Вербальная арифметика - Verbal arithmetic

Словесный арифметический , также известный как alphametics , cryptarithmetic , cryptarithm или то слово , представляет собой тип математической игры , состоящую из математического уравнения среди неизвестных чисел , чьи цифры представлены буквами алфавита. Цель состоит в том, чтобы определить ценность каждой буквы. Название может быть расширено до головоломок, в которых вместо букв используются неалфавитные символы.

Уравнение обычно представляет собой базовую арифметическую операцию , такую как сложение , умножение или деление . Классический пример, опубликованный Генри Дудени в июльском выпуске журнала Strand Magazine за 1924 год :

${\ displaystyle {\ begin {matrix} && {\ text {S}} & {\ text {E}} & {\ text {N}} & {\ text {D}} \\ + && {\ text {M }} & {\ text {O}} & {\ text {R}} & {\ text {E}} \\\ hline = & {\ text {M}} & {\ text {O}} & {\ текст {N}} & {\ text {E}} & {\ text {Y}} \\\ end {matrix}}}$

Решение этой головоломки: O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 и S = 9.

Традиционно каждая буква должна представлять отдельную цифру, и (как обычная арифметическая запись) первая цифра многозначного числа не должна быть нулем. Хорошая головоломка должна иметь уникальное решение, а буквы должны составлять фразу (как в примере выше).

Словесная арифметика может быть полезной в качестве мотивации и источника упражнений в преподавании по алгебре .

История

Криптарифмические головоломки довольно старые, и их изобретатель неизвестен. Пример 1864 года в «Американском земледельце» опровергает распространенное мнение о том, что он был изобретен Сэмом Лойдом . Название «криптарифм» было придумано паззлистом Миносом (псевдоним Саймона Ватрикванта ) в майском выпуске бельгийского журнала по математике «Сфинкс» за 1931 год и было переведено Морисом Крайтчиком как « криптарифметика» в 1942 году. В 1955 году Дж. Хантер представил слово «алфавитный» для обозначения криптарифмов, таких как код Дудени, буквы которого образуют значимые слова или фразы.

Типы криптарифмов

Типы криптарифмов включают буквенное, дигиметическое и скелетное деление.

Алфавитный: Тип криптарифма, в котором набор слов записывается в виде длинной суммы сложения или какой-либо другой математической задачи. Цель состоит в том, чтобы заменить буквы алфавита десятичными цифрами, чтобы получить действительную арифметическую сумму.
Digimetic: Криптарифм, в котором цифры используются для обозначения других цифр.

Скелетное деление: Длинное деление, в котором большая часть или все цифры заменяются символами (обычно звездочками), чтобы сформировать криптарифм.
Обратный криптарифм: Редкий вариант, когда формула написана, а решением является соответствующий криптарифм, решением которого является данная формула.

Решение криптарифмов

Решение криптарифма вручную обычно включает в себя сочетание выводов и исчерпывающих проверок возможностей. Например, следующая последовательность выводов решает задачу Дудени ОТПРАВИТЬ + БОЛЬШЕ = ДЕНЬГИ (столбцы пронумерованы справа налево):

${\ displaystyle {\ begin {matrix} && {\ text {S}} & {\ text {E}} & {\ text {N}} & {\ text {D}} \\ + && {\ text {M }} & {\ text {O}} & {\ text {R}} & {\ text {E}} \\\ hline = & {\ text {M}} & {\ text {O}} & {\ текст {N}} & {\ text {E}} & {\ text {Y}} \\\ end {matrix}}}$

Из столбца 5 M = 1, поскольку это единственный возможный перенос из суммы двух однозначных чисел в столбце 4.
Поскольку в столбце 5 есть перенос, O должно быть меньше или равно M (из столбца 4). Но O не может быть равно M, поэтому O меньше M. Следовательно, O = 0 .
Поскольку O на 1 меньше, чем M, S равно 8 или 9 в зависимости от того, есть ли перенос в столбце 4. Но если бы был перенос в столбце 4, N было бы меньше или равно O (из столбца 3). Это невозможно, поскольку O = 0. Следовательно, в столбце 3 нет переноса и S = 9 .
Если бы в столбце 3 не было переноса, то E = N, что невозможно. Следовательно, есть перенос и N = E + 1.
Если в столбце 2 не было переноса, то (N + R) mod 10 = E и N = E + 1, поэтому (E + 1 + R) mod 10 = E, что означает (1 + R) mod 10 = 0 , поэтому R = 9. Но S = 9, поэтому в столбце 2 должен быть перенос, поэтому R = 8 .
Чтобы произвести перенос в столбце 2, мы должны иметь D + E = 10 + Y.
Y не меньше 2, поэтому D + E не меньше 12.
Единственные две пары доступных чисел, которые в сумме составляют не менее 12, - это (5,7) и (6,7), поэтому либо E = 7, либо D = 7.
Поскольку N = E + 1, E не может быть 7, потому что тогда N = 8 = R, поэтому D = 7 .
E не может быть 6, потому что тогда N = 7 = D, поэтому E = 5 и N = 6 .
D + E = 12, поэтому Y = 2 .

