Естественная трансформация - Natural transformation

В теории категорий , одном из разделов математики , естественное преобразование обеспечивает способ преобразования одного функтора в другой при соблюдении внутренней структуры (т. Е. Композиции морфизмов ) задействованных категорий . Следовательно, естественное преобразование можно рассматривать как «морфизм функторов». Действительно, эту интуицию можно формализовать для определения так называемых категорий функторов . После категорий и функторов естественные преобразования являются одним из самых фундаментальных понятий теории категорий и, следовательно, появляются в большинстве ее приложений.

Определение

Если и являются функторами между категориями и , то естественным преобразованием из в является семейство морфизмов, удовлетворяющее двум требованиям. ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$

1. Естественное преобразование необходимо связать, к каждому объекту в , в морфизм между объектами . Морфизм называется компонент из в .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$ ${\ Displaystyle \ eta _ {X}: от F (X) \ до G (X)}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ eta _ {X}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle X}$
2. Компоненты должны быть такими, чтобы для каждого морфизма в нас было:${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle \ eta _ {Y} \ circ F (f) = G (f) \ circ \ eta _ {X}}$

Последнее уравнение удобно выразить коммутативной диаграммой

Если оба и являются контравариантным , вертикальные стрелки в этой диаграмме меняются местами. Если это естественное преобразование из в , мы также пишем или . Это также выражается, говоря , семейство морфизмов является естественным в . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ eta: F \ to G}$${\ displaystyle \ eta: F \ подразумевает G}$${\ Displaystyle \ eta _ {X}: от F (X) \ до G (X)}$${\ displaystyle X}$

Если для каждого объекта в морфизм является изоморфизмом в , то говорят, что он${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ eta _ {X}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ eta}$ естественный изоморфизм (или иногдаестественная эквивалентностьилиизоморфизм функторов). Два функтораиназываютсяестественно изоморфнымиили простоизоморфными,если существует естественный изоморфизм отдо. ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$

Infranatural преобразование из в это просто семейство морфизмов , для всех ин . Таким образом, естественное преобразование - это сверхъестественное преобразование, для которого любой морфизм . Naturalizer из , физ , является самой большой подкатегории из содержащего все объекты , на которых ограничивает к естественной трансформации. ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ eta _ {X}: от F (X) \ до G (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ eta _ {Y} \ circ F (f) = G (f) \ circ \ eta _ {X}}$${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle (\ eta)}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ eta}$

Примеры

Противоположная группа

Заявления, такие как

«Каждая группа естественно изоморфна своей противоположной группе »

изобилуют современной математикой. Приведем теперь точный смысл этого утверждения, а также его доказательство. Рассмотрим категорию всех групп с гомоморфизмами групп как морфизмов. Если это группа, мы определяем ее противоположную группу следующим образом: это то же множество , что и, и операция определяется с помощью . Таким образом "переворачиваются" все умножения . Формирование противоположной группы становится (ковариантным) функтором от до, если мы определим для любой группы гомоморфизм . Обратите внимание, что это действительно групповой гомоморфизм от до : ${\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$${\ displaystyle (G, *)}$${\ displaystyle (G ^ {\ text {op}}, {*} ^ {\ text {op}})}$${\ displaystyle G ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle * ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle a * ^ {\ text {op}} b = b * a}$${\ displaystyle G ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$${\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$${\ displaystyle f ^ {\ text {op}} = f}$${\ displaystyle f: G \ to H}$${\ displaystyle f ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle G ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle H ^ {\ text {op}}}$

${\ displaystyle f ^ {\ text {op}} (a * ^ {\ text {op}} b) = f (b * a) = f (b) * f (a) = f ^ {\ text {op }} (a) * ^ {\ text {op}} f ^ {\ text {op}} (b).}$

Содержание приведенного выше утверждения:

«Тождественный функтор естественно изоморфен противоположному функтору »${\ displaystyle {\ text {Id}} _ {\ textbf {Grp}}: {\ textbf {Grp}} \ to {\ textbf {Grp}}}$${\ displaystyle {\ text {op}}: {\ textbf {Grp}} \ to {\ textbf {Grp}}}$

Чтобы доказать это, нам нужно предоставить изоморфизмы для каждой группы , чтобы указанная выше диаграмма коммутировала. Установить . Формулы и показывают, что это групповой гомоморфизм с обратным . Чтобы доказать естественность, мы начнем с гомоморфизма групп и покажем , т. Е. Для всех в . Это верно, поскольку и каждый гомоморфизм групп обладает свойством . ${\ displaystyle \ eta _ {G}: G \ to G ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ eta _ {G} (а) = а ^ {- 1}}$${\ displaystyle (a * b) ^ {- 1} = b ^ {- 1} * a ^ {- 1} = a ^ {- 1} * ^ {\ text {op}} b ^ {- 1}}$${\ Displaystyle (а ^ {- 1}) ^ {- 1} = а}$${\ displaystyle \ eta _ {G}}$${\ displaystyle \ eta _ {G ^ {\ text {op}}}}$${\ displaystyle f: G \ to H}$${\ displaystyle \ eta _ {H} \ circ f = f ^ {\ text {op}} \ circ \ eta _ {G}}$${\ Displaystyle (е (а)) ^ {- 1} = е ^ {\ текст {op}} (а ^ {- 1})}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle f ^ {\ text {op}} = f}$${\ Displaystyle (е (а)) ^ {- 1} = е (а ^ {- 1})}$

Абелианизация

Для данной группы мы можем определить ее абелианизацию . Обозначим через отображение проекции на смежные классы . Этот гомоморфизм «естественен по », т. Е. Определяет естественное преобразование, которое мы сейчас проверим. Позвольте быть группой. Для любого гомоморфизма мы имеем то, что содержится в ядре группы , потому что любой гомоморфизм в абелеву группу убивает коммутаторную подгруппу. Тогда коэффициенты через , как для уникального гомоморфизма . Это делает функтор и естественное преобразование, но не естественный изоморфизм, из функтора идентичности в . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G ^ {\ text {ab}} = G /}$ ${\ displaystyle [G, G]}$${\ displaystyle \ pi _ {G}: G \ to G ^ {\ text {ab}}}$${\ displaystyle [G, G]}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle f: G \ to H}$${\ displaystyle [G, G]}$${\ displaystyle \ pi _ {H} \ circ f}$${\ displaystyle \ pi _ {H} \ circ f}$${\ displaystyle G ^ {\ text {ab}}}$${\ displaystyle f ^ {\ text {ab}} \ circ \ pi _ {G} = \ pi _ {H} \ circ f}$${\ displaystyle f ^ {\ text {ab}}: G ^ {\ text {ab}} \ to H ^ {\ text {ab}}}$${\ displaystyle {\ text {ab}}: {\ textbf {Grp}} \ to {\ textbf {Grp}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ text {ab}}}$

Гомоморфизм Гуревича

Функторы и естественные преобразования изобилуют алгебраической топологией , примером которой служат гомоморфизмы Гуревича . Для любого точечного топологического пространства и натурального числа существует групповой гомоморфизм${\ Displaystyle (Х, х)}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle h _ {*} \ двоеточие \ pi _ {n} (X, x) \ to H_ {n} (X)}$

от -й гомотопической группы из к -ой группе гомологии с . Оба и являются функторами из категории Top ^* точечных топологических пространств в категорию групп Grp и являются естественным преобразованием из в . ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (Х, х)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ pi _ {n}}$${\ displaystyle H_ {n}}$${\ displaystyle h _ {*}}$${\ displaystyle \ pi _ {n}}$${\ displaystyle H_ {n}}$

Детерминант

Для заданных коммутативных колец и с гомоморфизмом колец соответствующие группы обратимых матриц и наследуют гомоморфизм, который мы обозначаем через , полученный применением к каждому элементу матрицы. Аналогичным образом , ограничивает в групповой гомоморфизм , где обозначает группу единиц из . Фактически, и являются функторами из категории коммутативных колец в . Детерминант на группе , обозначаемой , является гомоморфизмом ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle f: R \ to S}$ ${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (R)}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (S)}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (е)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {*}: R ^ {*} \ to S ^ {*}}$${\ Displaystyle R ^ {*}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$${\ displaystyle *}$${\ displaystyle {\ textbf {CRing}}}$${\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (R)}$${\ displaystyle {\ text {det}} _ {R}}$

${\ displaystyle {\ mbox {det}} _ {R} \ двоеточие {\ mbox {GL}} _ {n} (R) \ to R ^ {*}}$

что естественно в : поскольку определитель определяется той же формулой для каждого кольца, выполняется. Это делает определитель естественным преобразованием из в . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f \ circ {\ text {det}} _ {R} = {\ text {det}} _ {S} \ circ {\ text {GL}} _ {n} (f)}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$${\ displaystyle *}$

Двойной двойник векторного пространства

Если - поле , то для каждого векторного пространства над нами имеется «естественное» инъективное линейное отображение из векторного пространства в его двойное двойственное . Эти отображения «естественны» в следующем смысле: двойная двойственная операция является функтором, а карты являются компонентами естественного преобразования тождественного функтора в двойной двойственный функтор. ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle V \ to V ^ {**}}$

Конечное исчисление

Для каждой абелевой группы набор функций от целых чисел до основного набора образует абелеву группу при поточечном сложении. (Вот стандартный функтор забывчивости .) Для морфизма отображение, заданное левым соединением с элементами первого, само по себе является гомоморфизмом абелевых групп; таким образом мы получаем функтор . Оператор конечных разностей, переводящий каждую функцию в, является отображением из самой себя, и набор таких отображений дает естественное преобразование . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {\ textbf {Set}} (\ mathbb {Z}, U (G))}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle V _ {\ mathbb {Z}} (G)}$${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U: {\ textbf {Ab}} \ to {\ textbf {Set}}}$${\ displaystyle {\ textbf {Ab}}}$${\ displaystyle \ varphi: G \ to G '}$${\ Displaystyle V _ {\ mathbb {Z}} (\ varphi): V _ {\ mathbb {Z}} (G) \ to V _ {\ mathbb {Z}} (G ')}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle V _ {\ mathbb {Z}}: {\ textbf {Ab}} \ to {\ textbf {Ab}}}$${\ displaystyle \ Delta _ {G}}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {Z} \ к U (G)}$${\ Displaystyle \ Delta (f): п \ mapsto f (n + 1) -f (n)}$${\ Displaystyle V _ {\ mathbb {Z}} (G)}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta: V _ {\ mathbb {Z}} \ to V _ {\ mathbb {Z}}}$

Тензорное присоединение

Рассмотрим категорию${\ displaystyle {\ textbf {Ab}}}$ абелевых групп и гомоморфизмов групп. Для всех абелевых групп , и мы имеем групповой изоморфизм ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle {\ text {Hom}} (X \ otimes Y, Z) \ to {\ text {Hom}} (X, {\ text {Hom}} (Y, Z))}$.

Эти изоморфизмы «естественны» в том смысле, что они определяют естественное преобразование между двумя задействованными функторами . (Здесь «оп» является противоположной категории из , не следует путать с тривиальным противоположной группы функтора на  !) ${\ displaystyle {\ textbf {Ab}} ^ {\ text {op}} \ times {\ textbf {Ab}} ^ {\ text {op}} \ times {\ textbf {Ab}} \ to {\ textbf { Ab}}}$${\ displaystyle {\ textbf {Ab}}}$${\ displaystyle {\ textbf {Ab}}}$

Формально это тензор-гом присоединение и архетипический пример пары сопряженных функторов . Естественные преобразования часто возникают вместе с присоединенными функторами, и действительно, присоединенные функторы определяются некоторым естественным изоморфизмом. Кроме того, каждая пара сопряженных функторов оснащена двумя естественными преобразованиями (обычно не изоморфизмами), называемыми единицей и коит .

Неестественный изоморфизм

Понятие естественного преобразования категорично и утверждает (неформально), что конкретное отображение между функторами может быть выполнено последовательно по всей категории. Неформально конкретное отображение (особенно изоморфизм) между отдельными объектами (а не целыми категориями) называется «естественным изоморфизмом», подразумевая, что оно фактически определено для всей категории и определяет естественное преобразование функторов; формализация этой интуиции была мотивирующим фактором в развитии теории категорий. И наоборот, конкретное отображение между конкретными объектами можно назвать неестественным изоморфизмом (или «этот изоморфизм неестественный »), если отображение не может быть расширено до естественного преобразования на всей категории. Дан объекту функтор (принимая для простоты первый функтор за тождество) и доказательство неестественности изоморфизма проще всего показать, указав автоморфизм , который не коммутирует с этим изоморфизмом (так ). Сильнее, если кто -то хочет , чтобы доказать , что и естественно, не изоморфны, без привязки к конкретному изоморфизма, это требует показать , что для любого изоморфизма , есть некоторые , с которыми он не коммутируют; в некоторых случаях один автоморфизм работает для всех изоморфизмов-кандидатов, в то время как в других случаях нужно показать, как построить разные для каждого изоморфизма. Карты категории играют решающую роль - любое сверхъестественное преобразование является естественным, если, например, единственными картами являются карты идентичности. ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ eta \ двоеточие X \ в G (X),}$${\ displaystyle A \ двоеточие X \ to X}$${\ displaystyle \ eta \ circ A \ neq G (A) \ circ \ eta}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle G (X)}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle A _ {\ eta}}$

Это похоже (но более категорично) на концепции теории групп или теории модулей, где данное разложение объекта в прямую сумму «неестественно» или, скорее, «не уникально», поскольку существуют автоморфизмы, не сохраняющие прямую разложение суммы - см. Структурную теорему для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов § Единственность, например.

Некоторые авторы различают обозначения, используя для естественного изоморфизма и для неестественного изоморфизма, оставляя за собой равенство (обычно равенство отображений). ${\ displaystyle \ cong}$${\ Displaystyle \ приблизительно}$${\ displaystyle =}$

Пример: фундаментальная группа тора

В качестве примера различия между функциональным утверждением и отдельными объектами рассмотрим гомотопические группы пространства-произведения, в частности фундаментальную группу тора.

В гомотопических группах пространства продукта, естественно , продукт гомотопических групп компонентов, с изоморфизмом заданного проекцией на два факторов, в основном потому , что карты в пространство продукта являются именно продуктами карты в компоненты - это функториально утверждение. ${\ displaystyle \ pi _ {n} ((X, x_ {0}) \ times (Y, y_ {0})) \ cong \ pi _ {n} ((X, x_ {0})) \ times \ pi _ {n} ((Y, y_ {0})),}$

Однако тор (который абстрактно является произведением двух окружностей) имеет фундаментальную группу, изоморфную , но расщепление не является естественным. Обратите внимание на использование , и : ${\ displaystyle Z ^ {2}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (T, t_ {0}) \ приблизительно \ mathbf {Z} \ times \ mathbf {Z}}$${\ Displaystyle \ приблизительно}$${\ displaystyle \ cong}$${\ displaystyle =}$

${\ displaystyle \ pi _ {1} (T, t_ {0}) \ приблизительно \ pi _ {1} (S ^ {1}, x_ {0}) \ times \ pi _ {1} (S ^ {1 }, y_ {0}) \ cong \ mathbf {Z} \ times \ mathbf {Z} = \ mathbf {Z} ^ {2}.}$

Этот абстрактный изоморфизм с произведением не является естественным, поскольку некоторые изоморфизмы не сохраняют продукт: самогомеоморфизм (рассматриваемый как фактор-пространство ), заданный (геометрически поворот Дена вокруг одной из производящих кривых), действует как это матрица на (она находится в общей линейной группе обратимых целочисленных матриц), которая не сохраняет разложение как произведение, поскольку оно не диагонально. Однако, если дан тор как произведение - что эквивалентно, дано разбиение пространства - тогда расщепление группы следует из общего утверждения, сделанного ранее. В категориальном выражении соответствующая категория (сохраняющая структуру пространства продукта) - это «карты пространств продукта, а именно пара отображений между соответствующими компонентами». ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$ ${\ Displaystyle R ^ {2} / \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {smallmatrix}} \ right)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle {\ текст {GL}} (\ mathbb {Z}, 2)}$${\ displaystyle (T, t_ {0}) = (S ^ {1}, x_ {0}) \ times (S ^ {1}, y_ {0})}$

Естественность - это категориальное понятие, и оно требует очень точного определения того, какие именно данные даны - тор как пространство, которое оказывается продуктом (в категории пространств и непрерывных отображений), отличается от тора, представленного как продукт (в категория произведений двух пространств и непрерывных отображений между соответствующими компонентами).

Пример: двойственное конечномерное векторное пространство

Каждое конечномерное векторное пространство изоморфно своему сопряженному пространству, но между этими двумя пространствами может быть много различных изоморфизмов. В общем случае нет естественного изоморфизма между конечномерным векторным пространством и его двойственным пространством. Однако связанные категории (с дополнительной структурой и ограничениями на карты) действительно имеют естественный изоморфизм, как описано ниже.

Двойственное пространство конечномерного векторного пространства снова является конечномерным векторным пространством той же размерности, и они, таким образом, изоморфны, поскольку размерность является единственным инвариантом конечномерных векторных пространств над данным полем. Однако при отсутствии дополнительных ограничений (таких как требование, чтобы отображения сохраняли выбранный базис), отображение пространства в его двойственное не является уникальным, и, таким образом, такой изоморфизм требует выбора и «неестественен». В категории конечномерных векторных пространств и линейных отображений можно определить инфестественный изоморфизм от векторных пространств к их двойственным, выбрав изоморфизм для каждого пространства (скажем, выбрав базис для каждого векторного пространства и взяв соответствующий изоморфизм), но это не будет определять естественную трансформацию. Интуитивно это происходит потому, что для этого требовался выбор, строго потому, что любой такой выбор изоморфизмов не коммутирует, скажем, с нулевым отображением; см. ( Mac Lane & Birkhoff 1999 , §VI.4) для подробного обсуждения.

Начиная с конечномерных векторных пространств (как объектов) и тождественных и двойственных функторов, можно определить естественный изоморфизм, но для этого необходимо сначала добавить дополнительную структуру, а затем ограничить отображение «всех линейных карт» на «линейные карты, которые соблюдают это. состав". Явное, для каждого векторного пространства, требуют , чтобы он приходит с данными изоморфизма к двойственной, . Другими словами, возьмем за объекты векторные пространства с невырожденной билинейной формой . Это определяет сверхъестественный изоморфизм (изоморфизм для каждого объекта). Один затем ограничивает карты только те карты , которые коммутируют с изоморфизмами: иными словами, сохраняющих билинейную форму: . (Эти отображения определяют натурализатор изоморфизмов.) Результирующая категория с объектами конечномерных векторных пространств с невырожденной билинейной формой и отображает линейные преобразования, которые уважают билинейную форму, по построению имеют естественный изоморфизм от единицы к двойственной форме. (каждое пространство имеет изоморфизм к своему двойственному, и карты в категории должны коммутировать). С этой точки зрения эта конструкция (добавление преобразований для каждого объекта, ограничение отображений для коммутации с ними) является полностью общей и не зависит от каких-либо конкретных свойств векторных пространств. ${\ displaystyle \ eta _ {V} \ двоеточие с V \ на V ^ {*}}$ ${\ displaystyle b_ {V} \ двоеточие V \ times V \ to K}$${\ displaystyle T \ двоеточие V \ to U}$${\ Displaystyle T ^ {*} (\ eta _ {U} (T (v))) = \ eta _ {V} (v)}$${\ Displaystyle b_ {U} (T (v), T (w)) = b_ {V} (v, w)}$

В этой категории (конечномерные векторные пространства с невырожденной билинейной формой, отображение линейных преобразований, которые уважают билинейную форму) двойственное отображение между векторными пространствами может быть идентифицировано как транспонирование . Часто из соображений геометрического интереса это специализировано для подкатегории, требуя, чтобы невырожденные билинейные формы обладали дополнительными свойствами, такими как симметричность ( ортогональные матрицы ), симметричность и положительно определенность ( внутреннее пространство продукта ), симметричная полуторалинейная ( эрмитовы пространства ), кососимметричное и вполне изотропное ( симплектическое векторное пространство ) и т. д. - во всех этих категориях векторное пространство естественно отождествляется со своим двойственным невырожденной билинейной формой.

Операции с естественными преобразованиями

Горизонтальная и вертикальная композиция природных преобразований

Если и являются естественными преобразованиями между функторами , то мы можем составить их, чтобы получить естественное преобразование . Это сделано компонентно: . ${\ displaystyle \ eta: F \ to G}$${\ displaystyle \ epsilon: G \ to H}$${\ displaystyle F, G, H: C \ to D}$${\ displaystyle \ epsilon \ eta: F \ to H}$${\ displaystyle (\ epsilon \ eta) _ {X} = \ epsilon _ {X} \ eta _ {X}}$

Эта «вертикальная композиция» естественного преобразования является ассоциативной, имеет тождество и позволяет рассматривать саму совокупность всех функторов как категорию (см. Ниже в разделе « Категории функторов » ). ${\ displaystyle C \ to D}$

У природных преобразований тоже есть «горизонтальная композиция». Если - естественное преобразование между функторами и - естественное преобразование между функторами , то композиция функторов допускает композицию естественных преобразований где . ${\ displaystyle \ eta: F \ to G}$${\ displaystyle F, G: C \ to D}$${\ displaystyle \ epsilon: J \ to K}$${\ displaystyle J, K: D \ to E}$${\ displaystyle \ epsilon * \ eta: JF \ to KG}$${\ displaystyle (\ epsilon \ ast \ eta) _ {X} = \ epsilon _ {G (X)} J (\ eta _ {X})}$

Эта операция также ассоциативна с тождеством, и тождество совпадает с таковым для вертикальной композиции. Эти две операции связаны тождеством, которое заменяет вертикальную композицию горизонтальной композицией: если у нас есть четыре естественных преобразования, как показано на изображении справа, то выполняется следующая идентичность ${\ Displaystyle \ альфа, \ альфа ', \ бета, \ бета'}$

${\ displaystyle (\ beta '\ alpha') * (\ beta \ alpha) = (\ beta '* \ beta) (\ alpha' * \ alpha).}$

Если - естественное преобразование между функторами , а - другой функтор, то мы можем сформировать естественное преобразование , определив ${\ displaystyle \ eta: F \ to G}$${\ displaystyle F, G: C \ to D}$${\ displaystyle H: D \ to E}$${\ displaystyle H \ eta: HF \ to HG}$

${\ displaystyle (H \ eta) _ {X} = H (\ eta _ {X}).}$

Если, с другой стороны, является функтором, естественное преобразование определяется формулой ${\ displaystyle K: B \ to C}$${\ displaystyle \ eta K: FK \ to GK}$

${\ Displaystyle (\ eta K) _ {X} = \ eta _ {K (X)}.}$

Категории функторов

Если любая категория и является малой категорией , можно образовать категории функтора , имеющие в качестве объектов всех функторов от к и в морфизмах естественных преобразований между этими функторами. Это формирует категорию, поскольку для любого функтора существует тождественное естественное преобразование (которое присваивает каждому объекту тождественный морфизм ), а композиция двух естественных преобразований («вертикальная композиция» выше) снова является естественным преобразованием. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle C ^ {I}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle 1_ {F}: от F \ до F}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle F (X)}$

В изоморфизмы в это именно естественные изоморфизмы. То есть естественное преобразование является естественным изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует такое естественное преобразование , что и . ${\ displaystyle C ^ {I}}$${\ displaystyle \ eta: F \ to G}$${\ displaystyle \ epsilon: G \ to F}$${\ displaystyle \ eta \ epsilon = 1_ {G}}$${\ displaystyle \ epsilon \ eta = 1_ {F}}$

Категория функторов особенно полезна, если возникает из ориентированного графа . Например, если является категорией ориентированного графа • → • , то имеет в качестве объектов морфизмы , а морфизм между и в является парой морфизмов и в таких, что «квадрат коммутирует», т . Е.${\ displaystyle C ^ {I}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle C ^ {I}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ phi: U \ to V}$${\ displaystyle \ psi: от X \ до Y}$${\ displaystyle C ^ {I}}$${\ displaystyle f: U \ to X}$${\ displaystyle g: V \ to Y}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle \ psi \ circ f = g \ circ \ phi}$

В более общем плане можно построить 2-категорию, чья ${\ displaystyle {\ textbf {Cat}}}$

• 0-ячейки (объекты) - это маленькие категории,
• 1-клетки (стрелки) между двумя объектами и являются функторами от до ,${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$
• 2-клетки между двумя 1-клетками (функторами) и являются естественными преобразованиями из в .${\ displaystyle F: C \ to D}$${\ displaystyle G: C \ to D}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$

Горизонтальная и вертикальная композиции - это композиции между естественными трансформациями, описанными ранее. Тогда категория функторов является просто гом-категорией в этой категории (не говоря уже о вопросах малости). ${\ displaystyle C ^ {I}}$

Еще примеры

Каждый предел и копредел представляют собой пример простого естественного преобразования, поскольку конус представляет собой естественное преобразование с диагональным функтором в качестве области определения. В самом деле, если пределы и копределы определены непосредственно в терминах их универсального свойства , они являются универсальными морфизмами в категории функторов.

Лемма Йонеды

Если является объектом локальной небольшой категории , то присвоение определяет ковариантный функтор . Этот функтор называется представимым (в более общем смысле представимым функтором является любой функтор, естественно изоморфный этому функтору при соответствующем выборе ). Естественные преобразования представимого функтора в произвольный функтор полностью известны и легко описываются; это содержание леммы Йонеды . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle Y \ mapsto {\ text {Hom}} _ {C} (X, Y)}$${\ displaystyle F_ {X}: C \ to {\ textbf {Set}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F: C \ to {\ textbf {Set}}}$

Исторические заметки

Говорят, что Сондерс Мак Лейн , один из основоположников теории категорий, заметил: «Я изобретал категории не для изучения функторов; я изобрел их для изучения естественных преобразований». Как изучение групп не будет полным без изучения гомоморфизмов , так и изучение категорий не будет полным без изучения функторов . Причина комментария Мак Лейна в том, что изучение функторов само по себе не будет полным без изучения естественных преобразований.

Контекстом замечания Мак Лейна была аксиоматическая теория гомологии . Можно показать, что различные способы построения гомологий совпадают: например, в случае симплициального комплекса группы, определенные непосредственно, будут изоморфны группам сингулярной теории. Что не может быть легко выражено без языка естественных преобразований, так это то, как группы гомологий совместимы с морфизмами между объектами и как две эквивалентные теории гомологий имеют не только одни и те же группы гомологий, но и одинаковые морфизмы между этими группами.

Смотрите также

• Неестественная трансформация
• Универсальная собственность
• Теория высших категорий

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• nLab , вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения
• Андре Жоял , CatLab , вики-проект, посвященный демонстрации категориальной математики
• Хиллман, Крис. «Категорический букварь». CiteSeerX  10.1.1.24.3264 : Отсутствующее или пустое |url=( справочное ) формальное введение в теорию категорий.
• Дж. Адамек, Х. Херрлих, Дж. Штекер, абстрактные и конкретные категории - радость кошек
• Стэнфордская энциклопедия философии : « Теория категорий » - Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баэз, Джон, 1996, « Сказка о n- категориях ». Неформальное введение в высшие категории.
• WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований, универсальных свойств .
• The catsters , YouTube-канал о теории категорий.
• Видеоархив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.