Векторная авторегрессия - Vector autoregression

Векторная авторегрессия ( VAR ) - это статистическая модель, используемая для определения взаимосвязи между несколькими величинами по мере их изменения во времени. VAR - это тип модели случайного процесса . Модели VAR обобщают модель авторегрессии с одной переменной (одномерной) , допуская многомерные временные ряды . VAR-модели часто используются в экономике и естественных науках .

Как и в модели авторегрессии, каждая переменная имеет уравнение, моделирующее ее эволюцию во времени. Это уравнение включает запаздывающие (прошлые) значения переменной , запаздывающие значения других переменных в модели и член ошибки . Для моделей VAR не требуется столько знаний о силах, влияющих на переменную, как для структурных моделей с одновременными уравнениями . Единственное необходимое предварительное знание - это список переменных, которые, как можно предположить, будут влиять друг на друга с течением времени.

Технические характеристики

Определение

Модель VAR описывает эволюцию набора k переменных, называемых эндогенными переменными , во времени. Каждый период времени пронумерован, т = 1, ..., т . Переменные собраны в вектор , у _т , что длины к. (Эквивалентно, этот вектор может быть описан как ( k  × 1) - матрица. ) Вектор моделируется как линейная функция своего предыдущего значения. Компоненты вектора называются у _{я , т} , то есть наблюдение в момент времени т в I - й переменной. Например, если первая переменная в модели измеряет цену на пшеницу с течением времени, тогда _1,1998 y укажет цену на пшеницу в 1998 году.

Модели VAR характеризуются своим порядком , который относится к количеству более ранних периодов времени, которые модель будет использовать. Продолжая приведенный выше пример, VAR 5-го порядка будет моделировать цену на пшеницу каждого года как линейную комбинацию цен на пшеницу за последние пять лет. Отставание является значением переменной в предыдущий период времени. Таким образом, в общем случае VAR p- го порядка относится к модели VAR, которая включает запаздывания для последних p периодов времени. Р - го порядка ВАР обозначается «Var ( р )» , а иногда называют «ВДП с р запаздываний». Р модель ВАР го порядка записывается в виде

${\ displaystyle y_ {t} = c + A_ {1} y_ {t-1} + A_ {2} y_ {t-2} + \ cdots + A_ {p} y_ {tp} + e_ {t}, \ ,}$

Переменные вида y _{t −i} указывают, что значение переменной на периоды времени на i раньше, и называются "i- м запаздыванием" y _t . Переменные с является к -векторным константам , выступающим в качестве перехвата модели. A _i - инвариантная во времени ( k  ×  k ) -матрица, а e _t - k -вектор членов ошибок . Условия ошибки должны удовлетворять трем условиям:

1. ${\ Displaystyle \ mathrm {E} (е_ {т}) = 0 \,}$. Каждый член ошибки имеет нулевое среднее значение .
2. ${\ displaystyle \ mathrm {E} (e_ {t} e_ {t} ') = \ Omega \,}$. Одновременная ковариационная матрица ошибочных членов представляет собой положительно-полуопределенную матрицу размера k  ×  k, обозначенную Ω.
3. ${\ Displaystyle \ mathrm {E} (е_ {т} е_ {тк} ') = 0 \,}$для любого ненулевого k . Там нет корреляции во времени. В частности, нет последовательной корреляции в терминах индивидуальных ошибок.

Процесс выбора максимального запаздывания p в модели VAR требует особого внимания, потому что вывод зависит от правильности выбранного порядка запаздывания.

Порядок интегрирования переменных

Обратите внимание, что все переменные должны быть одного порядка интегрирования . Различают следующие случаи:

• Все переменные I (0) (стационарные): это стандартный случай, т.е. VAR на уровне
• Все переменные I ( d ) (нестационарные) с d  > 0:
  • Переменные коинтегрированы : член исправления ошибок должен быть включен в VAR. Модель становится векторной моделью коррекции ошибок (VECM), которую можно рассматривать как ограниченную VAR.
  • Переменные не коинтегрируются : во-первых, переменные должны быть различаются d раз, и одна переменная имеет разность VAR.

Краткие матричные обозначения

Можно складывать векторы, чтобы записать VAR ( p ) как стохастическое матричное разностное уравнение с краткой матричной записью:

${\ Displaystyle Y = BZ + U \,}$

Подробная информация о матрицах находится на отдельной странице .

Пример

Для общего примера VAR ( p ) с k переменными см. Общие матричные обозначения VAR (p) .

VAR (1) с двумя переменными может быть записан в матричной форме (более компактная запись) как

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} y_ {1, t} \\ y_ {2, t} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \ end {bmatrix }} + {\ begin {bmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} y_ {1 , t-1} \\ y_ {2, t-1} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} e_ {1, t} \\ e_ {2, t} \ end {bmatrix}},}$

(в котором появляется только одна матрица A, потому что в этом примере максимальное запаздывание p равно 1), или, что то же самое, в виде следующей системы двух уравнений

${\ displaystyle y_ {1, t} = c_ {1} + a_ {1,1} y_ {1, t-1} + a_ {1,2} y_ {2, t-1} + e_ {1, t } \,}$

${\ displaystyle y_ {2, t} = c_ {2} + a_ {2,1} y_ {1, t-1} + a_ {2,2} y_ {2, t-1} + e_ {2, t }. \,}$

Каждая переменная в модели имеет одно уравнение. Текущее (время t ) наблюдение каждой переменной зависит от ее собственных запаздывающих значений, а также от запаздывающих значений каждой другой переменной в VAR.

Запись VAR ( p ) как VAR (1)

VAR с p- лагами всегда можно эквивалентно переписать как VAR только с одним лагом, соответствующим образом переопределив зависимую переменную. Преобразование сводится к суммированию лагов переменной VAR ( p ) в новой зависимой переменной VAR (1) и добавлению тождеств для завершения ряда уравнений.

Например, модель VAR (2)

${\ displaystyle y_ {t} = c + A_ {1} y_ {t-1} + A_ {2} y_ {t-2} + e_ {t}}$

можно преобразовать в модель VAR (1)

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} y_ {t} \\ y_ {t-1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} c \\ 0 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix } A_ {1} & A_ {2} \\ I & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} y_ {t-1} \\ y_ {t-2} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix } e_ {t} \\ 0 \ end {bmatrix}},}$

где I - единичная матрица .

Эквивалентная форма VAR (1) более удобна для аналитических выводов и допускает более компактные формулировки.

Структурная против уменьшенной формы

Структурный VAR

Структурный ВДП с р запаздываниями (иногда сокращенно SVAR ) является

${\ displaystyle B_ {0} y_ {t} = c_ {0} + B_ {1} y_ {t-1} + B_ {2} y_ {t-2} + \ cdots + B_ {p} y_ {tp} + \ epsilon _ {t},}$

где c ₀ -  вектор констант размером k × 1, B _i - матрица k  ×  k (для каждого i = 0, ..., p ), а ε _t -  вектор ошибок k × 1 . В главной диагонали условия B ₀ матрицы (коэффициенты на я - ^й переменной в я - ^го уравнения) масштабируются до 1.

Члены ошибки ε _t ( структурные удары ) удовлетворяют условиям (1) - (3) в приведенном выше определении, с той особенностью, что все элементы недиагонали ковариационной матрицы равны нулю. То есть структурные шоки некоррелированы. ${\ Displaystyle \ mathrm {E} (\ epsilon _ {t} \ epsilon _ {t} ') = \ Sigma}$

Например, двухпеременная структурная VAR (1):

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & B_ {0; 1,2} \\ B_ {0; 2,1} & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} y_ {1, t} \\ y_ { 2, t} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} c_ {0; 1} \\ c_ {0; 2} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} B_ {1; 1, 1} & B_ {1; 1,2} \\ B_ {1; 2,1} & B_ {1; 2,2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} y_ {1, t-1} \\ y_ {2, t-1} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} \ epsilon _ {1, t} \\\ epsilon _ {2, t} \ end {bmatrix}},}$

куда

${\ displaystyle \ Sigma = \ mathrm {E} (\ epsilon _ {t} \ epsilon _ {t} ') = {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} ^ {2} & 0 \\ 0 & \ sigma _ {2} ^ {2} \ end {bmatrix}};}$

то есть дисперсии структурных шоков обозначены ( i = 1, 2), а ковариация - . ${\ Displaystyle \ mathrm {var} (\ epsilon _ {я}) = \ sigma _ {я} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathrm {cov} (\ epsilon _ {1}, \ epsilon _ {2}) = 0}$

Записывая первое уравнение явно и передавая y _{2, t} в правую часть, получаем

${\ displaystyle y_ {1, t} = c_ {0; 1} -B_ {0; 1,2} y_ {2, t} + B_ {1; 1,1} y_ {1, t-1} + B_ {1; 1,2} y_ {2, t-1} + \ epsilon _ {1, t} \,}$

Обратите внимание, что y _{2, t} может иметь одновременный эффект на y _{1, t,} если B _{0; 1,2} не равно нулю. Это отличается от случая, когда B ₀ является единичной матрицей (все недиагональные элементы равны нулю - случай в начальном определении), когда y _{2, t} могут напрямую влиять на y _{1, t +1} и последующие будущие значения, но не у _{1, т} .

Из-за проблемы идентификации параметров , обычный метод наименьших квадратов оценки структурной VAR даст противоречивые оценки параметров. Эту проблему можно решить, переписав VAR в сокращенной форме.

С экономической точки зрения, если совместная динамика набора переменных может быть представлена ​​моделью VAR, то структурная форма представляет собой изображение лежащих в основе, «структурных», экономических отношений. Две особенности структурной формы делают ее предпочтительным кандидатом для представления основных отношений:

1. Условия ошибки не коррелированы . Предполагается, что структурные, экономические шоки, управляющие динамикой экономических переменных, являются независимыми , что подразумевает нулевую корреляцию между ошибочными условиями как желаемым свойством. Это полезно для разделения эффектов экономически не связанных влияний в VAR. Например, нет причин, по которым шок цен на нефть (как пример шока предложения ) должен быть связан с изменением предпочтений потребителей в отношении стиля одежды (как пример шока спроса ); поэтому можно было бы ожидать, что эти факторы будут статистически независимыми.

2. Переменные могут оказывать одновременное влияние на другие переменные . Это желательная функция, особенно при использовании данных с низкой частотой. Например, повышение ставки косвенного налога не повлияет на налоговые поступления в день объявления решения, но можно найти эффект в данных за этот квартал.

Уменьшенная форма VAR

Путем предварительного умножения структурной VAR на обратную величину B ₀

${\ displaystyle y_ {t} = B_ {0} ^ {- 1} c_ {0} + B_ {0} ^ {- 1} B_ {1} y_ {t-1} + B_ {0} ^ {- 1 } B_ {2} y_ {t-2} + \ cdots + B_ {0} ^ {- 1} B_ {p} y_ {tp} + B_ {0} ^ {- 1} \ epsilon _ {t},}$

и обозначая

${\ displaystyle B_ {0} ^ {- 1} c_ {0} = c, \ quad B_ {0} ^ {- 1} B_ {i} = A_ {i} {\ text {for}} i = 1, \ dots, p {\ text {и}} B_ {0} ^ {- 1} \ epsilon _ {t} = e_ {t}}$

получается приведенная VAR p- го порядка

${\ displaystyle y_ {t} = c + A_ {1} y_ {t-1} + A_ {2} y_ {t-2} + \ cdots + A_ {p} y_ {tp} + e_ {t}}$

Обратите внимание, что в сокращенной форме все правые переменные заранее определены в момент времени t . Поскольку в правой части нет эндогенных переменных времени t , никакая переменная не оказывает прямого одновременного воздействия на другие переменные в модели.

