Евклидовы мозаики выпуклыми правильными многоугольниками - Euclidean tilings by convex regular polygons

Пример периодических мозаик
У правильного тайлинга есть один тип правильной грани.	Полурегулярно или равномерное разбиение имеет один тип вершины , а два или более типов граней.
У k -однородного замощения есть k типов вершин и два или более типов правильных граней.	Мозаика без края может иметь обычные грани разного размера.

Евклидовы плоские мозаики выпуклыми правильными многоугольниками широко использовались с древних времен. Первым систематическим математическим трактованием был Кеплер в его « Harmonices Mundi» ( лат . «Гармония мира» , 1619).

Регулярные мозаики

Следуя Грюнбауму и Шепарду (раздел 1.3), мозаика называется регулярной, если группа симметрии мозаики транзитивно действует на флаги мозаики, где флаг - это тройка, состоящая из взаимно инцидентных вершины , ребра и плитки мозаики. черепица. Это означает, что для каждой пары флагов существует операция симметрии, сопоставляющая первый флаг со вторым. Это эквивалентно тому , кровлю , являющейся от края до края плитки по конгруэнтных правильных многоугольников. В вершине должно быть шесть равносторонних треугольников , четыре квадрата или три правильных шестиугольника , что дает три правильных мозаики .

Правильные мозаики (3)
п6м, * 632		p4m, * 442

3 ⁶ (t = 1, e = 1)	6 ³ (t = 1, e = 1)	4 ⁴ (t = 1, e = 1)

Архимедовы, равномерные или полуправильные мозаики

Вершинная транзитивность означает, что для каждой пары вершин существует операция симметрии, отображающая первую вершину во вторую.

Если требование транзитивности флага ослаблено до транзитивности вершины, в то время как условие, что мозаика является сквозной , остается восемь возможных дополнительных мозаик, известных как архимедовы , равномерные или полуправильные мозаики . Обратите внимание, что существует две формы зеркального отображения (энантиоморфная или хиральная ) мозаики 3 ⁴ .6 (плоско-гексагональной), только одна из которых показана в следующей таблице. Все остальные регулярные и полуправильные мозаики ахиральны.

Равномерные мозаики (8)
п6м, * 632
3,12 ² (t = 2, e = 2) t {6,3}	3.4.6.4 (t = 3, e = 2) rr {3,6}	4.6.12 (t = 3, e = 3) tr {3,6}	(3.6) ² (t = 2, e = 1) r {6,3}
4,8 ² (t = 2, e = 2) t {4,4}	3 ² .4.3.4 (t = 2, e = 2) s {4,4}	3 ³ .4 ² (t = 2, e = 3) {3,6}: e	3 ⁴ .6 (t = 3, e = 3) ср {3,6}

Грюнбаум и Шепард различают описание этих мозаик как архимедово как относящееся только к тому, что локальное свойство расположения плиток вокруг каждой вершины одинаково, и как единообразное, как относящееся к глобальному свойству транзитивности вершин. Хотя они дают один и тот же набор мозаик на плоскости, в других пространствах есть архимедовы мозаики, которые не являются однородными.

k -однородные мозаики

3-х однородная черепица №57 из 61 цветного
по сторонам, желтые треугольники, красные квадраты (по многоугольникам)	по 4-равногранным позициям, 3 закрашенным цветом треугольников (по орбитам)

Такие периодические мозаики можно классифицировать по количеству орбит вершин, ребер и плиток. Если существует $k$ орбит вершин, мозаика называется $k-$ равномерной или $k$ -изогональной; если есть $t$ орбит плиток, как $t$ -изоэдральные; если есть $е$ орбиты ребер, как $е$ -изотоксал.

k -однородные мозаики с одинаковыми вершинными фигурами могут быть дополнительно идентифицированы по симметрии их группы обоев .

1-однородные мозаики включают 3 правильных мозаики и 8 полурегулярных мозаик с двумя или более типами правильных многоугольников. Есть 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородных мозаики, 151 4-однородные мозаики, 332 5-однородных мозаики и 673 6-однородных мозаик. Каждую из них можно сгруппировать по количеству m различных вершинных фигур, которые также называют m -архимедовыми мозаиками.

Наконец, если количество типов вершин такое же, как и равномерность ( m = k ниже), то мозаика называется Krotenheerdt . В общем, однородность больше или равна количеству типов вершин ( m ≥ k ), поскольку разные типы вершин обязательно имеют разные орбиты, но не наоборот. Положив m = n = k , имеется 11 таких мозаик для n = 1; 20 таких мозаик при n = 2; 39 таких мозаик при n = 3; 33 таких мозаики при n = 4; 15 таких мозаик при n = 5; 10 таких мозаик при n = 6; и 7 таких мозаик при n = 7.

*k -* равномерное, *m - количество* архимедовых плиток
		м -архимедовый
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	≥ 15	Общее
k -униформа	1	11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	11
	2	0	20	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	20
	3	0	22	39	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	61
	4	0	33	85	33	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	151
	5	0	74	149	94	15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	332
	6	0	100	284	187	92	10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	673
	7	0	?	?	?	?	?	7	0	0	0	0	0	0	0	0	?
	8	0	?	?	?	?	?	20	0	0	0	0	0	0	0	0	?
	9	0	?	?	?	?	?	?	8	0	0	0	0	0	0	0	?
	10	0	?	?	?	?	?	?	27	0	0	0	0	0	0	0	?
	11	0	?	?	?	?	?	?	?	1	0	0	0	0	0	0	?
	12	0	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	0	0	0	0	?
	13	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	0	?
	14	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	?
	≥ 15	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	?
	Общее	11	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	0	∞

Разрезанные правильные многоугольники

Некоторые из k -однородных мозаик могут быть получены путем симметричного разделения многоугольников мозаики с внутренними ребрами, например (прямое разрезание):

Разрезанные полигоны с исходными краями
Шестиугольник	Додекагон (каждый имеет 2 ориентации)

Некоторые k-однородные мозаики можно получить, рассекая правильные многоугольники с новыми вершинами вдоль исходных ребер, например (непрямое рассечение):

Рассечен с 1 или 2 средними вершинами
Треугольник			Квадратный		Шестиугольник

Наконец, чтобы увидеть все типы конфигураций вершин, см. Planigon .

2-однородные мозаики

Есть двадцать (20) 2-однородных мозаик евклидовой плоскости. (называемые также 2- изогональные тайлингами или demiregular тайлингов ) Типы Vertex перечислены для каждого из них. Если две мозаики имеют одинаковые два типа вершин, им присваиваются индексы 1,2.

2-однородные мозаики (20)
п6м, * 632						p4m, * 442
[3 ⁶ ; 3 ² .4.3.4] (t = 3, e = 3)	[3.4.6.4; 3 ² .4.3.4] (t = 4, e = 4)	[3.4.6.4; 3 ³ .4 ² ] (t = 4, e = 4)	[3.4.6.4; 3.4 ² .6] (t = 5, e = 5)	[4.6.12; 3.4.6.4] (t = 4, e = 4)	[3 ⁶ ; 3 ² .4.12] (t = 4, e = 4)	[3.12.12; 3.4.3.12] (t = 3, e = 3)
п6м, * 632	п6, 632	п6, 632	см, 2 * 22	пмм, * 2222	см, 2 * 22	пмм, * 2222
[3 ⁶ ; 3 ² .6 ² ] (t = 2, e = 3)	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 0,6] ₁ (т = 3, е = 3)	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 0,6] ₂ (т = 5, е = 7)	[3 ² .6 ² ; 3 ⁴ .6] (t = 2, e = 4)	[3.6.3.6; 3 ² .6 ² ] (t = 2, e = 3)	[3,4 ² .6; 3.6.3.6] ₂ (t = 3, e = 4)	[3,4 ² .6; 3.6.3.6] ₁ (t = 4, e = 4)
p4g, 4 * 2	пгг, 22 ×	см, 2 * 22	см, 2 * 22	пмм, * 2222	см, 2 * 22
[3 ³ .4 ² ; 3 ² .4.3.4] ₁ (t = 4, e = 5)	[3 ³ .4 ² ; 3 ² .4.3.4] ₂ (t = 3, e = 6)	[4 ⁴ ; 3 ³ .4 ² ] ₁ (t = 2, e = 4)	[4 ⁴ ; 3 ³ .4 ² ] ₂ (t = 3, e = 5)	[3 ⁶ ; 3 ³ .4 ² ] ₁ (t = 3, e = 4)	[3 ⁶ ; 3 ³ .4 ² ] ₂ (t = 4, e = 5)

