Векторная логика - Vector logic

Векторная логика - это алгебраическая модель элементарной логики, основанная на матричной алгебре . Векторная логика предполагает, что значения истинности отображаются на векторах и что монадические и диадические операции выполняются матричными операторами. «Векторная логика» также использовалась для обозначения представления классической логики высказываний как векторного пространства , в котором единичные векторы являются пропозициональными переменными . Логика предикатов может быть представлена ​​как векторное пространство того же типа, в котором оси представляют буквы предиката и . В векторном пространстве для логики высказываний начало координат представляет ложное, F, а бесконечная периферия представляет истинное, T, тогда как в пространстве для логики предикатов начало координат представляет «ничто», а периферия представляет собой бегство из ничего или «что-то». ". ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P}$

Обзор

Классическая бинарная логика представлена ​​небольшим набором математических функций, зависящих от одной (монадической) или двух (диадической) переменных. В двоичном наборе значение 1 соответствует истине, а значение 0 - ложному . Двузначное вектор логика требует соответствия между значениями истинности истинных (т) и ложным (F), и два д - мерное нормализуется реального -значными векторы - столбцы с и п , следовательно:

${\ Displaystyle т \ mapsto s}$    а также    ${\ displaystyle f \ mapsto n}$

(где - произвольное натуральное число, а «нормализованный» означает, что длина вектора равна 1; обычно s и n - ортогональные векторы). Это соответствие порождает пространство векторных истинностных значений: V ₂  = { s , n }. Основные логические операции, определенные с помощью этого набора векторов, приводят к матричным операторам. ${\ displaystyle q \ geq 2}$

Операции векторной логики основаны на скалярном произведении между q -мерными векторами-столбцами :: ортонормированность между векторами s и n подразумевает, что if , and if , where . ${\ displaystyle u ^ {T} v = \ langle u, v \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle и, v \ rangle = 1}$${\ displaystyle u = v}$${\ Displaystyle \ langle и, v \ rangle = 0}$${\ Displaystyle и \ neq v}$${\ displaystyle u, v \ in \ {s, n \}}$

Монадические операторы

Монадические операторы являются результатом приложения , а соответствующие матрицы имеют q строк и q столбцов. Два основных монадических оператора для этой двузначной векторной логики - это тождество и отрицание : ${\ displaystyle Mon: V_ {2} \ to V_ {2}}$

• Идентичность : логический идентификатор идентичности ( p ) представлен матрицей , где сопоставления являются продуктами Кронекера . Эта матрица работает следующим образом: Ip  =  p , p  ∈  V ₂ ; из-за ортогональности s относительно n имеем , и аналогично . Важно отметить, что эта единичная матрица векторной логики обычно не является единичной матрицей в смысле матричной алгебры.${\ displaystyle I = ss ^ {T} + nn ^ {T}}$${\ Displaystyle Is = ss ^ {T} s + nn ^ {T} s = s \ langle s, s \ rangle + n \ langle n, s \ rangle = s}$${\ displaystyle In = n}$
• Отрицание : логическое отрицание ¬ p представлено матрицей. Следовательно, Ns  =  n и Nn  =  s . Инволютивное поведение логического отрицания, а именно , что ¬ (¬ р ) равен р , соотносится с тем , что N ²  =  I .${\ displaystyle N = ns ^ {T} + sn ^ {T}}$

Диадические операторы

16 двузначных диадических операторов соответствуют функциям типа ; диадические матрицы имеют q ² строк и q столбцов. Матрицы, которые выполняют эти диадические операции, основаны на свойствах произведения Кронекера . (Умножение такой диадической матрицы на матрицу дает столбец, элементы которого являются скалярными произведениями Фробениуса квадратной матрицы на блоки того же размера в диадической матрице.) ${\ displaystyle Dyad: V_ {2} \ otimes V_ {2} \ to V_ {2}}$${\ displaystyle q \ times q}$${\ displaystyle q \ times 1}$

Для формализма векторной логики существенны два свойства этого произведения:

Используя эти свойства, можно получить выражения для функций диадической логики:

• Соединение . Конъюнкция ( p ∧ q ) выполняется матрицей, которая действует на два вектора истинностных значений:.Эта матрица воспроизводит черты классической таблицы истинности конъюнкции в ее формулировке:${\ Displaystyle C (и \ otimes v)}$

