Неопределенный (математика) - Undefined (mathematics)

В математике термин undefined часто используется для обозначения выражения, которому не присвоена интерпретация или значение (например, неопределенная форма , которая имеет склонность принимать разные значения). Этот термин может иметь несколько различных значений в зависимости от контекста. Например:

  • В различных разделах математики определенные понятия вводятся как примитивные понятия (например, термины «точка», «линия» и «угол» в геометрии ). Поскольку эти термины не определены в терминах других концепций, они могут упоминаться как «неопределенные термины».
  • Функция называется «неопределенным» в точках за пределами своего домена  - например, числовая функция не определена для отрицательных  (то есть, он не присваивает никакого значения для отрицательных аргументов).
  • В алгебре некоторые арифметические операции могут не присвоить значение определенным значениям его операндов (например, деление на ноль ). В этом случае выражения, включающие такие операнды, называются «неопределенными».

Неопределенные условия

В древности геометры пытались дать определение каждому термину. Например, Евклид определил точку как «то, что не имеет части». В наше время математики признают, что попытки дать определение каждому слову неизбежно приводят к циклическим определениям , и поэтому оставляют некоторые термины (например, «точка») неопределенными (подробнее см. Примитивное понятие ).

Этот более абстрактный подход допускает плодотворные обобщения. В топологии , A топологическое пространство может быть определена как набор точек , обладающих определенными свойствами, но в общем обстановке, природа этих «точек» остается полностью неопределенным. Кроме того, в теории категорий , категория состоит из «объектов» и «стрелок», которые снова примитивные, неопределенные термины. Это позволяет применять такие абстрактные математические теории к очень разнообразным конкретным ситуациям.

В арифметике

Выражение 0/0не определено в арифметике, как объясняется в делении на ноль (то же выражение используется в исчислении для представления неопределенной формы ).

Математики расходятся во мнениях относительно того, следует ли определять 0 0 равным 1 или оставить неопределенным.

Значения, для которых функции не определены

Набор чисел, для которых определена функция , называется областью определения функции. Если число не входит в область определения функции, функция считается «неопределенной» для этого числа. Два общих примера:, который не определен для , и который не определен (в действительной системе счисления) для отрицательного  .

В тригонометрии

В тригонометрии функции и не определены для всех , а функции и не определены для всех .

В информатике

Обозначения с использованием ↓ и ↑

В теории вычислимости , если является частичной функцией на и является элементом , то это записывается как , и читается как « f ( a ) определено ».

Если не находится в домене , то это записывается как , и читается как « не определено ».

Символы бесконечности

В анализе , теории меры и других математических дисциплинах этот символ часто используется для обозначения бесконечного псевдо-числа вместе с его отрицательным числом . Сам по себе символ не имеет четко определенного значения, но такое выражение, как сокращение для расходящейся последовательности , которая в какой-то момент в конечном итоге превышает любое заданное действительное число.

Выполнение стандартных арифметических операций с символами не определено. Однако некоторые расширения определяют следующие правила сложения и умножения:

  •    для всех .
  •    для всех .
  •    для всех .

Никакого разумного расширения сложения и умножения на не существует в следующих случаях:

  • (хотя в теории меры это часто определяется как )

Дополнительные сведения см. В строке расширенного действительного числа .

Особенности в комплексном анализе

В комплексном анализе точка, в которой голоморфная функция не определена, называется особенностью . Различают устранимые особенности (т. Е. Функцию можно голоморфно продолжить до ), полюса (т. Е. Функцию можно мероморфно продолжить до ) и существенные особенности (т. Е. Мероморфное расширение до не может существовать).

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Смарт, Джеймс Р. (1988). Современная геометрия (Третье изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-534-08310-2.