Однако члены ошибки в приведенной VAR представляют собой совокупность структурных ударов e _t = B ₀ ⁻¹ ε _t . Таким образом, возникновение одного структурного шока ε _{i, t} потенциально может привести к возникновению шоков во всех ошибочных членах e _{j, t} , тем самым создавая одновременное движение по всем эндогенным переменным. Следовательно, ковариационная матрица приведенной VAR

${\ displaystyle \ Omega = \ mathrm {E} (e_ {t} e_ {t} ') = \ mathrm {E} (B_ {0} ^ {- 1} \ epsilon _ {t} \ epsilon _ {t} '(B_ {0} ^ {- 1})') = B_ {0} ^ {- 1} \ Sigma (B_ {0} ^ {- 1}) '\,}$

могут иметь ненулевые недиагональные элементы, что обеспечивает ненулевую корреляцию между ошибочными членами.

Предварительный расчет

Оценка параметров регрессии

Начиная с краткой матричной записи (подробности см. В этом приложении ):

${\ Displaystyle Y = BZ + U \,}$

• Метод многомерных наименьших квадратов (MLS) для оценки B дает:

${\ displaystyle {\ hat {B}} = YZ '(ZZ') ^ {- 1}.}$

Альтернативно это можно записать как:

${\ displaystyle \ operatorname {Vec} ({\ hat {B}}) = ((ZZ ') ^ {- 1} Z \ otimes I_ {k}) \ \ operatorname {Vec} (Y),}$

где обозначает произведение Кронекера, а Vec - векторизацию указанной матрицы. ${\ displaystyle \ otimes}$

Эта оценка непротиворечива и асимптотически эффективна . Кроме того, он равен условной оценке максимального правдоподобия .

• Поскольку объясняющие переменные одинаковы в каждом уравнении, многомерная оценка методом наименьших квадратов эквивалентна обычной оценке методом наименьших квадратов, применяемой к каждому уравнению отдельно.

Оценка ковариационной матрицы ошибок

Как и в стандартном случае, оценка максимального правдоподобия (MLE) ковариационной матрицы отличается от оценки обычного метода наименьших квадратов (OLS).

Оценщик MLE: ${\ displaystyle {\ hat {\ Sigma}} = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {t = 1} ^ {T} {\ hat {\ epsilon}} _ {t} {\ hat { \ epsilon}} _ {t} '}$

Оценщик МНК: для модели с константой, переменными k и лагами p . ${\ displaystyle {\ hat {\ Sigma}} = {\ frac {1} {T-kp-1}} \ sum _ {t = 1} ^ {T} {\ hat {\ epsilon}} _ {t} {\ hat {\ epsilon}} _ {t} '}$

В матричной записи это дает:

${\ displaystyle {\ hat {\ Sigma}} = {\ frac {1} {T-kp-1}} (Y - {\ hat {B}} Z) (Y - {\ hat {B}} Z) '.}$

Оценка ковариационной матрицы оценщика

Ковариационная матрица параметров может быть оценена как

${\ displaystyle {\ widehat {\ mbox {Cov}}} ({\ mbox {Vec}} ({\ hat {B}})) = ({ZZ '}) ^ {- 1} \ otimes {\ hat { \ Sigma}}. \,}$

Степени свободы

Модели векторной авторегрессии часто включают оценку многих параметров. Например, с семью переменными и четырьмя лагами каждая матрица коэффициентов для данной длины лага равна 7 на 7, а вектор констант имеет 7 элементов, так что всего оценивается 49 × 4 + 7 = 203 параметра, что существенно снижает в степени свободы регрессии (число точек данных минус число оцениваемых параметров). Это может снизить точность оценок параметров и, следовательно, прогнозов, данных моделью.

Интерпретация оценочной модели

Свойства модели VAR обычно суммируются с использованием структурного анализа с использованием причинности Грейнджера , импульсных откликов и разложения дисперсии ошибки прогноза .

