Ультрафинитизм - Ultrafinitism

В философии математики , ultrafinitism (также известный как ultraintuitionism , строгий формализм , строгий финитизм , актуализм , predicativism и сильный финитизм ) является одной из форм финитизма и интуиционизма . Существуют различные философии математики, которые называются ультрафинитизмом. Основным отличительным свойством, общим для большинства этих философий, является их возражение против совокупности теоретико-числовых функций, таких как возведение в степень над натуральными числами .

Основные идеи

Как и другие finitists , ultrafinitists отрицают существование бесконечного множества N из натуральных чисел .

Кроме того, некоторые ультрафинитисты озабочены принятием в математике объектов, которые никто не может построить на практике из-за физических ограничений при построении больших конечных математических объектов. Таким образом , некоторые ultrafinitists будет отрицать или воздерживаться от принятия существование большого числа, например, пол первого числа Skewes в , что огромное количество определяется с помощью экспоненциальной функции , как ехр (ехр (ехр (79))), или

Причина в том, что никто еще не вычислил, какое натуральное число является нижним пределом этого действительного числа , и, возможно, это даже невозможно сделать физически. Точно так же (в обозначении стрелки Кнута вверх ) будет считаться только формальным выражением, которое не соответствует натуральному числу. Бренд ультрафинитизма, связанный с физической реализуемостью математики, часто называют актуализмом .

Эдвард Нельсон критиковал классическую концепцию натуральных чисел из-за округлости ее определения. В классической математике натуральные числа определяются как 0, а числа, полученные путем итеративного применения функции- последователя к 0. Но понятие натурального числа уже предполагается для итерации. Другими словами, чтобы получить число, подобное одному, необходимо выполнять функцию-последователь итеративно (фактически, ровно раз) до 0.

Некоторые версии ультрафинитизма являются формами конструктивизма , но большинство конструктивистов рассматривают эту философию как недопустимую крайность. Логическая основа ультрафинитизма неясна; в своем всеобъемлющем обзоре « Конструктивизм в математике» (1988) конструктивный логик А.С. Трельстра отверг его, заявив, что «в настоящее время не существует удовлетворительного развития». Это было не столько философское возражение, сколько признание того, что в строгой работе по математической логике просто не было ничего достаточно точного, чтобы включить его.

Люди, связанные с ультрафинитизмом

Серьезную работу над ультрафинитизмом с 1959 года до своей смерти в 2016 году возглавлял Александр Есенин-Вольпин , который в 1961 году набросал программу доказательства непротиворечивости теории множеств Цермело – Френкеля в ультраконечной математике. Другие математики, которые работали в этой теме, включают Дорон Зейлбергер , Эдвард Нельсон , Рохит Дживанлал Парих и Жан Поль Ван Бендегем . Философия также иногда связана с верованиями Людвига Витгенштейна , Робина Ганди , Петра Вопенка и Я. Ельмслева .

Шауган Лавин разработал форму теоретико-множественного ультрафинитизма, которая согласуется с классической математикой. Лавин показал, что основные принципы арифметики, такие как «не существует наибольшего натурального числа», могут быть поддержаны, поскольку Лавин допускает включение «бесконечно больших» чисел.

Ограничения, основанные на теории сложности вычислений

Другие соображения о возможности избежать громоздких больших чисел могут быть основаны на теории вычислительной сложности , как в работе Андраса Корнаи о явном финитизме (который не отрицает существования больших чисел) и концепции допустимого числа Владимира Сазонова .

Там также было значительное формальное развитие на версиях ultrafinitism, которые основаны на теории сложности, как Самуэль Buss «s Bounded арифметических теорий, захват математики , связанных с различными классами сложности как P и PSPACE . Работу Басса можно считать продолжением работы Эдварда Нельсона по предикативной арифметике, поскольку теории ограниченной арифметики, такие как S12, интерпретируемы в теории Q Рафаэля Робинсона и, следовательно, являются предикативными в смысле Нельсона . Сила этих теорий для развития математики изучается в ограниченной обратной математике, как можно найти в работах Стивена А. Кука и Фуонга Нгуена . Однако эти исследования не являются философией математики, а скорее изучением ограниченных форм рассуждений, подобных обратной математике .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Эсенин-Вольпин, А.С. (1961), "Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques", Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Варшава, 1959) , Oxford: Pergamon, pp. 201–223, MR  0147389Обзор Kreisel, G .; Эренфойхт, А. (1967), "Обзор Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques, автор А.С. Эсенин-Вольпин", Журнал символической логики , Ассоциация символической логики, 32 (4): 517, doi : 10.2307 / 2270182 , JSTOR  2270182
  • Лавин, С., 1994. Понимание бесконечности , Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.

внешние ссылки