Теория типографских чисел - Typographical Number Theory

Типографская теория чисел ( TNT ) - это формальная аксиоматическая система, описывающая натуральные числа, которая встречается в книге Дугласа Хофштадтера « Гедель, Эшер, Бах» . Это реализация арифметики Пеано, которую Хофштадтер использует для объяснения теорем Гёделя о неполноте .

Как и любая система, реализующая аксиомы Пеано, TNT способна ссылаться на себя (она является самореферентной ).

Цифры

TNT не использует отдельный символ для каждого натурального числа . Вместо этого он использует простой и единообразный способ присвоения составного символа каждому натуральному числу:

нуль 0
один S0
два SS0
три SSS0
четыре SSSS0
пять SSSSS0

Символ S можно интерпретировать как «преемник» или «число после». Однако, поскольку это теория чисел, такие интерпретации полезны, но не строги. Нельзя сказать, что, поскольку четыре является преемником трех, что четыре является SSSS0 , скорее, поскольку три является преемником двух, который является преемником одного, который является преемником нуля, который был описан как 0 , четыре может быть «доказано» как SSSS0 . TNT устроен так, что все должно быть доказано, прежде чем можно будет сказать, что это правда.

Переменные

Для обозначения неопределенных терминов TNT использует пять переменных . Эти

а, б, в, г, д.

Можно создать больше переменных, добавив после них символ штриха; Например,

a ′, b ′, c ′, a ″, a ‴ - все переменные.

В более жесткой версии TNT, известной как «строгий» TNT, только

a ', a ″, a ‴ и т. д.

Операторы

Сложение и умножение цифр

В теории типографских чисел используются обычные символы «+» для сложения и «·» для умножения. Таким образом, написать «b плюс c» значит написать

(b + c)

а «а раз d» записывается как

(объявление)

Скобки обязательны. Любая слабость нарушила бы систему формирования TNT (хотя тривиально доказано, что этот формализм не нужен для операций, которые являются как коммутативными, так и ассоциативными). Также одновременно можно оперировать только двумя терминами. Следовательно, написать «а плюс б плюс с» означает написать либо

((а + б) + в)

или

(а + (б + в))

Эквивалентность

Оператор «Равно» используется для обозначения эквивалентности. Он определяется символом «=» и имеет примерно то же значение, что и в математике. Например,

(SSS0  +  SSS0)  =  SSSSSS0

это утверждение теоремы в TNT с интерпретацией «3 плюс 3 равно 6».

Отрицание

В теории типографских чисел отрицание , т. Е. Обращение высказывания к его противоположности, обозначается оператором «~» или отрицанием. Например,

~ (( SSS0  +  SSS0 ) =  SSSSSSS0 )

это теорема в TNT, интерпретируемая как «3 плюс 3 не равно 7».

Под отрицанием это означает отрицание в булевой логике ( логическое отрицание ), а не просто противоположное. Например, если бы я сказал «Я ем грейпфрут», получилось бы наоборот: «Я не ем грейпфрут», а не «Я ем что-то другое, кроме грейпфрута». Точно так же «Телевидение включено» заменяется «Телевидение выключено», а не «Телевидение выключено». Это небольшая разница, но важная.

Соединения

Если x и y являются правильно построенными формулами и при условии, что никакая переменная, свободная в одной, не определяется количественно в другой, то все следующие формулы являются правильно сформированными.

<x∧y>, <x∨y>, <x⊃y>

Примеры:

  • <0=0∧~0=0>
  • <b=b∨~∃c:c=b>
  • <S0=0⊃∀c:~∃b:(b+b)=c>

Статус количественной оценки переменной здесь не меняется.

Квантификаторы

Используются два квантификатора: ∀и ∃.

Обратите внимание, что в отличие от большинства других логических систем, где кванторы над наборами требуют упоминания о существовании элемента в наборе, это не требуется в TNT, потому что все числа и термины являются строго натуральными числами или логическими логическими операторами. Следовательно, это эквивалентно сказать ∀a:(a∈N):∀b:(b∈N):(a+b)=(b+a)и∀a:∀b:(a+b)=(b+a)

  • ∃ означает "Существует"
  • ∀ означает «Для всех» или «Для всех»
  • Этот символ :используется для отделения квантификатора от других квантификаторов или от остальной части формулы. Обычно читается "такой, что"

Например:

∀a:∀b:(a+b)=(b+a)

(«Для каждого числа a и каждого числа b a плюс b равно b плюс a», или, более образно, «сложение коммутативно».)

~∃c:Sc=0

(«Не существует такого числа c, чтобы c плюс один равнялся нулю», или, более образно, «Ноль не является преемником какого-либо (натурального) числа».)

Атомы и пропозициональные утверждения

Все символы исчисления высказываний, кроме символов атома, используются в теории типографских чисел и сохраняют свои интерпретации.

Атомы здесь определены как строки, которые составляют утверждения равенства, такие как

2 плюс 3 равно пяти:

( SS0  +  SSS0 ) =  SSSSS0

2 плюс 2 равно 4:

( SS0  +  SS0 ) =  SSSS0

использованная литература

  • Хофштадтер, Дуглас Р. (1999) [1979], Гедель, Эшер, Бах: вечная золотая коса , Основные книги, ISBN 0-465-02656-7.