Распространение неопределенности - Propagation of uncertainty

В статистике , распространение неопределенности (или распространения ошибки ) является влияние переменных ' неопределенности (или ошибки , более конкретно , случайные ошибки ) на неопределенности в функции на их основе. Когда переменные являются значениями экспериментальных измерений, они имеют неопределенности из-за ограничений измерения (например, точности прибора ), которые распространяются из-за комбинации переменных в функции.

Неопределенность u можно выразить несколькими способами. Его можно определить абсолютной погрешностью Δ x . Неопределенности также можно определить с помощью относительной ошибки (Δ x ) / x , которая обычно записывается в процентах. Чаще всего, неопределенность в количестве количественно в терминах стандартного отклонения , сг , что положительный квадратный корень из дисперсии . Тогда значение величины и ее погрешность выражаются в виде интервала x ± u . Если статистическое распределение вероятностей переменной известно или может предполагаться, можно вывести доверительные границы для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, 68% доверительный интервал для одномерной переменной, принадлежащей нормальному распределению, составляет примерно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения x , что означает, что область x ± σ будет охватывать истинное значение примерно в 68% от случаи.

Если неопределенность коррелируется то ковариационная должны быть приняты во внимание. Корреляция может возникать из двух разных источников. Во-первых, ошибки измерения могут быть скоррелированы. Во-вторых, когда лежащие в основе значения коррелируют по совокупности, неопределенности средних значений по группе будут коррелированы.

Линейные комбинации

Позвольте быть набор из m функций, которые являются линейными комбинациями переменных с коэффициентами комбинации : ${\ displaystyle \ {f_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$${\ displaystyle A_ {k1}, A_ {k2}, \ dots, A_ {kn}, (k = 1, \ dots, m)}$

${\ displaystyle f_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {ki} x_ {i},}$

или в матричной записи,

${\ displaystyle \ mathbf {f} = \ mathbf {Ax}.}$

Кроме того, пусть ковариационной матрицы из х  = ( х ₁ , ...,  х _п ) обозначим через и пусть среднее значение обозначим через : ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {x}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ mu}}$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {x} = E [\ mathbf {(x- \ mu)} \ otimes \ mathbf {(x- \ mu)}] = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {1} ^ {2} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} & \ cdots \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {2} ^ {2} & \ sigma _ {23 } & \ cdots \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {3} ^ {2} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} {\ Sigma} _ {11} ^ {x} & {\ Sigma} _ {12} ^ {x} & {\ Sigma} _ {13} ^ {x} & \ cdots \\ {\ Sigma} _ {21} ^ {x} & {\ Sigma} _ {22} ^ {x} & {\ Sigma} _ {23} ^ {x} & \ cdots \\ {\ Sigma} _ {31} ^ {x} & {\ Sigma} _ {32} ^ {x} & {\ Sigma} _ {33} ^ {x} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \ конец {pmatrix}}.}$

${\ displaystyle \ otimes}$это внешний продукт .

Тогда матрица дисперсии-ковариации функции f имеет вид ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {f}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {f} = E [(\ mathbf {f} -E [\ mathbf {f}]) \ otimes (\ mathbf {f} -E [\ mathbf {f} ])] = E [\ mathbf {A (x- \ mu)} \ otimes \ mathbf {A (x- \ mu)}] = \ mathbf {A} E [\ mathbf {(x- \ mu)} \ otimes \ mathbf {(x- \ mu)}] \ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}} = \ mathbf {A} {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {x} \ mathbf {A} ^ { \ mathrm {T}}}$

В обозначениях компонентов уравнение

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {f} = \ mathbf {A} {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {x} \ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}}.}$

читает

${\ displaystyle \ Sigma _ {ij} ^ {f} = \ sum _ {k} ^ {n} \ sum _ {l} ^ {n} A_ {ik} {\ Sigma} _ {kl} ^ {x} A_ {jl}.}$

Это наиболее общее выражение для распространения ошибки от одного набора переменных к другому. Когда ошибки по x не коррелированы, общее выражение упрощается до

${\ Displaystyle \ Sigma _ {ij} ^ {f} = \ sum _ {k} ^ {n} A_ {ik} \ Sigma _ {k} ^ {x} A_ {jk},}$

где - дисперсия k -го элемента вектора x . Обратите внимание, что даже если ошибки по x могут быть некоррелированными, ошибки по f в целом коррелированы; другими словами, даже если это диагональная матрица, в общем случае это полная матрица. ${\ Displaystyle \ Sigma _ {k} ^ {x} = \ sigma _ {x_ {k}} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {x}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {f}}$

Общие выражения для скалярной функции f немного проще (здесь a - вектор-строка):

${\ displaystyle f = \ sum _ {i} ^ {n} a_ {i} x_ {i} = \ mathbf {ax},}$

${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = \ sum _ {i} ^ {n} \ sum _ {j} ^ {n} a_ {i} \ Sigma _ {ij} ^ {x} a_ { j} = \ mathbf {a} {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {x} \ mathbf {a} ^ {\ mathrm {T}}.}$

Каждый член ковариации может быть выражен в терминах коэффициента корреляции пути , так , что альтернативное выражение для дисперсии F является ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {ij}}$${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ rho _ {ij} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = \ sum _ {i} ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ sigma _ {i} ^ {2} + \ sum _ {i} ^ {n} \ sum _ {j (j \ neq i)} ^ {n} a_ {i} a_ {j} \ rho _ {ij} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}.}$

В случае, если переменные в x не коррелированы, это еще больше упрощается до

${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = \ sum _ {i} ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ sigma _ {i} ^ {2}.}$

В простом случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим

${\ displaystyle \ sigma _ {f} = {\ sqrt {n}} \, | a | \ sigma.}$

Для среднего арифметического результатом является стандартная ошибка среднего : ${\ Displaystyle а = 1 / п}$

${\ displaystyle \ sigma _ {f} = \ sigma / {\ sqrt {n}}.}$

Нелинейные комбинации

Когда f представляет собой набор нелинейных комбинаций переменных x , распространение интервала может быть выполнено для вычисления интервалов, которые содержат все согласованные значения переменных. При вероятностном подходе функция f обычно должна быть линеаризована путем приближения к разложению в ряд Тейлора первого порядка , хотя в некоторых случаях могут быть получены точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае точной дисперсии продуктов . Расширение Тейлора будет:

${\ displaystyle f_ {k} \ приблизительно f_ {k} ^ {0} + \ sum _ {i} ^ {n} {\ frac {\ partial f_ {k}} {\ partial {x_ {i}}}} x_ {i}}$

где обозначает частную производную от ф _к по отношению к я -й переменной, оцениваемые по среднему значению всех компонент вектора х . Или в матричной записи , ${\ displaystyle \ partial f_ {k} / \ partial x_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathrm {f} \ приблизительно \ mathrm {f} ^ {0} + \ mathrm {J} \ mathrm {x} \,}$

где J - матрица Якоби . Поскольку f ⁰ является константой, она не вносит вклад в ошибку f. Следовательно, распространение ошибки происходит в линейном случае, описанном выше, но с заменой линейных коэффициентов A _ki и A _kj частными производными, и . В матричных обозначениях ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {k}} {\ partial x_ {i}}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {k}} {\ partial x_ {j}}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {\ Sigma} ^ {\ mathrm {f}} = \ mathrm {J} \ mathrm {\ Sigma} ^ {\ mathrm {x}} \ mathrm {J} ^ {\ top}.}$

То есть якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов ковариационно-дисперсионной матрицы аргумента. Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с . ${\ Displaystyle \ mathrm {J = A}}$

Упрощение

Пренебрежение корреляциями или допущение независимых переменных дает инженерам и ученым-экспериментаторам общую формулу для расчета распространения ошибок, формулу дисперсии:

${\ displaystyle s_ {f} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right) ^ {2} s_ {x} ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) ^ {2} s_ {y} ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ right) ^ { 2} s_ {z} ^ {2} + \ cdots}}}$

где представляет стандартное отклонение функции , представляет стандартное отклонение , представляет стандартное отклонение и т. д. ${\ displaystyle s_ {f}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle s_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle s_ {y}}$${\ displaystyle y}$

Важно отметить, что эта формула основана на линейных характеристиках градиента, и поэтому она является хорошей оценкой стандартного отклонения до тех пор, пока оно достаточно мало. В частности, линейное приближение должно быть близко к радиусу внутри окрестности . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}, \ ldots}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}, \ ldots}$

Пример

Любая нелинейная дифференцируемая функция двух переменных и может быть разложена как ${\ Displaystyle f (а, б)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle f \ приблизительно f ^ {0} + {\ frac {\ partial f} {\ partial a}} a + {\ frac {\ partial f} {\ partial b}} b}$

следовательно:

${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно \ left | {\ frac {\ partial f} {\ partial a}} \ right | ^ {2} \ sigma _ {a} ^ {2} + \ left | {\ frac {\ partial f} {\ partial b}} \ right | ^ {2} \ sigma _ {b} ^ {2} +2 {\ frac {\ partial f} {\ partial a}} {\ frac {\ partial f} {\ partial b}} \ sigma _ {ab}}$

где - стандартное отклонение функции , - стандартное отклонение , - стандартное отклонение и - ковариация между и . ${\ displaystyle \ sigma _ {f}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ sigma _ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ sigma _ {b}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ sigma _ {ab} = \ sigma _ {a} \ sigma _ {b} \ rho _ {ab}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

В частном случае , . потом ${\ displaystyle f = ab}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial a}} = b, {\ frac {\ partial f} {\ partial b}} = a}$

${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно b ^ {2} \ sigma _ {a} ^ {2} + a ^ {2} \ sigma _ {b} ^ {2} + 2ab \, \ sigma _ {ab}}$

или

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ sigma _ {f}} {f}} \ right) ^ {2} \ приблизительно \ left ({\ frac {\ sigma _ {a}} {a}} \ right ) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ sigma _ {b}} {b}} \ right) ^ {2} +2 \ left ({\ frac {\ sigma _ {a}} {a} } \ right) \ left ({\ frac {\ sigma _ {b}} {b}} \ right) \ rho _ {ab}}$

где - соотношение между и . ${\ displaystyle \ rho _ {ab}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Когда переменные и некоррелированны, . потом ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ rho _ {ab} = 0}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ sigma _ {f}} {f}} \ right) ^ {2} \ приблизительно \ left ({\ frac {\ sigma _ {a}} {a}} \ right ) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ sigma _ {b}} {b}} \ right) ^ {2}.}$

Предостережения и предупреждения

Оценки ошибок для нелинейных функций смещены из-за использования разложения в усеченный ряд. Степень этого смещения зависит от характера функции. Например, смещение ошибки, вычисленной для log (1+ x ), увеличивается с увеличением x , поскольку расширение до x является хорошим приближением только тогда, когда x близко к нулю.

Для сильно нелинейных функций существует пять категорий вероятностных подходов к распространению неопределенности; подробности см. в разделе « Количественная оценка неопределенности» § «Методики прямого распространения неопределенности» .

Взаимный и сдвинутый взаимный

В частном случае обратного или обратного , когда следует стандартное нормальное распределение , результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и нет определяемой дисперсии. ${\ displaystyle 1 / B}$${\ Displaystyle B = N (0,1)}$

Однако в несколько более общем случае смещенной обратной функции для следования общему нормальному распределению статистика среднего и дисперсии действительно существует в смысле главного значения , если разница между полюсом и средним значением является действительной. ${\ Displaystyle 1 / (пБ)}$${\ Displaystyle В = N (\ му, \ sigma)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mu}$

Соотношения

Соотношения также проблематичны; нормальные приближения существуют при определенных условиях.

Примеры формул

В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций реальных переменных , а также ковариация стандартных отклонений и корреляция . Действительные коэффициенты a и b считаются точно известными (детерминированными), т . Е .. ${\ Displaystyle А, В \!}$${\ Displaystyle \ sigma _ {A}, \ sigma _ {B}, \,}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {AB} = \ rho _ {AB} \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \,}$${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ displaystyle \ sigma _ {a} = \ sigma _ {b} = 0}$

В столбцах «Дисперсия» и «Стандартное отклонение» A и B следует понимать как ожидаемые значения (т. Е. Значения, вокруг которых мы оцениваем неопределенность), и их следует понимать как значение функции, вычисленное при ожидаемом значении . ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle А, В \!}$

Функция	Дисперсия	Среднеквадратичное отклонение
${\ displaystyle f = aA \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = a ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} = | a | \ sigma _ {A}}$
${\ displaystyle f = aA + bB \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = a ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + b ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} + 2ab \, \ сигма _ {AB}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} = {\ sqrt {a ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + b ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} + 2ab \, \ сигма _ {AB}}}}$
${\ displaystyle f = aA-bB \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = a ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + b ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} -2ab \, \ сигма _ {AB}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} = {\ sqrt {a ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + b ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} -2ab \, \ сигма _ {AB}}}}$
${\ displaystyle f = AB,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = \ sigma _ {A} ^ {2} + \ sigma _ {B} ^ {2} -2 \ sigma _ {AB}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} = {\ sqrt {\ sigma _ {A} ^ {2} + \ sigma _ {B} ^ {2} -2 \ sigma _ {AB}}}}$
${\ displaystyle f = aA-aA,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = 2a ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} (1- \ rho _ {A})}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} = {\ sqrt {2}} \ left | a \ right | \ sigma _ {A} (1- \ rho _ {A}) ^ {1/2}}$
${\ displaystyle f = AB \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно f ^ {2} \ left [\ left ({\ frac {\ sigma _ {A}} {A}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ sigma _ {B}} {B}} \ right) ^ {2} +2 {\ frac {\ sigma _ {AB}} {AB}} \ right]}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} \ приблизительно \ left | f \ right | {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ sigma _ {A}} {A}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ sigma _ {B}} {B}} \ right) ^ {2} +2 {\ frac {\ sigma _ {AB}} {AB}}}}}$
${\ displaystyle f = {\ frac {A} {B}} \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно f ^ {2} \ left [\ left ({\ frac {\ sigma _ {A}} {A}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ sigma _ {B}} {B}} \ right) ^ {2} -2 {\ frac {\ sigma _ {AB}} {AB}} \ right]}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} \ приблизительно \ left | f \ right | {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ sigma _ {A}} {A}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ sigma _ {B}} {B}} \ right) ^ {2} -2 {\ frac {\ sigma _ {AB}} {AB}}}}}$
${\ displaystyle f = aA ^ {b} \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно \ left ({a} {b} {A} ^ {b-1} {\ sigma _ {A}} \ right) ^ {2} = \ слева ({\ frac {{f} {b} {\ sigma _ {A}}} {A}} \ right) ^ {2}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} \ приблизительно \ left | {a} {b} {A} ^ {b-1} {\ sigma _ {A}} \ right | = \ left | {\ frac {{f } {b} {\ sigma _ {A}}} {A}} \ right |}$
${\ Displaystyle е = а \ пер (бА) \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно \ left (a {\ frac {\ sigma _ {A}} {A}} \ right) ^ {2}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} \ приблизительно \ left | a {\ frac {\ sigma _ {A}} {A}} \ right |}$
${\ Displaystyle е = а \ журнал _ {10} (бА) \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно \ left (a {\ frac {\ sigma _ {A}} {A \ ln (10)}} \ right) ^ {2}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} \ приблизительно \ left | a {\ frac {\ sigma _ {A}} {A \ ln (10)}} \ right |}$
${\ displaystyle f = ae ^ {bA} \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно f ^ {2} \ left (b \ sigma _ {A} \ right) ^ {2}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} \ приблизительно \ left | f \ right | \ left | \ left (b \ sigma _ {A} \ right) \ right |}$
${\ displaystyle f = a ^ {bA} \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно f ^ {2} (b \ ln (a) \ sigma _ {A}) ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ сигма _ {е} \ приблизительно \ влево | е \ вправо | \ влево | (б \ пер (а) \ сигма _ {A}) \ вправо |}$
${\ Displaystyle е = а \ грех (бА) \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно \ left [ab \ cos (bA) \ sigma _ {A} \ right] ^ {2}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} \ приблизительно \ left | ab \ cos (bA) \ sigma _ {A} \ right |}$
${\ Displaystyle е = а \ соз \ влево (бА \ право) \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно \ left [ab \ sin (bA) \ sigma _ {A} \ right] ^ {2}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} \ приблизительно \ left | ab \ sin (bA) \ sigma _ {A} \ right |}$
${\ Displaystyle е = а \ загар \ влево (бА \ право) \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно \ left [ab \ sec ^ {2} (bA) \ sigma _ {A} \ right] ^ {2}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} \ приблизительно \ left | ab \ sec ^ {2} (bA) \ sigma _ {A} \ right |}$
${\ Displaystyle е = А ^ {В} \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно f ^ {2} \ left [\ left ({\ frac {B} {A}} \ sigma _ {A} \ right) ^ {2} + \ left (\ ln (A) \ sigma _ {B} \ right) ^ {2} +2 {\ frac {B \ ln (A)} {A}} \ sigma _ {AB} \ right]}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} \ приблизительно \ left | f \ right | {\ sqrt {\ left ({\ frac {B} {A}} \ sigma _ {A} \ right) ^ {2} + \ left (\ ln (A) \ sigma _ {B} \ right) ^ {2} +2 {\ frac {B \ ln (A)} {A}} \ sigma _ {AB}}}}$
${\ displaystyle f = {\ sqrt {aA ^ {2} \ pm bB ^ {2}}} \,}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ приблизительно \ left ({\ frac {A} {f}} \ right) ^ {2} a ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + \ left ({\ frac {B} {f}} \ right) ^ {2} b ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} \ pm 2ab {\ frac {AB} {f ^ {2 }}} \, \ sigma _ {AB}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {f} \ приблизительно {\ sqrt {\ left ({\ frac {A} {f}} \ right) ^ {2} a ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + \ left ({\ frac {B} {f}} \ right) ^ {2} b ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} \ pm 2ab {\ frac {AB} {f ^ {2 }}} \, \ sigma _ {AB}}}}$

