Закон всемирного тяготения Ньютона - Newton's law of universal gravitation

Закон всемирного тяготения Ньютона обычно гласит, что каждая частица притягивает каждую другую частицу во Вселенной с силой, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. Публикация теории стала известна как « первое великое объединение », поскольку она ознаменовала объединение ранее описанных явлений гравитации на Земле с известным астрономическим поведением.

Это общий физический закон, выведенный из эмпирических наблюдений , которые Исаак Ньютон назвал индуктивным рассуждением . Это часть классической механики, сформулированная в работе Ньютона Philosophiæ Naturalis Principia MathematicaПринципы »), впервые опубликованной 5 июля 1687 года. Когда Ньютон представил Книгу 1 неопубликованного текста в апреле 1686 года Королевскому обществу , Роберт Гук заявил, что Ньютон получил от него закон обратных квадратов.

На современном языке закон гласит, что каждая точечная масса притягивает любую другую точечную массу силой, действующей вдоль линии, пересекающей две точки. Сила пропорциональна к продукту двух масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Таким образом, уравнение всемирного тяготения принимает вид:

где F - гравитационная сила, действующая между двумя объектами, m 1 и m 2 - массы объектов, r - расстояние между центрами их масс , а G - гравитационная постоянная .

Первым испытанием теории тяготения Ньютона между массами в лаборатории был эксперимент Кавендиша, проведенный британским ученым Генри Кавендишем в 1798 году. Он состоялся через 111 лет после публикации « Начала » Ньютона и примерно через 71 год после его смерти.

Закон тяготения Ньютона напоминает закон электрических сил Кулона , который используется для вычисления величины электрической силы, возникающей между двумя заряженными телами. Оба являются законами обратных квадратов , где сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. Закон Кулона имеет произведение двух зарядов вместо произведения масс и постоянной Кулона вместо гравитационной постоянной.

С тех пор закон Ньютона был заменен общей теорией относительности Альберта Эйнштейна , но он продолжает использоваться в качестве превосходного приближения эффектов гравитации в большинстве приложений. Относительность требуется только тогда, когда есть потребность в предельной точности или при работе с очень сильными гравитационными полями, такими как поля, обнаруживаемые вблизи чрезвычайно массивных и плотных объектов, или на небольших расстояниях (например, на орбите Меркурия вокруг Солнца).

История

История ранних веков

В 1604 году Галилео Галилей правильно предположил, что расстояние до падающего объекта пропорционально квадрату прошедшего времени. Связь расстояния до объектов в свободном падении с квадратом затраченного времени была подтверждена итальянскими иезуитами Гримальди и Риччоли между 1640 и 1650 годами. Они также вычислили гравитацию Земли , записав колебания маятника.

Современная оценка ранней истории закона обратных квадратов состоит в том, что «к концу 1670-х годов» предположение об «обратной пропорции между гравитацией и квадратом расстояния» было довольно распространенным и было выдвинуто рядом разных людей для разных причины ». Тот же автор считает, что Роберт Гук внес значительный и основополагающий вклад, но считает утверждение Гука о приоритете точки обратного квадрата несущественным, как это предположили несколько человек, помимо Ньютона и Гука. Вместо этого он указывает на идею «сложения небесных движений » и преобразование мышления Ньютона от « центробежной » к « центростремительной » силе как на значительный вклад Гука.

Ньютон в своих « Началах» признал двух людей: Буллиалдуса (который без доказательств писал, что на Земле существует сила, направленная к Солнцу), и Борелли (который писал, что все планеты притягиваются к Солнцу). Возможно, наибольшее влияние оказал Борелли, копия книги которого была у Ньютона.

Спор о плагиате

В 1686 году, когда первая книга « Начала Ньютона » была представлена Королевскому обществу , Роберт Гук обвинил Ньютона в плагиате , заявив, что он заимствовал у него «понятие» о «правиле уменьшения гравитации», которое, в свою очередь, равнозначно квадраты расстояний от Центра ». В то же время (согласно современному докладу Эдмонда Галлея ) Гук согласился с тем, что «Демонстрация кривых, созданных таким образом» полностью принадлежала Ньютону.