${\ Displaystyle C = s (s \ otimes s) ^ {T} + n (s \ otimes n) ^ {T} + n (n \ otimes s) ^ {T} + n (n \ otimes n) ^ { T}}$

и проверяет

${\ Displaystyle C (s \ otimes s) = s,}$ а также

${\ Displaystyle C (s \ otimes n) = C (n \ otimes s) = C (n \ otimes n) = n.}$

• Дизъюнкция . Дизъюнкция ( p ∨ q ) выполняется матрицей

${\ Displaystyle D = s (s \ otimes s) ^ {T} + s (s \ otimes n) ^ {T} + s (n \ otimes s) ^ {T} + n (n \ otimes n) ^ { T},}$ в результате чего

${\ Displaystyle D (s \ otimes s) = D (s \ otimes n) = D (n \ otimes s) = s}$ а также

${\ Displaystyle D (п \ иногда п) = п.}$

• Последствия . Импликация соответствует в классической логике выражению p  →  q  ≡ ¬ p  ∨  q . Вектор логика версия этой эквивалентность приводит к матрицекоторая представляет этот подтекст в векторных логиках:. Явное выражение для этой импликации:${\ Displaystyle L = D (N \ otimes I)}$

${\ Displaystyle L = s (s \ otimes s) ^ {T} + n (s \ otimes n) ^ {T} + s (n \ otimes s) ^ {T} + s (n \ otimes n) ^ { T},}$

и выполняются свойства классической импликации:

${\ Displaystyle L (s \ otimes s) = L (n \ otimes s) = L (n \ otimes n) = s}$ а также

${\ Displaystyle L (s \ otimes п) = п.}$

• Эквивалентность и Исключительное или . В векторной логике эквивалентность p ≡ q представлена ​​следующей матрицей:

${\ Displaystyle E = s (s \ otimes s) ^ {T} + n (s \ otimes n) ^ {T} + n (n \ otimes s) ^ {T} + s (n \ otimes n) ^ { T}}$ с участием

${\ Displaystyle E (s \ otimes s) = E (n \ otimes n) = s}$ а также

${\ Displaystyle E (s \ otimes n) = E (n \ otimes s) = n.}$

Исключительное или является отрицанием эквивалентности, ¬ ( p ≡ q ); это соответствует матрице, заданной${\ displaystyle X = NE}$

${\ Displaystyle X = N (s \ otimes s) ^ {T} + s (s \ otimes n) ^ {T} + s (n \ otimes s) ^ {T} + n (n \ otimes n) ^ { T},}$

с и${\ Displaystyle X (s \ otimes s) = X (n \ otimes n) = n}$

${\ Displaystyle X (s \ otimes n) = X (n \ otimes s) = s.}$

• NAND и NOR

Матрицы S и P соответствуют операциям Шеффера (И-НЕ) и Пирса (ИЛИ) соответственно:

${\ Displaystyle S = NC}$

${\ Displaystyle P = ND}$

Закон де Моргана

В двузначной логике операции конъюнкции и дизъюнкции удовлетворяют закону Де Моргана : p ∧ q ≡¬ (¬ p ∨¬ q ), и его двойственному закону : p ∨ q ≡¬ (¬ p ∧¬ q )). Для двузначной векторной логики также проверяется этот закон:

${\ Displaystyle С (и \ otimes v) = ND (Nu \ otimes Nv)}$, где u и v - два логических вектора.

Произведение Кронекера предполагает следующую факторизацию:

${\ Displaystyle C (и \ otimes v) = ND (N \ otimes N) (u \ otimes v).}$

Тогда можно доказать, что в двумерной векторной логике закон Де Моргана - это закон с участием операторов, а не только закон, касающийся операций:

${\ Displaystyle C = ND (N \ otimes N)}$

Закон противопоставления

В классическом исчислении высказываний доказывается закон противопоставления p  →  q  ≡ ¬ q  → ¬ p, поскольку эквивалентность выполняется для всех возможных комбинаций истинностных значений p и q . Вместо этого в векторной логике закон противопоставления возникает из цепочки равенств в рамках правил матричной алгебры и произведений Кронекера, как показано ниже:

${\ Displaystyle L (и \ otimes v) = D (N \ otimes I) (u \ otimes v) = D (Nu \ otimes v) = D (Nu \ otimes NNv) =}$

${\ Displaystyle D (NNv \ otimes Nu) = D (N \ otimes I) (Nv \ otimes Nu) = L (Nv \ otimes Nu)}$

Этот результат основан на том факте , что матрица дизъюнкции D представляет собой коммутативную операцию.

