Тропическое полукольцо - Tropical semiring

В идемпотентном анализе , то тропическое полукольцо является полукольцо из расширенных действительных чисел с операциями минимума (или максимума ) , а также того , заменяя обычные ( «классические») операции умножения и сложение, соответственно.

Тропическое полукольцо имеет различные приложения (см. Тропический анализ ) и составляет основу тропической геометрии .

Определение

В min тропическое полукольцо (илимин-плюс полукольцо илиmin-plus algebra ) - этополукольцо(ℝ ∪ {+ ∞}, ⊕, ⊗) с операциями:

Операции ⊕ и называются тропическим сложением и тропическим умножением соответственно. Единицей для ⊕ является + ∞, а для ⊗ - 0.

Точно так же max тропическое полукольцо (илимакс-плюс полукольцо илиmax-plus алгебра ) - это полукольцо (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) с операциями:

Единицей для является −∞, а для ⊗ - 0.

Два полукольца изоморфны при отрицании , и обычно одно из них выбирается и называется просто тропическим полукольцом . Соглашения различаются между авторами и подполями: некоторые используют соглашение min , некоторые используют соглашение max .

Тропическое сложение идемпотентно , поэтому тропическое полукольцо является примером идемпотентного полукольца .

Тропическое полукольцо также называют тропическая алгебра , хотя ее не следует путать сассоциативной алгебройнад тропическим полукольцом.

Тропическое возведение в степень определяется обычным образом как повторяющиеся тропические произведения (см. Возведение в степень, § В абстрактной алгебре ).

Значимые поля

Операции с тропическим полукольцом моделируют поведение оценок при сложении и умножении в значном поле . Действительное поле K - это поле, снабженное функцией

которое удовлетворяет следующим свойствам для всех a , b в K :

если и только если
с равенством, если

Следовательно, оценка v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может потерпеть неудачу, когда два элемента с одинаковым значением складываются вместе.

Некоторые общие поля значений:

  • Q или C с тривиальной оценкой, v ( a ) = 0 для всех a ≠ 0,
  • Q или его расширения с p-адическим нормированием , v ( p n a / b ) = n для a и b, взаимно простых с p ,
  • поле формального ряда Лорана K (( t )) (целые степени), или поле ряда Пюизо K {{ t }}, или поле ряда Хана , с оценкой, возвращающей наименьший показатель t, появляющийся в ряду.

использованная литература

  • Литвинов, ГЛ (2005). «Деквантование Маслова, идемпотентная и тропическая математика: краткое введение». arXiv : math / 0507014v1 .