Работа и претензии Гука

Роберт Гук опубликовал свои идеи о «Системе мира» в 1660-х годах, когда он прочитал Королевскому обществу 21 марта 1666 года статью «о преобразовании прямого движения в кривую с помощью последующего принципа притяжения». и он снова опубликовал их в несколько усовершенствованной форме в 1674 году в качестве дополнения к «Попытке доказать движение Земли по наблюдениям». Гук объявил в 1674 году, что он планирует «объяснить Систему Мира, отличающуюся во многих деталях от всех известных», основываясь на трех предположениях: что «все Небесные Тела вообще имеют силу притяжения или притяжения к своим собственным Центрам» и также привлекают все остальные Небесные Тела, находящиеся в сфере их деятельности »; что «все тела, которые приводятся в прямое и простое движение, будут продолжать двигаться вперед по прямой линии, пока не будут отклонены и согнуты какими-либо другими действенными силами ...» и что «эти силы притяжения настолько велики. чем сильнее действует, тем насколько ближе тело, на которое воздействуют, находится к их собственным центрам ". Таким образом, Гук постулировал взаимное притяжение между Солнцем и планетами, которое увеличивалось по мере приближения к притягивающему телу, вместе с принципом линейной инерции.

Однако в заявлениях Гука до 1674 года не упоминалось, что закон обратных квадратов применим или может применяться к этим достопримечательностям. Гравитация Гука также еще не была универсальной, хотя она приближалась к универсальности ближе, чем предыдущие гипотезы. Он также не предоставил сопроводительных доказательств или математических доказательств. По поводу двух последних аспектов сам Гук заявил в 1674 году: «Что же это за несколько степеней [притяжения], я еще не проверил экспериментально»; и что касается всего его предложения: «Это я только намекаю в настоящее время», «имея в своем распоряжении многие другие вещи, которые я хотел бы сначала завершить, и, следовательно, не могу так хорошо присутствовать на нем» (то есть «ведение этого расследования»). Позднее, в письменной форме 6 января 1679 | 80 Ньютону, Гук сообщил свое «предположение ... что притяжение всегда находится в двойной пропорции с расстоянием от центра, и, следовательно, скорость будет в subduplicate пропорционально притяжения и , следовательно , как Kepler СЧИТАЕТ Reciprocall на расстояние «. (Вывод о скорости был неверным.)

В переписке Гука с Ньютоном в течение 1679–1680 гг. Не только упоминалось это предположение об обратном квадрате для уменьшения притяжения с увеличением расстояния, но также во вступительном письме Гука к Ньютону от 24 ноября 1679 г. о подходе к «сложению небесных движений планет». прямого движения по касательной и притягивающего движения к центральному телу ».

Работа и утверждения Ньютона

Ньютон, столкнувшись в мае 1686 года с утверждением Гука о законе обратных квадратов, отрицал, что Гук следует считать автором идеи. Среди причин Ньютон напомнил, что эта идея обсуждалась с сэром Кристофером Реном до письма Гука 1679 года. Ньютон также указал и признал предыдущие работы других, в том числе Буллиальдуса (который предположил, но без демонстрации, что сила притяжения от Солнца была обратно пропорциональна квадрату расстояния), и Борелли (который предположил, также без демонстрации , что существует центробежная тенденция в противовес гравитационному притяжению к Солнцу, заставляющему планеты двигаться по эллипсам). Д. Т. Уайтсайд описал вклад в мышление Ньютона, который внесла книга Борелли, копия которой хранилась в библиотеке Ньютона после его смерти.

