Двухоментная модель решения - Two-moment decision model

В теории принятия решений , экономики и финансов , решение модели два-момент является модель , которая описывает или предписывает процесс принятия решений в контексте , в котором принимающее решение сталкивается с случайными величинами , чьи реализации не могут быть известны заранее, и в котором выбор делается на основе знания двух моментов этих случайных величин. Два момента почти всегда являются средним значением, то есть ожидаемым значением , которое является первым моментом около нуля, и дисперсией , которая является вторым моментом относительно среднего (или стандартного отклонения , которое является квадратным корнем из дисперсии ).

Самая известная двухфакторная модель принятия решений - это модель современной теории портфеля , которая дает начало части принятия решений модели ценообразования капитальных активов ; они используют анализ среднего отклонения и сосредотачиваются на среднем значении и дисперсии окончательной стоимости портфеля.

Двухоментные модели и максимизация ожидаемой полезности

Предположим, что все соответствующие случайные величины принадлежат к одному семейству масштаба местоположения , что означает, что распределение каждой случайной величины такое же, как распределение некоторого линейного преобразования любой другой случайной величины. Тогда для любой функции полезности фон Неймана – Моргенштерна использование схемы решения средней дисперсии согласуется с максимизацией ожидаемой полезности , как показано в примере 1:

Пример 1: Пусть есть один рискованный актив со случайной доходностью и один безрисковый актив с известной доходностью , и пусть будет начальное богатство инвестора . Если сумма , переменная выбора, должна быть инвестирована в рискованный актив, а сумма должна быть инвестирована в безопасный актив, тогда, в зависимости от обстоятельств , будет случайное окончательное состояние инвестора . Затем при любом выборе , распространяется как преобразование местоположения в масштабе  . Если мы определяем случайную величину как равную в распределении, то равную в распределении , где μ представляет собой ожидаемое значение, а σ представляет собой стандартное отклонение случайной величины (квадратный корень из ее второго момента). Таким образом, мы можем записать ожидаемую полезность в виде двух моментов  :

где это функция полезности фон Неймана-Моргенштерна , представляет собой функцию плотности из , и является производной среднего стандартное отклонение функция выбора, которая зависит в форме от функции плотности F . Предполагается, что функция полезности фон Неймана – Моргенштерна увеличивается, что подразумевает, что большее богатство предпочтительнее меньшего, и предполагается, что она вогнутая, что равносильно предположению о том, что индивид не склонен к риску .

Можно показать, что частная производная v по μ w положительна, а частная производная v по σ w отрицательна; таким образом, более ожидаемое богатство всегда приветствуется, а больший риск (измеряемый стандартным отклонением богатства) всегда неприемлем. Кривая безразличия среднего стандартного отклонения определяется как геометрическое место точек ( σ w μ w ) с σ w, нанесенным горизонтально, так что E u ( w ) имеет одинаковое значение во всех точках этого геометрического места. Тогда производные от v означают, что каждая кривая безразличия имеет наклон вверх: то есть вдоль любой кривой безразличия w  /  d σ w  > 0. Более того, можно показать, что все такие кривые безразличия являются выпуклыми: вдоль любой кривой безразличия d 2 μ w  /  d w ) 2  > 0.

Пример 2: Анализ портфеля в примере 1 можно обобщить. Если существует n рискованных активов вместо одного, и если их доходность совместно эллиптически распределена , то все портфели можно полностью охарактеризовать их средним значением и дисперсией, то есть любые два портфеля с одинаковым средним значением и дисперсией доходности портфеля имеют идентичные распределения. доходности портфеля - и все возможные портфели имеют распределения доходности, которые зависят друг от друга в масштабе местоположения. Таким образом, оптимизация портфеля может быть реализована с использованием двухфакторной модели принятия решений.

Пример 3: Предположим, что не склонная к риску фирма, принимающая цены , должна взять на себя обязательство произвести количество продукции q, прежде чем наблюдать за реализацией цены продукта p на рынке . Задача его решения состоит в том, чтобы выбрать q так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность прибыли:

Максимизировать E u ( pq - c ( q ) - g ),

где E - оператор математического ожидания, u - функция полезности фирмы, c - функция переменных затрат , а g - постоянные затраты . Все возможные распределения случайного дохода фирмы pq , основанные на всех возможных вариантах q , связаны с масштабом местоположения; таким образом, проблема принятия решения может быть сформулирована в терминах ожидаемой стоимости и дисперсии дохода.

Принятие решения о непредвиденной полезности

Если лицо, принимающее решение, не является максимизатором ожидаемой полезности , принятие решения все же можно сформулировать в терминах среднего и дисперсии случайной величины, если все альтернативные распределения для непредсказуемого результата являются преобразованиями друг друга в масштабе местоположения.

Смотрите также

Рекомендации