Другой пример TO + GO = OUT (источник неизвестен):

${\ displaystyle {\ begin {matrix} && {\ text {T}} & {\ text {O}} \\ + && {\ text {G}} & {\ text {O}} \\\ hline = & {\ text {O}} & {\ text {U}} & {\ text {T}} \\\ end {matrix}}}$

Сумма двух самых больших двузначных чисел составляет 99 + 99 = 198. Итак, O = 1, и в столбце 3 есть перенос.
Поскольку столбец 1 находится справа от всех других столбцов, перенос в нем невозможно. Следовательно, 1 + 1 = T и T = 2 .
Поскольку столбец 1 был вычислен на последнем шаге, известно, что в столбце 2 нет переноса. Но также известно, что есть перенос в столбце 3 на первом этапе. Следовательно, 2 + G≥10. Если G равно 9, U будет равно 1, но это невозможно, поскольку O также равно 1. Таким образом, возможно только G = 8, а с 2 + 8 = 10 + U, U = 0 .

Часто помогает использование модульной арифметики . Например, использование арифметики mod-10 позволяет обрабатывать столбцы задачи сложения как одновременные уравнения , в то время как использование арифметики mod-2 позволяет делать выводы, основанные на четности переменных.

В информатике , cryptarithms обеспечивают хорошие примеры, иллюстрирующие грубая силу методы и алгоритмы , которые генерируют все перестановки из м выбора из п возможностей. Например, загадку Дудени выше можно решить, проверив все присвоения восьми значений среди цифр от 0 до 9 восьми буквам S, E, N, D, M, O, R, Y, что дает 1814400 возможностей. Они также предоставляют хорошие примеры для парадигмы обратного отслеживания при разработке алгоритмов .

Дополнительная информация

При обобщении на произвольные базисы проблема определения того, имеет ли криптарифм решение, становится NP-полной . (Обобщение необходимо для получения результата о твердости, потому что в базе 10 есть только 10! Возможных присвоений цифр буквам, и их можно сравнить с головоломкой за линейное время.)

Алфавитные указания можно комбинировать с другими числовыми головоломками, такими как Судоку и Какуро, для создания загадочных Судоку и Какуро .

Самый длинный алфавит

Антон Павлис построил алфавитную схему в 1983 году с 41 дополнением:

ТАК + МНОГО + БОЛЬШЕ + МУЖЧИНЫ + КАЖЕТСЯ + СКАЗАТЬ + СКАЗАТЬ + ЧТО +

ОНИ + МОГУТ + СКОРО + ПОПРОБОВАТЬ + ПО + ОСТАНОВИТЬСЯ + В + ДОМУ +

ТАК + КАК + ЧТО + УВИДЕТЬ + ИЛИ + СЛЫШАЕТ + ТО + ЖЕ + ОДИН +

ЧЕЛОВЕК + ПОПЫТАЙТЕСЬ + ВСТРЕЧИТЬ + КОМАНДУ + НА + НА +

ЛУНА + КАК + ОН + ИМЕЕТ + НА + ДРУГОЕ + ДЕСЯТЬ

= ИСПЫТАНИЯ

(Ответ таков: TRANHYSMOE = 9876543210.)

Смотрите также

Диофантово уравнение
Математические головоломки
Перестановка
Загадки
Sideways Arithmetic From Wayside School - книга, сюжет которой вращается вокруг этих головоломок.

использованная литература

Мартин Гарднер , математика, магия и тайна . Дувр (1956)
В журнале «Развлекательная математика» была постоянная колонка с алфавитным указанием.
Джек ван дер Эльсен, Alphametics . Маастрихт (1998)
Кахан С., Есть некоторые суммы, которые нужно решить: Полная книга по алфавиту, Baywood Publishing, (1978)
Брук М. Сто пятьдесят головоломок в криптографической арифметике. Нью-Йорк: Дувр, (1963)
Хитеш Тикамчанд Джайн, Азбука криптарифметики / алфавита. Индия (2017)

Languages

In other projects