Высшие k-однородные мозаики

k -однородные мозаики пронумерованы до 6. Существует 673 6-однородных мозаик евклидовой плоскости. Поиск Брайана Галебаха воспроизвел список Кротенхердта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными типами вершин, а также обнаружил 92 из них с 5 типами вершин, 187 из них с 4 типами вершин, 284 из них с 3 типами вершин и 100 с 2 типами вершин. типы вершин.

Фрактализация k-однородных мозаик

Есть много способов генерировать новые k-однородные мозаики из старых k-однородных мозаик. Например, обратите внимание, что 2-uniform [3.12.12; 3.4.3.12] тайлинг имеет квадратную решетку, 4 (3-1) -однородную [343.12; (3.12 ² ) 3] мозаика имеет курносую квадратную решетку и 5 (3-1-1) -однородную [334.12; 343,12; (3.12.12) 3] тайлинг имеет вытянутую треугольную решетку. Эти равномерные мозаики более высокого порядка используют ту же решетку, но обладают большей сложностью. Фрактализирующая основа этих мозаик такова:

	Треугольник	Квадратный	Шестиугольник	Рассеченный Додекагон
Форма
Фрактализация

Длина сторон увеличена в раз . ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {3}}}$

Это можно сделать аналогично с усеченным трехгексагональным замощением в качестве основы с соответствующим растяжением . ${\ displaystyle 3 + {\ sqrt {3}}}$

	Треугольник	Квадратный	Шестиугольник	Рассеченный Додекагон
Форма
Фрактализация

Примеры фрактализации

	Усеченная шестиугольная мозаика	Усеченная трехгексагональная мозаика
Фрактализация

Плитки без стыковки

Выпуклые правильные многоугольники также могут образовывать плоские мозаики, которые не стыкуются между собой. Такие мозаики можно рассматривать как нерегулярные многоугольники со смежными коллинеарными ребрами.

Существует семь семейств изогональных, каждое из которых имеет параметр с действительным знаком, определяющий перекрытие между сторонами соседних плиток или соотношение между длинами краев разных плиток. Два семейства формируются из сдвинутого квадрата, прогрессивного или зигзагообразного положения. Грюнбаум и Шепард называют эти мозаики однородными, хотя это противоречит определению однородности Кокстера, которое требует от края до края правильных многоугольников. Такие изогональные мозаики фактически топологически идентичны однородным мозаикам с разными геометрическими пропорциями.

Периодические изогональные мозаики выпуклыми правильными многоугольниками без ребра
1	2	3	4	5	6	7
Ряды квадратов со смещениями по горизонтали		Ряды треугольников со смещениями по горизонтали	Плитка по квадратам	Три шестиугольника окружают каждый треугольник.	Каждый шестиугольник окружен шестью треугольниками.	Треугольники трех размеров
см (2 * 22)	p2 (2222)	см (2 * 22)	p4m (* 442)	p6 (632)		п3 (333)
Шестиугольная черепица		Квадратная черепица	Усеченная квадратная мозаика	Усеченная шестиугольная мозаика	Шестиугольная черепица	Трехгексагональная черепица