Импульсивный ответ

Рассмотрим случай первого порядка (т.е. с одним запаздыванием) с уравнением эволюции

${\ displaystyle y_ {t} = Ay_ {t-1} + e_ {t},}$

для вектора развития (состояния) и вектора шоков. Чтобы найти, скажем, влияние j-го элемента вектора потрясений на i-й элемент вектора состояния через 2 периода, который является конкретной импульсной характеристикой, сначала запишите приведенное выше уравнение эволюции с запаздыванием на один период: ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle e}$

${\ displaystyle y_ {t-1} = Ay_ {t-2} + e_ {t-1}.}$

Используйте это в исходном уравнении эволюции, чтобы получить

${\ displaystyle y_ {t} = A ^ {2} y_ {t-2} + Ae_ {t-1} + e_ {t};}$

затем повторите, используя уравнение эволюции с двойным запаздыванием, чтобы получить

${\ displaystyle y_ {t} = A ^ {3} y_ {t-3} + A ^ {2} e_ {t-2} + Ae_ {t-1} + e_ {t}.}$

Отсюда влияние j-го компонента на i-й компонент представляет собой i, j-й элемент матрицы.${\ displaystyle e_ {t-2}}$${\ displaystyle y_ {t}}$${\ displaystyle A ^ {2}.}$

Из этого индукционного процесса видно, что любой удар будет оказывать влияние на элементы y бесконечно далеко вперед во времени, хотя эффект будет становиться все меньше и меньше со временем, если предположить, что процесс AR является стабильным, то есть что все собственные значения матрицы A меньше единицы по модулю .

Прогнозирование с использованием оценочной модели VAR

Предполагаемая модель VAR может использоваться для прогнозирования , а качество прогнозов может быть оценено способами, полностью аналогичными методам, используемым в одномерном авторегрессионном моделировании.

Приложения

Кристофер Симс отстаивал модели VAR, критикуя утверждения и эффективность более раннего моделирования в макроэкономической эконометрике . Он рекомендовал модели VAR, которые ранее появлялись в статистике временных рядов и в идентификации систем , статистической специальности в теории управления . Симс отстаивал модели VAR как не требующий теории метод оценки экономических отношений, тем самым являясь альтернативой «невероятным ограничениям идентификации» в структурных моделях. Модели VAR также все чаще используются в медицинских исследованиях для автоматического анализа дневниковых данных или данных датчиков.

Программное обеспечение

• R : Пакет vars включает функции для моделей VAR. Другие пакеты R перечислены в представлении задач CRAN: Анализ временных рядов.
• Python : модуль tsa (анализ временных рядов) пакета statsmodels поддерживает VAR. PyFlux поддерживает VAR и байесовские VAR.
• SAS : VARMAX
• Stata : "var"
• EViews : "VAR"
• Гретль : "вар"
• Matlab : "варм"
• Регрессионный анализ временных рядов : «СИСТЕМА»
• LDT

Смотрите также

• Байесовская векторная авторегрессия
• Конвергентное перекрестное отображение
• Причинность Грейнджера
• Панельная векторная авторегрессия , расширение моделей VAR на панельные данные
• Разложение дисперсии

Примечания

дальнейшее чтение

• Астериу, Димитриос; Холл, Стивен Г. (2011). "Модели векторной авторегрессии (VAR) и тесты причинно-следственной связи". Прикладная эконометрика (второе изд.). Лондон: Пэлгрейв Макмиллан. С. 319–333.
• Эндерс, Уолтер (2010). Прикладные эконометрические временные ряды (Третье изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 272–355. ISBN 978-0-470-50539-7.
• Фаверо, Карло А. (2001). Прикладная макроэконометрика . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 162–213. ISBN 0-19-829685-1.
• Lütkepohl, Гельмут (2005). Новое введение в анализ множественных временных рядов . Берлин: Springer. ISBN 3-540-40172-5.
• Цинь, Дуэт (2011). «Развитие подхода к моделированию VAR». Журнал экономических исследований . 25 (1): 156–174. DOI : 10.1111 / j.1467-6419.2010.00637.x .