Корень двенадцатый из двух - Twelfth root of two

Октавы (12 полутонов) увеличиваются экспоненциально при измерении по линейной шкале частот (Гц).

Октавы равномерно распределены при измерении по логарифмической шкале (в центах).

Двенадцатый корень из двух или (или что то же самое ) является алгебраическим иррациональным числом . Это наиболее важно в западной теории музыки , где оно представляет собой соотношение частот ( музыкальный интервал ) полутона ( Play ( помощь · информация ) ) в двенадцатитонной равной темперации . Это число было впервые предложено в связи с настройкой музыки в шестнадцатом и семнадцатом веках. Он позволяет измерять и сравнивать различные интервалы (соотношения частот), состоящие из разных номеров одного интервала, равного темперированного полутона (например, второстепенная треть составляет 3 полутона, большая треть - 4 полутона, а идеальная квинта - 7 полутонов. ). Сам полутон делится на 100 центов (1 цент = ). ${\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {1/12}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{1200}] {2}} = 2 ^ {1/1200}}$

Равномерная хроматическая гамма

Музыкальный интервал представляет собой отношение частот и равные уравновешенный хроматической гаммы делит октаву (который имеет отношение 2: 1) в двенадцати частей.

Последовательное применение этого значения к тонам хроматической гаммы, начиная с A выше среднего C (известного как A ₄ ) с частотой 440 Гц, дает следующую последовательность высот :

Примечание	Стандартные названия интервалов, относящиеся к A 440	Частота (Гц)	Множитель	Коэффициент (до шести знаков)	Просто интонационное соотношение
А	Унисон	440,00	2 ^{0 ⁄ 12}	1 000 000	1
A ♯ / B ♭	Минорная секунда / Полутон / Полутон	466,16	2 ^{1 ⁄ 12}	1,059 463	≈ 16 ⁄ 15
B	Мажорная секунда / полный шаг / весь тон	493,88	2 ^{2 ⁄ 12}	1,122 462	≈ 9 ⁄ 8
C	Незначительная треть	523,25	2 ^{3 ⁄ 12}	1,189 207	≈ 6 ⁄ 5
C ♯ / D ♭	Мажорная треть	554,37	2 ^{4 ⁄ 12}	1,259 921	≈ 5 ⁄ 4
D	Идеальная четвертая	587,33	2 ^{5 ⁄ 12}	1,334 839	≈ 4 ⁄ 3
D ♯ / E ♭	Увеличенная четвертая / Уменьшенная пятая / Тритон	622,25	2 ^{6 ⁄ 12}	1,414 213	≈ 7 ⁄ 5
E	Идеальная пятая	659,26	2 ^{7 ⁄ 12}	1,498 307	≈ 3 ⁄ 2
F	Незначительный шестой	698,46	2 ^{8 ⁄ 12}	1,587 401	≈ 8 ⁄ 5
F ♯ / G ♭	Шестой майор	739,99	2 ^{9 ⁄ 12}	1,681 792	≈ 5 ⁄ 3
грамм	Незначительный седьмой	783,99	2 ^{10 ⁄ 12}	1,781 797	≈ 16 / 9
G ♯ / A ♭	Большой седьмой	830,61	2 ^{11 ⁄ 12}	1,887 748	≈ 15 ⁄ 8
А	Октава	880,00	2 ^{12 ⁄ 12}	2 000 000	2

Конечная A (A ₅ : 880 Гц) ровно в два раза превышает частоту нижнего A (A ₄ : 440 Гц), то есть на октаву выше.

Другие весы настройки

В других шкалах настройки используются несколько иные соотношения интервалов:

Просто или пифагорейская совершенная пятая равно 3/2, а разница между равной закаленной квинтой и просто является градом , двенадцатым корнем Пифагора запятой ( ¹² √ 531441/524288 ).
Равно темперированная шкала Болена – Пирса использует интервал тринадцатого корня из трех ( ¹³ √ 3 ).
В « Studie II» Штокхаузена (1954) используется корень двадцать пятой степени из пяти ( ²⁵ √ 5 ), составная мажорная треть, разделенная на части 5 × 5.
Шкала дельты основана на ≈ ⁵⁰ √ 3/2 .
Гамма - шкала основана на ≈ ²⁰ √ 3/2 .
Бета шкала основана на ≈ ¹¹ √ 3/2 .
Альфа шкала основана на ≈ ⁹ √ 3/2 .

Регулировка высоты тона

Одна октава 12-тет на монохорде (линейная)

Хроматический круг изображает равные расстояния между нотами (логарифмические)

Так как соотношение частот полутона близко к 106% ( ), увеличение или уменьшение скорости воспроизведения записи на 6% приведет к сдвигу высоты тона вверх или вниз примерно на один полутон, или «полутон». Высококлассные катушечные магнитные магнитофоны обычно имеют регулировку высоты тона до ± 6%, обычно используемую для согласования высоты звука воспроизведения или записи с другими музыкальными источниками, имеющими несколько другие настройки (или, возможно, записанными на оборудовании, которое не работало на достаточно высокой скорости). правильная скорость). Современные студии звукозаписи используют цифровое смещение высоты звука для достижения аналогичных результатов, в диапазоне от центов до нескольких полутонов (обратите внимание, что регулировка с катушки на катушку также влияет на темп записанного звука, а цифровое смещение - нет). ${\ displaystyle 1.05946 \ times 100 = 105.946}$

DJ вертушки могут иметь регулировку до ± 20%, но это чаще используется для синхронизации ударов между песнями, чем для регулировки высоты тона, которая в основном полезна только при переходах между частями без ударов и эмбиентными партиями. Для сопоставления ритмов музыки с высоким содержанием мелодии ди-джей в первую очередь будет пытаться искать песни, которые звучат гармонично вместе при установке в равном темпе.

История

Исторически это число было впервые предложено в связи с музыкальным строем в 1580 году (составлено, переписано в 1610 году) Саймоном Стевином . В 1581 году итальянский музыкант Винченцо Галилей может быть первым европейцем, предложившим двенадцатитоновый равный темперамент. Двенадцатый корень из двух был впервые вычислен в 1584 году математиком и музыкантом Чжу Зайюй с использованием счётов для достижения двадцати четырёх десятичных знаков, вычисленных примерно в 1605 году фламандским математиком Саймоном Стевином , в 1636 году французским математиком Марином Мерсенном и в 1691 году немецким музыкантом. Андреас Веркмайстер .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

Барбур, JM (1933). «Китайское приближение шестнадцатого века для $π$ ». Американский математический ежемесячник . 40 (2): 69–73. DOI : 10.2307 / 2300937 . JSTOR 2300937 .
Эллис, Александр ; Гельмгольц, Герман (1954). Об ощущениях тона . Dover Publications. ISBN 0-486-60753-4.
Партч, Гарри (1974). Генезис музыки . Da Capo Press. ISBN 0-306-80106-X.

Languages

In other projects