Слабая эквивалентность (теория гомотопии) - Weak equivalence (homotopy theory)

В математике , слабая эквивалентность является понятием из теории гомотопий , что в каких - то смысл идентифицирует объекты , которые имеют ту же «форму». Это понятие формализовано в аксиоматическом определении модельной категории .

Модельная категория - это категория с классами морфизмов, называемыми слабыми эквивалентностями, расслоениями и кофибрациями , удовлетворяющими нескольким аксиомам. Ассоциированная гомотопическая категория модельной категории имеет те же объекты, но морфизмы изменены, чтобы сделать слабые эквивалентности изоморфизмами . Полезное наблюдение, что ассоциированная гомотопическая категория зависит только от слабых эквивалентностей, а не от расслоений и корасслоений.

Топологические пространства

Категории моделей были определены Квилленом как аксиоматизация теории гомотопий, которая применима к топологическим пространствам , но также и ко многим другим категориям в алгебре и геометрии . Примером, с которого началась эта тема, является категория топологических пространств с расслоениями Серра как расслоениями и слабыми гомотопическими эквивалентностями как слабыми эквивалентностями (кофибрации для этой модельной структуры можно описать как ретракты относительных клеточных комплексов X ⊆ Y ). По определению непрерывное отображение пространств f : X → Y называется слабой гомотопической эквивалентностью, если индуцированная функция на множествах компонент пути

${\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие \ pi _ {0} (X) \ to \ pi _ {0} (Y)}$

является взаимно однозначным , и для каждой точки х в X и любого п ≥ 1, индуцированный гомоморфизм

${\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие \ pi _ {n} (X, x) \ to \ pi _ {n} (Y, f (x))}$

на гомотопических группах биективен. (Для линейно соединенных X и Y первое условие является автоматическим, и достаточно сформулировать второе условие для единственной точки x в X. )

Для односвязных топологических пространств X и Y отображение f : X → Y является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда индуцированный гомоморфизм f _* : H _n ( X , Z ) → H _n ( Y , Z ) на особых группах гомологий биективен для всех n . Аналогично, для односвязных пространств X и Y отображение f : X → Y является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда гомоморфизм поднятия f *: H ⁿ ( Y , Z ) → H ⁿ ( X , Z ) на сингулярных когомологиях биективен для всех n .

Пример: пусть X будет набором натуральных чисел {0, 1, 2, ...} и пусть Y будет набором {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, оба с топология подпространства от реальной прямой . Определите f : X → Y , сопоставив 0 с 0 и n с 1 / n для положительных целых чисел n . Тогда f непрерывно и фактически является слабой гомотопической эквивалентностью, но не гомотопической эквивалентностью .

Гомотопическая категория топологических пространств (полученная путем обращения слабых гомотопических эквивалентностей) значительно упрощает категорию топологических пространств. Действительно, эта гомотопическая категория эквивалентна категории CW-комплексов, морфизмы которых являются гомотопическими классами непрерывных отображений.

Также были рассмотрены многие другие модельные структуры в категории топологических пространств. Например, в структуре модели Стрёма на топологических пространствах расслоения - это расслоения Гуревича, а слабые эквивалентности - это гомотопические эквивалентности.

Цепные комплексы

Некоторые другие важные категории моделей включают цепные комплексы . Пусть быть абелева категория Гротендика , например категория модулей над кольцом или категории пучков на абелевых групп на топологическом пространстве. Определите категорию C ( A ) с объектами комплексы X объектов в A ,

${\ displaystyle \ cdots \ to X_ {1} \ to X_ {0} \ to X _ {- 1} \ to \ cdots,}$

и морфизирует цепные отображения . (Это эквивалентно рассмотрению «коцепных комплексов» объектов из A , где нумерация записывается как

${\ Displaystyle \ cdots \ к X ^ {- 1} \ к X ^ {0} \ к X ^ {1} \ к \ cdots,}$

просто определив X ⁱ = X _{- i} .)

Категория C ( A ) имеет модельную структуру, в которой корасслоения являются мономорфизмами, а слабые эквивалентности - квазиизоморфизмами . По определению цепное отображение f : X → Y является квазиизоморфизмом, если индуцированный гомоморфизм

${\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие H_ {n} (X) \ to H_ {n} (Y)}$

на гомологиях является изоморфизмом для всех целых n . (Здесь Н _п ( Х ) является объектом А определяется как ядро из X _п → Х _{п -1} по модулю изображения из X _{п + 1} → Х _п .) Полученная гомотопическая категория называется производной категории D ( ) .

Тривиальные расслоения и тривиальные корасслоения

В любой модельной категории расслоение, которое также является слабой эквивалентностью, называется тривиальным (или ациклическим ) расслоением . Кофибрирование, которое также является слабой эквивалентностью, называется тривиальным (или ациклическим ) корасслоением .

Ноты

Ссылки

• Беке, Тибор (2000), «Категории гомотопических моделей, которые можно объединить в лист», Математические материалы Кембриджского философского общества , 129 : 447–473, arXiv : math / 0102087 , Bibcode : 2000MPCPS.129..447B , doi : 10.1017 / S0305004100004722 , MR  1780498
• Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, MR  1867354
• Хови, Марк (1999), Категории моделей (PDF) , Американское математическое общество , ISBN 0-8218-1359-5, Руководство по ремонту  1650134
• Strøm, Арне (1972), "Гомотопическая категория является гомотопической категории", Archiv дер Mathematik , 23 : 435-441, DOI : 10.1007 / BF01304912 , МР  0321082