Многозначная двумерная логика

Многозначная логика была разработана многими исследователями, в частности Яном Лукасевичем, и позволяет расширить логические операции до значений истинности, которые включают неопределенности. В случае двузначной векторной логики неопределенности в значениях истинности могут быть введены с использованием векторов с s и n, взвешенных по вероятностям.

Пусть , с такими «вероятностными» векторами. Здесь многозначный характер логики вводится апостериори через неопределенности, внесенные во входные данные. ${\ displaystyle f = \ epsilon s + \ delta n}$${\ Displaystyle \ эпсилон, \ дельта \ в [0,1], \ эпсилон + \ дельта = 1}$

Скалярные проекции векторных выходов

Результаты этой многозначной логики могут быть спроецированы на скалярные функции и генерировать определенный класс вероятностной логики, сходный с многозначной логикой Райхенбаха. Учитывая два вектора и и двоичную логическую матрицу , скалярная вероятностная логика обеспечивается проекцией на вектор  s : ${\ Displaystyle и = \ альфа s + \ бета п}$${\ displaystyle v = \ alpha 's + \ beta' n}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle Val (\ mathrm {scalars}) = s ^ {T} G (\ mathrm {векторы})}$

Вот основные результаты этих прогнозов:

${\ Displaystyle НЕ (\ альфа) = s ^ {T} Nu = 1- \ альфа}$

${\ Displaystyle ИЛИ (\ альфа, \ альфа ') = s ^ {T} D (и \ otimes v) = \ альфа + \ альфа' - \ альфа \ альфа '}$

${\ Displaystyle И (\ альфа, \ альфа ') = s ^ {T} С (и \ otimes v) = \ альфа \ альфа'}$

${\ Displaystyle IMPL (\ альфа, \ альфа ') = s ^ {T} L (и \ otimes v) = 1- \ альфа (1- \ альфа')}$

${\ displaystyle XOR (\ alpha, \ alpha ') = s ^ {T} X (u \ otimes v) = \ alpha + \ alpha' -2 \ alpha \ alpha '}$

Связанные отрицания:

${\ Displaystyle ИЛИ (\ альфа, \ альфа ') = 1-ИЛИ (\ альфа, \ альфа')}$

${\ Displaystyle И-НЕ (\ альфа, \ альфа ') = 1-И (\ альфа, \ альфа')}$

${\ Displaystyle EQUI (\ альфа, \ альфа ') = 1-исключающее ИЛИ (\ альфа, \ альфа')}$

Если скалярные значения принадлежат множеству {0, ½, 1}, эта многозначная скалярная логика для многих операторов почти идентична 3-значной логике Лукасевича. Кроме того, было доказано, что когда монадические или диадические операторы действуют над вероятностными векторами, принадлежащими этому набору, выход также является элементом этого набора.

Квадратный корень из НЕ

Этот оператор был первоначально определен для кубитов в рамках квантовых вычислений . В векторной логике этот оператор может быть расширен для произвольных ортонормированных значений истинности. На самом деле есть два квадратных корня из НЕ:

${\ displaystyle A = ({\ sqrt {N}}) _ {1} = {\ frac {1} {2}} (1 + i) I + {\ frac {1} {2}} (1-i) N}$, а также

${\ displaystyle B = ({\ sqrt {N}}) _ {2} = {\ frac {1} {2}} (1-i) I + {\ frac {1} {2}} (1 + i) N}$,

с . и являются комплексно сопряженными:, и обратите внимание, что , и . Еще один интересный момент - это аналогия с двумя квадратными корнями из -1. Положительный корень соответствует , а отрицательный корень соответствует ; как следствие, . ${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B = A ^ {*}}$${\ Displaystyle А ^ {2} = В ^ {2} = N}$${\ displaystyle AB = BA = I}$${\ displaystyle + ({\ sqrt {-1}})}$${\ displaystyle ({\ sqrt {N}}) _ {1} = IA}$${\ displaystyle - ({\ sqrt {-1}})}$${\ displaystyle ({\ sqrt {N}}) _ {2} = NA}$${\ displaystyle NA = B}$

История

Ранние попытки использовать линейную алгебру для представления логических операций можно отнести к Пирсу и Копиловишу , особенно в использовании логических матриц для интерпретации исчисления отношений .

