyle {\ frac {1} {1}}}$	0
C ♯	${\ displaystyle {\ frac {8} {9}} {\ sqrt [{4}] {2}}}$	96
D	${\ displaystyle {\ frac {9} {8}}}$	204
D ♯	${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {2}}}$	300
E	${\ displaystyle {\ frac {8} {9}} {\ sqrt {2}}}$	396
F	${\ displaystyle {\ frac {9} {8}} {\ sqrt [{4}] {2}}}$	504
F ♯	${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$	600
грамм	${\ displaystyle {\ frac {3} {2}}}$	702
G ♯	${\ displaystyle {\ frac {128} {81}}}$	792
А	${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {8}}}$	900
B ♭	${\ displaystyle {\ frac {3} {\ sqrt [{4}] {8}}}}$	1002
B	${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} {\ sqrt {2}}}$	1098

Werckmeister IV (VI): строй Септенария

Эта настройка основана на делении длины монохорда на части. Затем определяются различные ноты, на которые из 196 делений следует поместить мост, чтобы воспроизвести их высоту. Результирующая шкала имеет рациональные частотные отношения, поэтому математически отличается от иррациональных умеренных значений выше; однако на практике оба включают чистые и нечистые квинты. Веркмайстер также представил версию, в которой общая длина разделена на 147 частей, что является просто перестановкой интервалов 196-го строя. Он описал Септенария как «дополнительный темперамент, который не имеет ничего общего с разделением запятой, тем не менее на практике настолько правильный, что он может быть действительно удовлетворен». ${\ Displaystyle 196 = 7 \ раз 7 \ раз 4}$

Одна очевидная проблема с этими настройками - это значение, присвоенное D (или A в транспонированной версии): Werckmeister записывает его как 176. Однако это производит плохой музыкальный эффект, потому что в этом случае пятый GD будет очень плоским (больше половины запятой) ; третий B ♭ -D был бы чистым, но DF ♯ был бы слишком резким, чем запятая, - все это противоречит остальным работам Веркмайстера о темпераменте. На иллюстрации деления монохорда число "176" написано на одну позицию вправо, где должно быть 175. Следовательно, возможно, что число 176 является ошибкой для 175, что дает гораздо более стабильный музыкальный результат. Оба значения приведены в таблице ниже.

В настройке с D = 175 квинта CG, GD, DA, BF ♯ , F ♯ -C ♯ и B ♭ -F закаляются узкими, а квинта G ♯ -D ♯ темперированными шире, чем чистая; остальные квинты чистые.

Заметка	Длина монохорда	Точное частотное соотношение	Стоимость в центах
C	196	1/1	0
C ♯	186	98/93	91
D	176 (175)	49/44 (28/25)	186 (196)
D ♯	165	196/165	298
E	156	49/39	395
F	147	4/3	498
F ♯	139	196/139	595
грамм	131	196/131	698
G ♯	124	49/31	793
А	117	196/117	893
B ♭	110	98/55	1000
B	104	49/26	1097

Внешние источники

• 196-EDL, 1568-EDL и настройки Septenarius
• «Хорошая закалка на основе определения Werckmeister»
• Хорошо темперированный, основанный на последней книге Веркмейстера Musikalische Paradoxal-Discourse (1707) - это равный темперамент. См .: https://www.academia.edu/5210832/18th_Century_Quotes_on_J.S._Bachs_Temperament

Ссылки