Далее Ньютон защищал свою работу, говоря, что, если бы он впервые услышал об обратной квадратной пропорции от Гука, он все равно имел бы некоторые права на нее, поскольку продемонстрировал ее точность. Гук, не имея доказательств в пользу этого предположения, мог только догадываться, что закон обратных квадратов приблизительно справедлив на больших расстояниях от центра. Согласно Ньютону, в то время как «Начала» все еще находились на стадии до публикации, было так много априорных причин сомневаться в точности закона обратных квадратов (особенно близко к притягивающей сфере), что «без моих (Ньютоновских) демонстраций , для которого г-н Гук еще не знаком, рассудительный философ не может поверить в то, что она хоть сколько-нибудь точна ".

Это замечание относится, среди прочего, к открытию Ньютона, подтвержденному математической демонстрацией, что если закон обратных квадратов применим к крошечным частицам, то даже большая сферически-симметричная масса также притягивает массы, находящиеся вне ее поверхности, даже вблизи, точно так же, как если бы все ее собственные массы были сосредоточены в его центре. Таким образом, Ньютон дал оправдание, которое иначе отсутствовало, для применения закона обратных квадратов к большим сферическим планетным массам, как если бы они были крошечными частицами. Кроме того, Ньютон сформулировал в предложениях 43–45 Книги 1 и связанных с ними разделах Книги 3 чувствительный тест на точность закона обратных квадратов, в котором он показал, что только там, где закон силы вычисляется как обратный В квадрате расстояния направления ориентации орбитальных эллипсов планет останутся неизменными, как это наблюдается, за исключением небольших эффектов, связанных с межпланетными возмущениями.

Что касается свидетельств, которые до сих пор сохранились от более ранней истории, рукописи, написанные Ньютоном в 1660-х годах, показывают, что сам Ньютон к 1669 году пришел к доказательствам того, что в круговом случае планетарного движения «стремится отступить» (что позже было названо центробежная сила) имеет обратно квадратичную зависимость от расстояния от центра. После переписки с Гуком в 1679–1680 годах Ньютон принял язык внутренней или центростремительной силы. Согласно исследователю Ньютона Дж. Брюсу Брэкенриджу, несмотря на то, что многое было сделано для изменения языка и расхождения во взглядах, как между центробежными и центростремительными силами, фактические вычисления и доказательства в любом случае остались прежними. Они также включали комбинацию тангенциальных и радиальных смещений, которые Ньютон делал в 1660-х годах. Урок, который Гук преподнес Ньютону здесь, хотя и значительный, но имел перспективу и не изменил анализа. Этот фон показывает, что у Ньютона было основание отрицать вывод закона обратных квадратов из Гука.

Признание Ньютона

С другой стороны, Ньютон действительно принимал и признавал во всех изданиях Принципов , что Гук (но не только Гук) отдельно оценил закон обратных квадратов в солнечной системе. Ньютон признал Рена, Гука и Галлея в этой связи в Схолиуме к Предложению 4 в Книге 1. Ньютон также признал Галлею, что его переписка с Гуком в 1679–1680 годах пробудила его дремлющий интерес к астрономическим вопросам, но это не означало, что Согласно Ньютону, этот Гук сказал Ньютону что-то новое или оригинальное: «Тем не менее, я обязан ему не за какой-либо свет в этом деле, а только за то отвлечение, которое он дал мне от моих других исследований, чтобы подумать об этих вещах, и за его догматичность в пишет, как будто он нашел движение в многоточии, что побудило меня попробовать его ... "

Споры о современных приоритетах

Со времен Ньютона и Гука научная дискуссия также затрагивала вопрос о том, предоставило ли упоминание Гука 1679 года о «сложении движений» Ньютону что-то новое и ценное, хотя в то время Гук не озвучивал это утверждение. Как описано выше, рукописи Ньютона 1660-х годов действительно показывают, что он действительно сочетал тангенциальное движение с эффектами радиально направленной силы или усилия, например, при выводе отношения обратного квадрата для круглого корпуса. Они также показывают, что Ньютон ясно выражает концепцию линейной инерции, которой он обязан работе Декарта, опубликованной в 1644 году (как, вероятно, и был Гук). Похоже, что этим вопросам Ньютон не научился от Гука.

