Принцип двухвалентности - Principle of bivalence

«Бивалентность» перенаправляется сюда. Для использования в других целях, см Бивалент (значения) .

В логике семантический принцип (или закон ) бивалентности гласит, что каждое декларативное предложение, выражающее пропозицию ( исследуемой теории), имеет ровно одно значение истинности , истинное или ложное . Логика, удовлетворяющая этому принципу, называется двузначной логикой или бивалентной логикой .

В формальной логике принцип двухвалентности становится свойством, которым семантика может обладать , а может и не обладать. Однако это не то же самое, что закон исключенного среднего , и семантика может удовлетворять этому закону, не будучи бивалентной.

Принцип двухвалентности изучается в философской логике для решения вопроса о том, какие высказывания на естественном языке имеют четко определенное значение истинности. Предложения, которые предсказывают события в будущем, и предложения, которые кажутся открытыми для интерпретации, особенно трудны для философов, которые считают, что принцип бивалентности применим ко всем декларативным высказываниям на естественном языке. Многозначная логика формализует идеи о том, что реалистичная характеристика понятия следствия требует допустимости посылок, которые из-за нечеткости, временной или квантовой неопределенности или отсутствия ссылки не могут считаться классически бивалентными. Эталонные сбои также могут быть устранены с помощью бесплатной логики .

Отношение к закону исключенного третьего

Принцип бивалентности связан с законом исключенного третьего, хотя последний является синтаксическим выражением языка логики вида «P ∨ ¬P». Разница между принципом бивалентности и законом исключенного третьего важна, потому что существуют логики, которые подтверждают закон, но не подтверждают принцип. Например, трехзначная логика парадокса (LP) подтверждает закон исключенного среднего, но не закон непротиворечия ¬ (P ∧ ¬P), и ее предполагаемая семантика не является бивалентной. В классической двузначной логике действуют и закон исключенного третьего, и закон непротиворечивости .

Многие современные системы логического программирования заменяют закон исключенного третьего концепцией отрицания как отказа . Программист может пожелать добавить закон исключенного середины, явно заявив его как истинное; однако это не предполагается априори .

Классическая логика

Предполагаемая семантика классической логики бивалентна, но это верно не для каждой семантики классической логики. В булевозначной семантике (для классической логики высказываний ) значения истинности являются элементами произвольной булевой алгебры , «истина» соответствует максимальному элементу алгебры, а «ложь» соответствует минимальному элементу. Промежуточные элементы алгебры соответствуют значениям истинности, отличным от «истинного» и «ложного». Принцип бивалентности выполняется только тогда, когда в качестве булевой алгебры берется двухэлементная алгебра , не имеющая промежуточных элементов.

Присвоение булевой семантики классическому исчислению предикатов требует, чтобы модель была полной булевой алгеброй, потому что универсальный квантор отображается в операцию инфимума , а квантор существования отображается в супремум ; это называется булевозначной моделью . Все конечные булевы алгебры полны.

Диссертация Сушко

Чтобы оправдать свое утверждение о том, что истинное и ложное являются единственными логическими значениями, Роман Сушко (1977) отмечает, что любая структурная многозначная логика высказываний Тарского языка может быть снабжена бивалентной семантикой.

Критика

Будущие контингенты

Основная статья: Проблема будущих контингентов

Известный пример является контингентом морского боя случая нашел в Аристотеле работе «s, Де Interpretatione , глава 9:

Представьте, что P ссылается на высказывание «Завтра будет морской бой».

Принцип двухвалентности здесь утверждает:

Либо правда, что завтра будет морское сражение, либо ложно, что завтра будет морское сражение.

Аристотель отрицает двойственность таких будущих контингентов; Хрисипп , логик- стоик , действительно принял двойственность для этого и всех других утверждений. Споры по-прежнему занимают центральное место как в философии времени, так и в философии логики .

Именно этот вопрос был одним из первых мотивов изучения многозначных логик. В начале 20 века польский формальный логик Ян Лукасевич предложил три ценности истины: истинное, ложное и еще не определенное . Позднее этот подход был разработан Арендом Хейтингом и Л.Дж. Брауэром ; см. логику Лукасевича .