Этот подход был вдохновлен моделями нейронных сетей, основанными на использовании многомерных матриц и векторов. Векторная логика - это прямой перевод в матрично-векторный формализм классических булевых многочленов . Этот вид формализма был применен для разработки нечеткой логики в терминах комплексных чисел . Другие матричные и векторные подходы к логическому исчислению были разработаны в рамках квантовой физики , информатики и оптики .

Индийский биофизиком Г.Н. Рамачандраны разработал формализм с использованием алгебраических матрицы и векторов для представления множества операций классической логики Jain , известной как сйад и Saptbhangi; см. индийскую логику . Он требует независимых подтверждающих свидетельств для каждого утверждения в предложении и не делает предположений о бинарном дополнении.

Булевы полиномы

Джордж Буль установил развитие логических операций как многочленов. В случае монадических операторов (таких как тождество или отрицание ) булевы многочлены выглядят следующим образом:

${\ Displaystyle е (х) = е (1) х + е (0) (1-х)}$

Четыре различных монадических операции являются результатом разных двоичных значений коэффициентов. Операция идентичности требует f (1) = 1 и f (0) = 0, а отрицание происходит, если f (1) = 0 и f (0) = 1. Для 16 диадических операторов булевы многочлены имеют вид:

${\ Displaystyle е (х, у) = е (1,1) ху + е (1,0) х (1-у) + е (0,1) (1-х) у + е (0,0) (1-x) (1-y)}$

Диадические операции могут быть переведены в этот полиномиальный формат, когда коэффициенты f принимают значения, указанные в соответствующих таблицах истинности . Например: операция NAND требует, чтобы:

${\ displaystyle f (1,1) = 0}$ и .${\ Displaystyle f (1,0) = f (0,1) = f (0,0) = 1}$

Эти булевы полиномы могут быть немедленно расширены до любого числа переменных, что дает большое количество возможных логических операторов. В векторной логике матрично-векторная структура логических операторов является точным переводом в формат линейной алгебры этих булевых многочленов, где x и 1− x соответствуют векторам s и n соответственно (то же самое для y и 1− y ). В примере с И-НЕ, f (1,1) = n и f (1,0) = f (0,1) = f (0,0) = s, и версия матрицы становится:

${\ Displaystyle S = N (s \ otimes s) ^ {T} + s [(s \ otimes n) ^ {T} + (n \ otimes s) ^ {T} + (n \ otimes n) ^ {T }]}$

Расширения

• Векторная логика может быть расширена для включения множества значений истинности, поскольку большие векторные пространства позволяют создавать множество ортогональных значений истинности и соответствующих логических матриц.
• Логические модальности могут быть полностью представлены в этом контексте с рекурсивным процессом, вдохновленным нейронными моделями .
• Некоторые когнитивные проблемы, связанные с логическими вычислениями, могут быть проанализированы с использованием этого формализма, в частности, рекурсивные решения. Любое логическое выражение классического исчисления высказываний может быть естественно представлено древовидной структурой . Этот факт сохраняется в векторной логике и частично использовался в нейронных моделях, ориентированных на исследование разветвленной структуры естественных языков.
• Вычисление с помощью обратимых операций, как вентиль Фредкина, может быть реализовано в векторной логике. Такая реализация предоставляет явные выражения для матричных операторов, которые производят формат ввода и фильтрацию вывода, необходимую для получения вычислений.
• Элементарные клеточные автоматы можно анализировать с помощью операторной структуры векторной логики; этот анализ приводит к спектральному разложению законов, управляющих его динамикой.
• Кроме того, на основе этого формализма разработано дискретное дифференциальное и интегральное исчисление .

Смотрите также

• Алгебраическая логика
• Булева алгебра
• Исчисление высказываний
• Квантовая логика
• Джонатан Вестфаль

использованная литература