Тем не менее, ряд авторов сказал больше о том, что Ньютон получил от Гука, и некоторые аспекты остаются спорными. Тот факт, что большая часть личных бумаг Гука была уничтожена или исчезла, не помогает установить истину.

Роль Ньютона в отношении закона обратных квадратов была не такой, как ее иногда представляли. Он не утверждал, что придумал это как голую идею. Что сделал Ньютон, так это показал, что закон притяжения обратных квадратов имеет много необходимых математических связей с наблюдаемыми особенностями движения тел в Солнечной системе; и что они были связаны таким образом, что данные наблюдений и математические доказательства, взятые вместе, давали основание полагать, что закон обратных квадратов был не просто приблизительно верным, но в точности верным (с точностью, достижимой во времена Ньютона и примерно в течение двух лет). столетия спустя - и с некоторыми нечеткими концами пунктов, которые еще не могли быть определенно исследованы, где последствия теории еще не были адекватно идентифицированы или рассчитаны).

Примерно через тридцать лет после смерти Ньютона в 1727 году Алексис Клеро , астроном-математик, выдающийся в своей области в области гравитационных исследований, после обзора того, что опубликовал Гук, написал: «Не следует думать, что эта идея ... Гука умаляет Ньютона. слава"; и что «пример Гука» служит «для того, чтобы показать, какое расстояние существует между мимолетной истиной и истиной, которая демонстрируется».

Оговорки Ньютона

В то время как Ньютон смог сформулировать свой закон всемирного тяготения в своей монументальной работе, ему было глубоко неудобно понятие «действие на расстоянии», которое подразумевали его уравнения. В 1692 году в своем третьем письме Бентли он писал: «То, что одно тело может воздействовать на другое на расстоянии через вакуум без посредничества чего-либо еще, и через которые их действие и сила могут передаваться друг от друга, является для меня это настолько большая абсурдность, что, я считаю, ни один человек, обладающий в философских вопросах компетентным мышлением, никогда не смог бы впасть в нее ».

По его словам, он никогда не «указывал причину этой силы». Во всех других случаях он использовал явление движения для объяснения происхождения различных сил, действующих на тела, но в случае гравитации ему не удалось экспериментально идентифицировать движение, которое создает силу тяжести (хотя он изобрел две механические гипотезы. в 1675 и 1717 гг.). Более того, он отказался даже предложить гипотезу относительно причины этой силы на том основании, что это противоречит здравой науке. Он посетовал, что «философы до сих пор тщетно пытались искать в природе» источник гравитационной силы, поскольку он был убежден «по многим причинам», что существуют «причины, до сих пор неизвестные», которые были фундаментальными для всех «явлений природы». ". Эти фундаментальные явления все еще исследуются, и, хотя существует множество гипотез, окончательного ответа еще предстоит найти. И в « Общем Схолиуме» Ньютона 1713 г. во втором издании « Начала» : «Я еще не смог обнаружить причину этих свойств гравитации на основе явлений, и я не выдвигаю никаких гипотез ... Достаточно того, что гравитация действительно существует и действует. согласно законам, которые я объяснил, и что он в полной мере служит для объяснения всех движений небесных тел ».

Современная форма

Говоря современным языком, закон гласит следующее:

Каждая точка масса притягивает каждую другую точку массы с помощью силы , действующей вдоль по линии , пересекающих обе точки. Сила пропорциональна к продукту двух масс и обратно пропорционально к квадрату расстояния между ними:
Схема двух притягивающих друг друга масс


куда:

  • F - сила между массами;
  • G - гравитационная постоянная (6,674 × 10 −11  м 3 кг −1 с −2 );
  • m 1 - первая масса;
  • м 2 - вторая масса;
  • r - расстояние между центрами масс.
Ошибка графики , показывающие экспериментальных значения для G .

Предполагая, что единицы СИ , F измеряется в ньютонах (Н), м 1 и м 2 в килограммах (кг), r в метрах (м), а константа G равна6,674 30 (15) × 10 −11  м 3 kg −1 s −2 . Величина константы G была первой точно определена из результатов Кавендиш эксперимента , проведенного британским ученым Генри Кавендиш в 1798 году, хотя Кавендиш не сам рассчитать численное значение G . Этот эксперимент был также первой проверкой теории тяготения Ньютона между массами в лаборатории. Это произошло через 111 лет после публикации « Оснований Ньютона» и через 71 год после смерти Ньютона, поэтому ни в одном из расчетов Ньютона нельзя было использовать значение G ; вместо этого он мог только вычислить силу относительно другой силы.

Тела с пространственной протяженностью

Напряженность гравитационного поля внутри Земли
Гравитационное поле у ​​поверхности Земли - объект ускоряется к поверхности

Если рассматриваемые тела имеют пространственную протяженность (в отличие от точечных масс), то гравитационная сила между ними вычисляется путем суммирования вкладов условных точечных масс, составляющих тела. В пределе, когда составляющие точечные массы становятся «бесконечно малыми», это влечет за собой интегрирование силы (в векторной форме, см. Ниже) по всем двум телам .

Таким образом, можно показать, что объект со сферически-симметричным распределением массы оказывает такое же гравитационное притяжение на внешние тела, как если бы вся масса объекта была сосредоточена в точке в его центре. (Обычно это неверно для несферически-симметричных тел.)

Для точек внутри сферически-симметричного распределения материи можно использовать теорему Ньютона об оболочке, чтобы найти гравитационную силу. Теорема говорит нам, как различные части распределения массы влияют на гравитационную силу, измеренную в точке, расположенной на расстоянии r 0 от центра распределения массы:

  • Часть массы, которая расположена на радиусах r < r 0, вызывает ту же силу на радиусе r 0, как если бы вся масса, заключенная в сфере радиуса r 0, была сосредоточена в центре распределения масс (как отмечено выше ).
  • Часть массы, расположенная на радиусах r > r 0, не оказывает чистой гравитационной силы на радиусе r 0 от центра. То есть отдельные гравитационные силы, действующие на точку с радиусом r 0 элементами массы за пределами радиуса r 0, компенсируют друг друга.

Как следствие, например, внутри оболочки одинаковой толщины и плотности нет чистого гравитационного ускорения где-либо в пределах полой сферы.

Векторная форма

Гравитационное поле, окружающее Землю, с макроскопической точки зрения.

Закон всемирного тяготения Ньютона может быть записан в виде векторного уравнения, учитывающего направление гравитационной силы, а также ее величину. В этой формуле величины, выделенные жирным шрифтом, представляют векторы.

куда

F 21 - сила, приложенная к объекту 2 со стороны объекта 1,
G - гравитационная постоянная ,
m 1 и m 2 - соответственно массы объектов 1 и 2,
| r 21 | = | r 2 - r 1 | расстояние между объектами 1 и 2, а
- единичный вектор от объекта 1 к объекту 2.

Можно видеть, что векторная форма уравнения такая же, как скалярная форма, приведенная ранее, за исключением того, что F теперь является векторной величиной, а правая часть умножается на соответствующий единичный вектор. Также видно, что F 12 = - F 21 .

Гравитационное поле

Гравитационное поле является векторным полем , которое описывает гравитационную силу , которая будет применяться на объекте в любой заданной точке пространства, на единицу массы. Фактически, оно равно ускорению свободного падения в этой точке.

Это обобщение векторной формы, которое становится особенно полезным, если задействовано более двух объектов (например, ракета между Землей и Луной). Для двух объектов (например, объект 2 - ракета, объект 1 - Земля) мы просто пишем r вместо r 12 и m вместо m 2 и определяем гравитационное поле g ( r ) как:

так что мы можем написать:

Эта формулировка зависит от объектов, вызывающих поле. Поле имеет единицы ускорения; в СИ это м / с 2 .