Подобные проблемы также рассматривались в различных темпоральных логиках , где можно утверждать, что « рано или поздно либо будет морское сражение завтра, либо его не будет». (Что верно, если "завтра" рано или поздно наступит.)

Нечеткость

Такие загадки, как парадокс Сорита и связанная с ним ошибка континуума , вызвали сомнения в применимости классической логики и принципа двухвалентности к концепциям, которые могут быть расплывчатыми в своем применении. Нечеткая логика и некоторые другие многозначные логики были предложены в качестве альтернатив, которые лучше справляются с неопределенными концепциями. Истина (и ложность), например, в нечеткой логике бывает разной степени. Рассмотрим следующее утверждение в случае сортировки яблок на движущейся ленте:

Это яблоко красное.

По наблюдениям, яблоко неопределенного цвета между желтым и красным, или оно окрашено в пестрые пятна обоих цветов. Таким образом, цвет не попадает ни в категорию «красный», ни «желтый», но это единственные категории, доступные нам при сортировке яблок. Можно сказать, что это «50% красный». Это можно перефразировать: это правда на 50%, что яблоко красное. Следовательно, P на 50% верно и на 50% ложно. Теперь рассмотрим:

Это яблоко красное, а не красное.

Другими словами, P, а не -P. Это нарушает закон непротиворечивости и, соответственно, двухвалентности. Однако это лишь частичное отклонение этих законов, потому что P верно лишь частично. Если бы P было на 100% истинным, not-P было бы на 100% ложным, и нет противоречия, потому что P и not-P больше не выполняются.

Однако закон исключенного третьего сохраняется, потому что P и not-P подразумевают P или не-P, поскольку «или» включает. Единственные два случая, когда P и not-P ложны (когда P на 100% истинно или ложно), являются теми же случаями, которые рассматриваются двузначной логикой, и применяются те же правила.

Пример 3-значной логики, применяемой к неопределенным (неопределенным) случаям : Клини 1952 (§64, стр. 332–340) предлагает 3-значную логику для случаев, когда алгоритмы, включающие частично рекурсивные функции, могут не возвращать значения, а скорее завершать работу. с обстоятельствами "u" = не определились. Он позволяет «t» = «истина», «f» = «ложь», «u» = «не определился» и переделывает все пропозициональные связки. Он отмечает, что:

Мы были интуитивно оправданы в использовании классической двузначной логики, когда мы использовали связки при построении примитивных и общерекурсивных предикатов, поскольку существует процедура принятия решения для каждого общерекурсивного предиката; т.е. интуитивно доказано, что закон исключенного третьего применим к общерекурсивным предикатам.

Теперь, если Q (x) является частично рекурсивным предикатом, существует процедура принятия решения для Q (x) в его диапазоне определения, поэтому закон исключенного среднего или исключенного «третьего» (в котором говорится, что Q (x) либо t или f) интуитивно применяется к диапазону определения. Но может и не быть алгоритма для принятия решения по заданному x, определено ли Q (x) или нет. [...] Следовательно, только классически, а не интуиционистски мы имеем закон исключенного четвертого (утверждающий, что для каждого x, Q (x) есть либо t, f, либо u).

Таким образом, третье «значение истинности» u не совпадает с двумя другими t и f в нашей теории. Рассмотрение ее статуса покажет, что мы ограничены особым видом таблицы истинности ».

Вот его «сильные столы»:

~ Q QVR р т ж ты Q&R р т ж ты Q → R р т ж ты Q = R р т ж ты
Q т ж Q т т т т Q т т ж ты Q т т ж ты Q т т ж ты
ж т ж т ж ты ж ж ж ж ж т т т ж ж т ты
ты ты ты т ты ты ты ты ж ты ты т ты ты ты ты ты ты

Например, если невозможно определить, красное ли яблоко или нет, тогда значение истинности утверждения Q: «Это яблоко красное» равно «u». Точно так же значение истинности утверждения R «Это яблоко не-красное» равно «u». Таким образом, AND их в утверждении Q AND R, т.е. «Это яблоко красное, И это яблоко не красное», согласно таблицам, даст «u». И утверждение Q OR R, то есть «Это яблоко красное ИЛИ это яблоко не красное», также даст «u».

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки