Трапецеидальная линейка - Trapezoidal rule

Функция f ( x ) (синим цветом) аппроксимируется линейной функцией (красным цветом).

В математике , и более конкретно в численном анализе , то трапециевидное правило (также известное как правило трапеции или трапеции правило -см трапеции для получения дополнительной информации о терминологии) представляет собой метод для аппроксимации определенного интеграла .

Правило трапеции работает, аппроксимируя область под графиком функции как трапецию и вычисляя ее площадь. Это следует из того

Правило трапеции можно рассматривать как результат, полученный усреднением левой и правой сумм Римана , и иногда его определяют таким образом. Интеграл можно еще лучше аппроксимировать, разбив интервал интегрирования , применив правило трапеций к каждому подинтервалу и суммируя результаты. На практике это «сцепленное» (или «составное») правило трапеции обычно подразумевается под «интеграцией с правилом трапеции». Пусть будет такое разбиение , что и - длина -го подинтервала (то есть ), тогда

Анимация, показывающая, что такое правило трапеции и как уменьшается ошибка аппроксимации при уменьшении размера шага.
Иллюстрация «цепной трапециевидной линейки», используемой на неравномерном разбиении .

Приближение становится более точным , как разрешение увеличивается перегородок (то есть, для более крупных , уменьшается). Когда разделение имеет постоянный интервал, как это часто бывает, формулу можно упростить для повышения эффективности вычислений.

Как обсуждается ниже, также можно установить границы погрешности для точности значения определенного интеграла, оцененного с использованием правила трапеций.

История

В статье 2016 года сообщается, что правило трапеций использовалось в Вавилоне до 50 г. до н.э. для интегрирования скорости Юпитера вдоль эклиптики .

Численная реализация

Неравномерная сетка

Когда шаг сетки неравномерен, можно использовать формулу

Равномерная сетка

Для области, разделенной на панели с одинаковым интервалом, может произойти значительное упрощение. Позволять

приближение к интегралу принимает вид

что требует меньшего количества вычислений функции.

Анализ ошибок

Анимация, показывающая, как улучшается приближение правила трапеции с увеличением количества полос для интервала с и . По мере увеличения количества интервалов увеличивается и точность результата.

Ошибка составной трапециевидной линейки - это разница между значением интеграла и численным результатом:

Между a и b существует такое число ξ , что

Отсюда следует, что если подынтегральная функция вогнута вверх (и, таким образом, имеет положительную вторую производную), то ошибка отрицательная, и правило трапеции переоценивает истинное значение. Это также видно из геометрического рисунка: трапеции охватывают всю область под кривой и проходят над ней. Точно так же функция вогнутого вниз дает заниженную оценку, поскольку площадь под кривой не учитывается, но не учитывается выше. Если интервал аппроксимируемого интеграла включает точку перегиба, ошибку выявить труднее.

Асимптотическая оценка погрешности при N → ∞ дается выражением

Дополнительные члены в этой оценке погрешности даются формулой суммирования Эйлера – Маклорена.

Для анализа ошибки можно использовать несколько методов, в том числе:

  1. Ряд Фурье
  2. Остаточный камень
  3. Формула суммирования Эйлера – Маклорена
  4. Полиномиальная интерполяция


Утверждается, что скорость сходимости трапециевидной линейки отражает и может использоваться как определение классов гладкости функций.

Доказательство

Сначала предположим, что и . Пусть функция , такая , что это ошибка трапециевидной правило , на одном из интервалов, . Затем

и

Теперь предположим, что то, что имеет место, достаточно гладкое. Отсюда следует, что

что эквивалентно , или

Поскольку и ,

и

Используя эти результаты, находим

и

Позволяя нам найти

Суммируя все члены локальной ошибки, мы находим

Но у нас также есть

и

и что

Следовательно, общая ошибка ограничена

Периодические и пиковые функции

Правило трапеций быстро сходится для периодических функций. Это легко вытекает из формулы суммирования Эйлера-Маклорена , который говорит , что если это непрерывно дифференцируемы период

где и - периодическое расширение -го многочлена Бернулли. Из-за периодичности производные в конечной точке сокращаются, и мы видим, что ошибка равна .

Аналогичный эффект доступен для функций типа пика, таких как гауссовский , экспоненциально модифицированный гауссовский и других функций с производными в пределах интегрирования, которыми можно пренебречь. Оценка полного интеграла функции Гаусса по правилу трапеций с точностью 1% может быть произведена с использованием всего 4 точек. Правило Симпсона требует в 1,8 раза больше точек для достижения той же точности.

Хотя были предприняты некоторые усилия по распространению формулы суммирования Эйлера-Маклорена на более высокие измерения, наиболее прямым доказательством быстрой сходимости правила трапеций в более высоких измерениях является сведение проблемы к проблеме сходимости рядов Фурье. Эти рассуждения показывают, что если периодичен на -мерном пространстве с непрерывными производными, скорость сходимости равна . Для очень большого измерения, как показывает анализ, интеграция методом Монте-Карло, скорее всего, является лучшим выбором, но для 2-х и 3-х измерений эффективна равномерная выборка. Это используется в вычислительной физике твердого тела, где равномерная выборка по примитивным ячейкам в обратной решетке известна как интеграция Монкхорста-Пак .

«Грубые» функции

Для функций, не входящих в C 2 , указанная выше граница ошибки не применима. Тем не менее, границы ошибок для таких грубых функций могут быть получены, которые обычно показывают более медленную сходимость с количеством вычислений функций, чем поведение, указанное выше. Интересно, что в этом случае правило трапеций часто имеет более точные границы, чем правило Симпсона, для того же количества вычислений функций.

Применимость и альтернативы

Правило трапеции - это одна из семейства формул численного интегрирования, называемых формулами Ньютона – Котеса , в которых правило средней точки аналогично правилу трапеций. Правило Симпсона - еще один член того же семейства и в целом имеет более быструю сходимость, чем правило трапеций, для функций, которые дважды непрерывно дифференцируемы, хотя и не во всех конкретных случаях. Однако для различных классов более грубых функций (с более слабыми условиями гладкости) правило трапеций имеет более быструю сходимость, чем правило Симпсона.

Более того, правило трапеций имеет тенденцию становиться чрезвычайно точным, когда периодические функции интегрируются по их периодам, которые можно анализировать различными способами . Аналогичный эффект доступен для пиковых функций.

Для непериодических функций, однако, методы с разнесенными точками неодинакова , такие как гауссова квадратурой и Clenshaw-Curtis квадратура , как правило , гораздо более точными; Квадратуру Кленшоу – Кертиса можно рассматривать как замену переменных для выражения произвольных интегралов в терминах периодических интегралов, при этом правило трапеций может быть применено точно.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Ossendrijver, Матье (29 января 2016). «Древние вавилонские астрономы рассчитали положение Юпитера на основе графика времени-скорости» . Наука . 351 (6272): 482–484. DOI : 10.1126 / science.aad8085 . PMID  26823423 . S2CID  206644971 .
  2. ^ Аткинсон (1989 , уравнение (5.1.7))
  3. ^ ( Weideman 2002 , стр.23, раздел 2)
  4. ^ Аткинсон (1989 , уравнение (5.1.9))
  5. Аткинсон (1989 , стр.285)
  6. Burden & Faires (2011 , стр. 194)
  7. ^ a b ( Рахман и Шмайссер, 1990 )
  8. ^ Кресс, Райнер (1998). Численный анализ, том 181 выпускных текстов по математике . Springer-Verlag.
  9. Перейти ↑ Goodwin, ET (1949). «Вычисление интегралов формы». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (2): 241–245. DOI : 10.1017 / S0305004100024786 . ISSN  1469-8064 .
  10. ^ a b c Каламбет, Юрий; Козьмин, Юрий; Самохин, Андрей (2018). «Сравнение правил интегрирования в случае очень узких хроматографических пиков». Хемометрика и интеллектуальные лабораторные системы . 179 : 22–30. DOI : 10.1016 / j.chemolab.2018.06.001 . ISSN  0169-7439 .
  11. ^ a b c ( Weideman 2002 )
  12. ^ «Формула суммирования Эйлера-Маклорена для кратных сумм» . math.stackexchange.com .
  13. ^ Томпсон, Ник. «Численное интегрирование по зонам Бриллюэна» . bandgap.io . Проверено 19 декабря 2017 года .
  14. ^ a b ( Cruz-Uribe & Neugebauer 2002 )

использованная литература

внешние ссылки