Гравитационные поля также консервативны ; то есть работа, выполняемая гравитацией из одного положения в другое, не зависит от пути. Отсюда следует, что существует гравитационное потенциальное поле V ( r ) такое, что

Если m 1 - точечная масса или масса сферы с однородным распределением масс, силовое поле g ( r ) вне сферы изотропно, т. Е. Зависит только от расстояния r от центра сферы. В этом случае

гравитационное поле находится внутри и снаружи симметричных масс.

Согласно закону Гаусса , поле в симметричном теле можно найти с помощью математического уравнения:

\ oiint

где - замкнутая поверхность, а - масса, заключенная в поверхности.

Следовательно, для полой сферы радиуса и общей массы ,

Для равномерного сплошного шара радиуса и общей массы ,

Ограничения

Описание гравитации Ньютоном достаточно точное для многих практических целей и поэтому широко используется. Отклонения от него малы, когда безразмерные величины и обе намного меньше единицы, где - гравитационный потенциал , - скорость изучаемых объектов и - скорость света в вакууме. Например, ньютоновская гравитация дает точное описание системы Земля / Солнце, поскольку

где - радиус орбиты Земли вокруг Солнца.

В ситуациях, когда любой безразмерный параметр велик, для описания системы необходимо использовать общую теорию относительности . Общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации в пределе малого потенциала и малых скоростей, поэтому закон тяготения Ньютона часто называют пределом низкой гравитации общей теории относительности.

Наблюдения, противоречащие формуле Ньютона

  • Теория Ньютона не полностью объясняет прецессию перигелия орбит планет, особенно Меркурия, которая была обнаружена намного позже жизни Ньютона. Существует расхождение в 43 угловых секунды за столетие между ньютоновским расчетом, которое возникает только из-за гравитационного притяжения других планет, и наблюдаемой прецессии, сделанной с помощью современных телескопов в 19 веке.
  • Прогнозируемое угловое отклонение световых лучей под действием силы тяжести (рассматриваемое как частицы, движущиеся с ожидаемой скоростью), рассчитанное с помощью теории Ньютона, составляет лишь половину отклонения, наблюдаемого астрономами. Расчеты с использованием общей теории относительности намного лучше согласуются с астрономическими наблюдениями.
  • В спиральных галактиках вращение звезд вокруг их центров, по-видимому, сильно противоречит как закону всемирного тяготения Ньютона, так и общей теории относительности. Однако астрофизики объясняют это заметное явление, предполагая наличие большого количества темной материи .

Решение Эйнштейна

Первые два конфликта с наблюдениями выше были объяснены общей теорией относительности Эйнштейна , в которой гравитация является проявлением искривленного пространства-времени, а не вызвана силой, распространяющейся между телами. В теории Эйнштейна энергия и импульс искажают пространство-время в непосредственной близости от них, а другие частицы движутся по траекториям, определяемым геометрией пространства-времени. Это позволило описать движение света и массы, которое согласуется со всеми доступными наблюдениями. В ОТО сила гравитации является фиктивной силой , в результате кривизны пространства - времени , так как гравитационное ускорение тела в свободном падении происходит из - за его мировая линию будучи геодезической из пространства - времени .

Расширения

В последние годы поиск членов необратимых квадратов в законе всемирного тяготения проводился с помощью нейтронной интерферометрии .

Решения закона всемирного тяготения Ньютона

Проблема n- тел - это древняя, классическая проблема предсказания индивидуальных движений группы небесных объектов, взаимодействующих друг с другом гравитационно . Решение этой проблемы - со времен греков и далее - было мотивировано желанием понять движение Солнца , планет и видимых звезд . В 20-м веке понимание динамики звездных систем шаровых скоплений также стало важной проблемой n- тел. П -Боди проблема в ОТО значительно сложнее решить.

Классическая физическая проблема может быть неформально сформулирована следующим образом: учитывая квазистационарные орбитальные свойства ( мгновенное положение, скорость и время ) группы небесных тел, предсказать их взаимодействующие силы; и, следовательно, предсказывать их истинные орбитальные движения на все времена в будущем .

Задача двух тел была полностью решена, поскольку имеет ограниченную задачу трех тел .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки