Волновое число - Wavenumber

Диаграмма, иллюстрирующая взаимосвязь между волновым числом и другими свойствами гармонических волн.

В физических науках , то волновое число (также волновое число или repetency ) является пространственной частотой из волны , измеренной в циклах на единицу расстояния или радианах на единицу расстояния. В то время как временную частоту можно представить как количество волн в единицу времени, волновое число - это количество волн на единицу расстояния.

В многомерных системах волновое число - это величина волнового вектора . Пространство волновых векторов называется обратным пространством . Волновые числа и волновые векторы играют существенную роль в оптике и физике рассеяния волн, например, дифракции рентгеновских лучей , нейтронной дифракции , дифракции электронов и элементарных частиц физики. Для квантово-механических волн волновое число, умноженное на приведенную постоянную Планка, и есть канонический импульс .

Волновое число можно использовать для указания величин, отличных от пространственной частоты. В оптической спектроскопии он часто используется как единица временной частоты, предполагающей определенную скорость света .

Определение

Волновое число, используемое в спектроскопии и большинстве областей химии, определяется как количество длин волн на единицу расстояния, обычно сантиметры (см ^-1 ):

${\ displaystyle {\ tilde {\ nu}} \; = \; {\ frac {1} {\ lambda}},}$

где λ - длина волны. Иногда его называют «спектроскопическим волновым числом». Он равен пространственной частоте . Волновое число в обратных сантиметрах можно преобразовать в частоту в ГГц, умножив на 29,9792458 (скорость света в сантиметрах за наносекунду). Электромагнитная волна на частоте 29,9792458 ГГц имеет длину волны 1 см в свободном пространстве.

В теоретической физике чаще используется волновое число, определяемое как количество радианов на единицу расстояния, иногда называемое «угловым волновым числом»:

${\ Displaystyle к \; = \; {\ гидроразрыва {2 \ pi} {\ lambda}}}$

Когда волновое число представлено символом ν , частота все еще отображается, хотя и косвенно. Как описано в разделе «Спектроскопия», это делается с помощью отношения , где ν _s - частота в герцах . Это сделано для удобства, так как частоты обычно очень большие. ${\ textstyle {\ frac {\ nu _ {s}} {c}} \; = \; {\ frac {1} {\ lambda}} \; \ Equiv \; {\ tilde {\ nu}}}$

Волновой имеют размеры от обратной длины , так что его единица СИ является обратной величиной метров ^{(м -1} ). В спектроскопии принято указывать волновые числа в единицах cgs (т. Е. В обратных сантиметрах; см ^-1 ); в этом контексте волновое число раньше называлось кайзером в честь Генриха Кайзера (в некоторых более старых научных работах использовалась эта единица измерения, сокращенно K , где 1  K = 1  см ^-1 ). Угловое волновое число может быть выражено в радианах на метр (rad⋅m ^-1 ), или , как указано выше, так как радиан является безразмерным .

Для электромагнитного излучения в вакууме волновое число прямо пропорционально частоте и энергии фотона . По этой причине волновые числа используются в качестве удобной единицы энергии в спектроскопии.

Сложный

Комплексное волновое число может быть определено для среды с комплексной относительной диэлектрической проницаемостью , относительной проницаемостью и показателем преломления n как: ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {r}}$

${\ displaystyle k = k_ {0} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r} \ mu _ {r}}} = k_ {0} n}$

где k ₀ - волновое число в свободном пространстве, как указано выше. Мнимая часть волнового числа выражает ослабление на единицу расстояния и полезна при изучении экспоненциально затухающих затухающих полей .

Плоские волны в линейных средах

Коэффициент распространения синусоидальной плоской волны, распространяющейся в направлении x в линейном материале, определяется выражением

${\ displaystyle P = e ^ {- jkx}}$

куда

${\ Displaystyle к = к'-jk '' = {\ sqrt {- \ left (\ omega \ mu '' + j \ omega \ mu '\ right) \ left (\ sigma + \ omega \ varepsilon' '' + j \ omega \ varepsilon '\ right)}} \;}$

${\ displaystyle k '=}$ фазовая постоянная в радианах / метр

${\ Displaystyle к '' =}$ константа затухания в непер / метр

${\ displaystyle \ omega =}$ частота в радианах на метр

${\ displaystyle x =}$ пройденное расстояние в направлении x

${\ Displaystyle \ sigma =}$ проводимость в Сименсах на метр

${\ Displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon '-j \ varepsilon' '=}$ комплексная диэлектрическая проницаемость

${\ Displaystyle \ му = \ му '-j \ му' '=}$ комплексная проницаемость

${\ displaystyle j = {\ sqrt {-1}}}$

Соглашение о знаках выбрано для согласованности с распространением в среде с потерями. Если константа затухания положительна, амплитуда волны уменьшается по мере распространения волны в направлении x.

Длина волны , фазовая скорость и толщина скин-слоя имеют простые отношения с компонентами волнового числа:

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k '}} \ qquad v_ {p} = {\ frac {\ omega} {k'}} \ qquad \ delta = {\ frac {1} { k ''}}}$

В волновых уравнениях

Здесь мы предполагаем, что волна является регулярной в том смысле, что различные величины, описывающие волну, такие как длина волны, частота и, следовательно, волновое число, являются постоянными. См. Волновой пакет для обсуждения случая, когда эти величины непостоянны.

В общем, угловое волновое число K (т.е. величины от волнового вектора ) задаются

${\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} = {\ frac {2 \ pi \ nu} {v _ {\ mathrm {p}}}} = {\ frac {\ omega} {v_ {\ mathrm {p}}}}}$

где ν - частота волны, λ - длина волны, ω = 2 πν - угловая частота волны, а v _p - фазовая скорость волны. Зависимость волнового числа от частоты (или, чаще, частоты от волнового числа) известна как дисперсионное соотношение .

Для частного случая электромагнитной волны в вакууме, когда волна распространяется со скоростью света, k определяется как:

${\ Displaystyle к = {\ гидроразрыва {E} {\ hbar c}}}$

где E - энергия волны, ħ - приведенная постоянная Планка , а c - скорость света в вакууме.

Для частного случая материальной волны , например электронной волны, в нерелятивистском приближении (в случае свободной частицы, то есть частица не имеет потенциальной энергии):

${\ Displaystyle к \ экв {\ гидроразрыва {2 \ pi} {\ lambda}} = {\ гидроразрыва {p} {\ hbar}} = {\ гидроразрыва {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}}}$

Здесь p - импульс частицы, m - масса частицы, E - кинетическая энергия частицы, а ħ - приведенная постоянная Планка .

Волновое число также используется для определения групповой скорости .

В спектроскопии

В спектроскопии «волновое число» относится к частоте, которая делится на скорость света в вакууме, обычно в сантиметрах в секунду (см-с ^-1 ): ${\ displaystyle {\ tilde {\ nu}}}$

${\ displaystyle {\ tilde {\ nu}} = {\ frac {\ nu} {c}} = {\ frac {\ omega} {2 \ pi c}}.}$

Историческая причина использования этого спектроскопического волнового числа, а не частоты заключается в том, что оно является удобной единицей при изучении атомных спектров путем подсчета полос на см с помощью интерферометра  : спектроскопическое волновое число является обратной величиной длины волны света в вакууме:

${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {vac}} = {\ frac {1} {\ tilde {\ nu}}},}$

который остается практически таким же в воздухе, и поэтому спектроскопическое волновое число напрямую связано с углами света, рассеянного дифракционными решетками, и расстоянием между полосами в интерферометрах , когда эти инструменты работают в воздухе или в вакууме. Такие волновые числа впервые были использованы в расчетах Иоганна Ридберга в 1880-х годах. Принцип Ридберга-Ритца комбинация 1908 была также сформулирована в терминах волновых чисел. Спустя несколько лет спектральные линии можно было понять в квантовой теории как разницу между уровнями энергии, причем энергия пропорциональна волновому числу или частоте. Однако спектроскопические данные продолжали составлять таблицы с точки зрения спектрального волнового числа, а не частоты или энергии.

Например, спектральные волновые числа спектра излучения атомарного водорода даются формулой Ридберга :

${\ displaystyle {\ tilde {\ nu}} = R \ left ({\ frac {1} {{n _ {\ text {f}}} ^ {2}}} - {\ frac {1} {{n_ { \ text {i}}} ^ {2}}} \ right),}$

где R - постоянная Ридберга , а n _i и n _f - главные квантовые числа начального и конечного уровней соответственно ( n _i больше, чем n _f для излучения).

Спектроскопическое волновое число может быть преобразовано в энергию, приходящуюся на фотон E, с помощью соотношения Планка :

${\ displaystyle E = hc {\ tilde {\ nu}}.}$

Его также можно преобразовать в длину волны света:

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {1} {n {\ tilde {\ nu}}}},}$

где п есть показатель преломления в среде . Обратите внимание, что длина волны света изменяется при прохождении через различные среды, однако спектроскопическое волновое число (то есть частота) остается постоянным.

Обычно используются единицы , обратные сантиметру (см ^-1 ) , настолько часто, что такие пространственные частоты выражаются некоторыми авторами «в волновых числах», неправильно переводя название величины в саму единицу СГС см ^-1 . ${\ displaystyle {\ tilde {\ nu}}}$

Смотрите также

• Пространственная частота
• Показатель преломления
• Зональное волновое число

использованная литература