Для некоррелированных переменных ( , ) выражения для более сложных функций могут быть получены путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение при отсутствии корреляции дает ${\ displaystyle \ rho _ {AB} = 0}$${\ displaystyle \ sigma _ {AB} = 0}$

${\ displaystyle f = ABC; \ qquad \ left ({\ frac {\ sigma _ {f}} {f}} \ right) ^ {2} \ приблизительно \ left ({\ frac {\ sigma _ {A}} {A}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ sigma _ {B}} {B}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ sigma _ {C }} {C}} \ right) ^ {2}.}$

Для этого случая у нас также есть выражение Гудмана для точной дисперсии: для некоррелированного случая это ${\ displaystyle f = AB}$

${\ Displaystyle V (XY) = E (X) ^ {2} V (Y) + E (Y) ^ {2} V (X) + E ((XE (X)) ^ {2} (YE (Y )) ^ {2})}$

и поэтому у нас есть:

${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = A ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} + B ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + \ sigma _ { A} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2}}$

Влияние корреляции на различия

Если A и B некоррелированы, их разница AB будет иметь большую дисперсию, чем любой из них. Увеличение положительной корреляции ( ) уменьшит дисперсию разницы, сходясь к нулевой дисперсии для идеально коррелированных переменных с той же дисперсией . С другой стороны, отрицательная корреляция ( ) с дальнейшим увеличением дисперсии разницы по сравнению с некоррелированным случаем. ${\ displaystyle \ rho _ {AB} \ to 1}$${\ displaystyle \ rho _ {AB} \ to -1}$

Например, самовычитание f = AA имеет нулевую дисперсию только в том случае, если вариация полностью автокоррелирована ( ). Если некоррелировано, , то выходной сигнал дисперсии в два раза входной дисперсии, . И если A полностью антикоррелирован, то входная дисперсия увеличивается в четыре раза на выходе (обратите внимание на f = aA - aA в таблице выше). ${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = 0}$${\ displaystyle \ rho _ {A} = 1}$${\ displaystyle \ rho _ {A} = 0}$${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = 2 \ sigma _ {A} ^ {2}}$${\ displaystyle \ rho _ {A} = - 1}$${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = 4 \ sigma _ {A} ^ {2}}$${\ displaystyle 1- \ rho _ {A} = 2}$

Примеры расчетов

Функция обратной тангенса

Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции обратной касательной в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.

Определять

${\ Displaystyle е (х) = \ arctan (х),}$

где - абсолютная погрешность нашего измерения x . Производная f ( x ) по x равна ${\ displaystyle \ Delta _ {x}}$

${\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}.}$

Следовательно, наша распространенная неопределенность равна

${\ displaystyle \ Delta _ {f} \ приблизительно {\ frac {\ Delta _ {x}} {1 + x ^ {2}}},}$

где - абсолютная распространенная неопределенность. ${\ displaystyle \ Delta _ {f}}$

Измерение сопротивления

Практическое применение является эксперимент , в котором измеряется ток , I , и напряжение , В , на резисторе , с тем , чтобы определить сопротивление , R , с использованием закона Ома , R = V / I .

Учитывая измеряемые переменные с неопределенностями, I ± σ _I и V ± σ _V , и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность вычисляемой величины σ _R составляет:

${\ displaystyle \ sigma _ {R} \ приблизительно {\ sqrt {\ sigma _ {V} ^ {2} \ left ({\ frac {1} {I}} \ right) ^ {2} + \ sigma _ { I} ^ {2} \ left ({\ frac {-V} {I ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} = R {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ sigma _ { V}} {V}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ sigma _ {I}} {I}} \ right) ^ {2}}}.}$

Смотрите также

• Тщательность и точность
• Автоматическая дифференциация
• Дельта-метод
• Снижение точности (навигация)
• Ошибки и неточности в статистике
• Экспериментальный анализ неопределенности
• Интервальный конечный элемент
• Погрешность измерения
• Анализ границ вероятности
• Значимость арифметики
• Количественная оценка неопределенности
• Случайно-нечеткая переменная

использованная литература

дальнейшее чтение

• Бевингтон, Филип Р .; Робинсон, Д. Кейт (2002), Обработка данных и анализ ошибок для физических наук (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
• Форнасини, Паоло (2008), Неопределенность в физических измерениях: введение в анализ данных в физической лаборатории , Springer, стр. 161, ISBN 978-0-387-78649-0
• Мейер, Стюарт Л. (1975), Анализ данных для ученых и инженеров , Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
• Перальта, М. (2012), Распространение ошибок: как математически прогнозировать ошибки измерения , CreateSpace
• Rouaud, M. (2013), Вероятность, статистика и оценка: распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (сокращенное издание)
• Тейлор, Дж. Р. (1997), Введение в анализ ошибок: исследование неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.), University Science Books
• Ван, СМ; Айер, Хари К. (2005-09-07). «О поправках высшего порядка для распространения неопределенностей». Метрология . 42 (5): 406–410. DOI : 10.1088 / 0026-1394 / 42/5/011 . ISSN  0026-1394 .

внешние ссылки

• Подробное обсуждение измерений и распространения неопределенности, объясняющее преимущества использования формул распространения ошибок и моделирования Монте-Карло вместо простой арифметики значимости.
• ГУМ , Руководство по выражению неопределенности в измерениях
• EPFL Введение в распространение ошибок , вывод, значение и примеры Cy = Fx Cx Fx '
• пакет неопределенностей , программа / библиотека для прозрачного выполнения расчетов с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• пакет soerp , программа / библиотека на Python для прозрачного выполнения вычислений * второго порядка * с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• Объединенный комитет руководств по метрологии (2011 г.). JCGM 102: Оценка данных измерений - Дополнение 2 к «Руководству по выражению неопределенности измерений» - Расширение на любое количество выходных величин (PDF) (Технический отчет). JCGM . Проверено 13 февраля 2013 года .
• Калькулятор неопределенности Распространение неопределенности для любого выражения