Метод механических теорем -The Method of Mechanical Theorems

Метод механических теорем ( греч . : Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος ), также называемый «Методом» , считается одной из основных сохранившихся работ древнегреческого эрудита Архимеда . Метод принимает форму письма Архимеда Эратосфену , главному библиотекарю Александрийской библиотеки , и содержит первое засвидетельствованное явное использование неделимых (иногда ошибочно называемых бесконечно малыми ). Первоначально эта работа считалась утерянной, но в 1906 году была обнаружена заново в знаменитом Архимедовском палимпсесте . Палимпсест включает описание Архимеда «механического метода», названного так потому, что он опирается на центр масс фигур ( центроид ) и закон рычага , которые впервые были продемонстрированы Архимедом в «Равновесии плоскостей» .

Архимед не признавал метод неделимых как часть строгой математики и поэтому не публиковал свой метод в официальных трактатах, содержащих результаты. В этих трактатах он доказывает те же теоремы методом исчерпания , находя строгие верхние и нижние оценки, которые сходятся к требуемому ответу. Тем не менее именно механический метод был тем, что он использовал для открытия соотношений, которым он позже дал строгие доказательства.

Площадь параболы

Чтобы объяснить метод Архимеда сегодня, удобно использовать немного декартовой геометрии, хотя в то время это, конечно, было недоступно. Его идея состоит в том, чтобы использовать закон рычага для определения площадей фигур по известному центру масс других фигур. Самый простой пример на современном языке - это область параболы. Архимед использует более элегантный метод, но на картезианском языке его метод вычисляет интеграл

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {2} \, dx = {\ frac {1} {3}},}

что в настоящее время легко проверить с помощью элементарного интегрального исчисления .

Идея состоит в том, чтобы механически уравновесить параболу (изогнутая область, интегрированная выше) с определенным треугольником, сделанным из того же материала. Парабола область в плоскости между оси абсцисс и кривой , как изменяется от 0 до 1. треугольника представляет собой область , в той же самой плоскости между ось и линия , и как изменяется от 0 до 1. ${\ Displaystyle (х, у)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle у = х ^ {2}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y = x}$ ${\ displaystyle x}$

Разрежьте параболу и треугольник на вертикальные срезы, по одному на каждое значение . Представьте, что ось - это рычаг с точкой опоры в точке . Закон рычага гласит , что два объекта на противоположных сторонах опоры будет балансировать , если каждый из них имеет один и тот же крутящий момент , когда крутящий момент объекта равен его раз веса ее расстояние до точки опоры. Для каждого значения срез треугольника в позиции имеет массу, равную его высоте , и находится на расстоянии от точки опоры; таким образом, он уравновесил бы соответствующий срез параболы по высоте , если бы последний был перемещен на расстояние 1 по другую сторону от точки опоры. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ ${\ displaystyle x = -1}$

Уравновешенный треугольник и параболическая перемычка по Методике

Поскольку каждая пара срезов уравновешивается, перемещение всей параболы в сторону уравновешивает весь треугольник. Это означает, что если исходная неразрезанная парабола подвешена за крюк за точку (так, чтобы вся масса параболы была прикреплена к этой точке), она уравновесит треугольник, расположенный между и . ${\ displaystyle x = -1}$ ${\ displaystyle x = -1}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x = 1}$

Центр масс треугольника можно легко найти с помощью следующего метода, тоже принадлежащего Архимеду. Если срединная линия проведена от одной из вершин треугольника к противоположному краю , треугольник будет балансировать по средине, считающейся точкой опоры. Причина в том, что если треугольник разделен на бесконечно малые отрезки, параллельные , каждый отрезок имеет одинаковую длину на противоположных сторонах медианы, поэтому баланс следует симметрии. Этот аргумент можно легко сделать строгим, исчерпав его, используя маленькие прямоугольники вместо бесконечно малых линий, и именно это делает Архимед в « О равновесии плоскостей» . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$

Таким образом, центр масс треугольника должен находиться в точке пересечения медиан. Для рассматриваемого треугольника одна медиана - это линия , а вторая медиана - это линия . Решая эти уравнения, мы видим, что пересечение этих двух медиан находится над точкой , так что общее воздействие треугольника на рычаг такое, как если бы общая масса треугольника давила на эту точку (или свисала с нее). Общий крутящий момент, создаваемый треугольником, равен его площади 1/2, умноженной на расстояние 2/3 его центра масс от точки опоры . Этот крутящий момент 1/3 уравновешивает параболу, которая находится на расстоянии 1 от точки опоры. Следовательно, площадь параболы должна быть 1/3, чтобы дать ей противоположный крутящий момент. ${\ Displaystyle у = х / 2}$ ${\ Displaystyle у = 1-х}$ ${\ displaystyle x = 2/3}$ ${\ displaystyle x = 0}$

Этот тип метода может использоваться, чтобы найти площадь произвольного участка параболы, и аналогичные аргументы могут использоваться, чтобы найти интеграл любой степени , хотя более высокие степени усложняются без алгебры. Архимед дошел только до интеграла , который он использовал, чтобы найти центр масс полушария, а в другой работе - центр масс параболы. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x ^ {3}}$

Первое предложение в палимпсесте

Рассмотрим параболу на рисунке справа. Выберите две точки на параболе и называть их А и Б .

Предположим, что отрезок AC параллелен оси симметрии параболы. Далее предположим , что отрезок BC лежит на линии, касательной к параболе в B . Первое предложение гласит:

Площадь треугольника ABC ровно в три раза больше площади, ограниченной параболой и секущей AB .

Доказательство :

Пусть D - середина AC . Построить отрезок линии JB через D , где расстояние от J до D равно расстоянию от B до D . Мы будем думать о сегменте JB как о «рычаге» с точкой опоры D. Как ранее показал Архимед, центр масс треугольника находится в точке I на «рычаге», где DI : DB = 1: 3. Следовательно, достаточно показать, что если весь вес внутренней части треугольника опирается на I , а весь вес секции параболы на J , рычаг находится в равновесии.

Рассмотрим бесконечно малое поперечное сечение треугольника, заданного отрезком HE , где точка H лежит на BC , точка E лежит на AB , а HE параллельна оси симметрии параболы. Вызвать пересечение HE и параболу F и пересечение HE и рычаг G . Если весь вес треугольника опирается на I , он оказывает на рычаг JB такой же крутящий момент, как и на HE . Таким образом, мы хотим показать, что если вес поперечного сечения HE опирается на G, а вес поперечного сечения EF сечения параболы лежит на J , то рычаг находится в равновесии. Другими словами, достаточно показать, что EF : GD = EH : JD . Но это обычное следствие уравнения параболы. QED

Объем шара

Опять же, чтобы осветить механический метод, удобно использовать немного координатной геометрии. Если сфера радиуса 1 помещается с центром в точке x = 1, радиус вертикального поперечного сечения при любом значении x между 0 и 2 определяется по следующей формуле: ${\ displaystyle \ rho _ {S}}$

{\ displaystyle \ rho _ {S} (x) = {\ sqrt {x (2-x)}}.}

Масса этого поперечного сечения для балансировки на рычаге пропорциональна площади:

{\ displaystyle \ pi \ rho _ {S} (x) ^ {2} = 2 \ pi x- \ pi x ^ {2}.}

Затем Архимед рассмотрел возможность поворота треугольной области между y = 0 и y = x и x = 2 на плоскости x - y вокруг оси x , чтобы сформировать конус. Поперечное сечение этого конуса представляет собой окружность радиуса ${\ displaystyle \ rho _ {C}}$

{\ Displaystyle \ rho _ {C} (х) = х}

а площадь этого поперечного сечения равна

{\ displaystyle \ pi \ rho _ {C} ^ {2} = \ pi x ^ {2}.}

Так что, если кусочки конуса и сферы , как должны быть взвешены вместе, суммарная площадь поперечного сечения:

{\ Displaystyle М (х) = 2 \ пи х.}

Если два среза разместить вместе на расстоянии 1 от точки опоры, их общий вес будет точно уравновешен кругом площади на расстоянии x от точки опоры на другой стороне. Это означает, что конус и сфера вместе, если бы весь их материал был перемещен в положение x = 1 , уравновесили бы цилиндр с радиусом основания 1 и длиной 2 с другой стороны. ${\ displaystyle 2 \ pi}$

Поскольку x находится в диапазоне от 0 до 2, центр тяжести цилиндра будет находиться на расстоянии 1 от точки опоры, поэтому можно считать, что весь вес цилиндра находится в положении 1. Условие баланса гарантирует, что объем конуса плюс объем шара равен объему цилиндра.

Объем цилиндра равен площади поперечного сечения, умноженной на высоту, которая равна 2 или . Архимед мог также найти объем конуса, используя механический метод, поскольку, говоря современным языком, задействованный интеграл точно такой же, как и интеграл для площади параболы. Объем конуса равен 1/3 площади основания, умноженной на высоту. Основание конуса - это круг радиуса 2 с площадью , а высота равна 2, поэтому площадь равна . Вычитание объема конуса из объема цилиндра дает объем сферы: ${\ displaystyle 2 \ pi}$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ ${\ displaystyle 8 \ pi / 3}$

{\ displaystyle V_ {S} = 4 \ pi - {8 \ over 3} \ pi = {4 \ over 3} \ pi.}

Зависимость объема сферы от радиуса очевидна из масштабирования, хотя в то время это было нетривиально сделать строго. Затем метод дает знакомую формулу для объема сферы . Масштабируя размеры линейно, Архимед легко расширил объем до сфероидов .

Аргумент Архимеда почти идентичен приведенному выше аргументу, но его цилиндр имел больший радиус, так что конус и цилиндр висели на большем расстоянии от точки опоры. Он считал этот аргумент своим величайшим достижением, прося, чтобы на его надгробной плите была выгравирована соответствующая фигура сбалансированной сферы, конуса и цилиндра.

Площадь поверхности шара

Чтобы найти площадь поверхности сферы, Архимед утверждал, что точно так же, как площадь круга можно представить как бесконечное множество бесконечно малых прямоугольных треугольников, идущих по окружности (см. Измерение круга ), можно представить объем сферы. как разделенный на множество конусов с высотой, равной радиусу и основанием на поверхности. Все конусы имеют одинаковую высоту, поэтому их объем равен 1/3 площади основания, умноженной на высоту.

Архимед утверждает, что общий объем сферы равен объему конуса, основание которого имеет ту же площадь поверхности, что и сфера, а высота - радиус. Нет никаких подробностей для аргументации, но очевидная причина состоит в том, что конус можно разделить на бесконечно малые конусы, разделив базовую площадь наверх, и каждый конус вносит свой вклад в соответствии со своей базовой площадью, точно так же, как и в сфере. .

Пусть поверхность сферы будет S . Объем конуса с площадью основания S и высоты г является , которая должна равняться объем сферы: . Следовательно, площадь поверхности сферы должна быть «в четыре раза больше ее наибольшего круга». Архимед строго доказывает это в своей книге « На сфере и цилиндре» . ${\ displaystyle Sr / 3}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {3} / 3}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$

Криволинейные формы с рациональными объемами

Одна из замечательных особенностей этого метода заключается в том, что Архимед находит две формы, определяемые секциями цилиндров, объем которых не включает , несмотря на то, что формы имеют криволинейные границы. Это центральный момент исследования - некоторые криволинейные формы можно исправить с помощью линейки и циркуля, так что существуют нетривиальные рациональные отношения между объемами, определяемыми пересечениями геометрических тел. ${\ displaystyle \ pi}$

Архимед подчеркивает это в начале трактата и предлагает читателю попытаться воспроизвести результаты каким-либо другим методом. В отличие от других примеров, объем этих форм не вычисляется строго ни в одной из его других работ. Из фрагментов палимпсеста видно, что Архимед действительно вписывал и описывал формы, чтобы доказать строгие границы объема, хотя детали не сохранились.

Две формы, которые он рассматривает, являются пересечением двух цилиндров под прямым углом ( бицилиндр ), который является областью ( x , y , z ), подчиняющейся:

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} <1, \ quad y ^ {2} + z ^ {2} <1,}

и круговая призма, которая представляет собой область, подчиняющуюся:

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} <1, \ quad 0 <z <y.}

Обе задачи имеют нарезку, которая дает простой интеграл для механического метода. Для круглой призмы разрежьте ось X на кусочки. Область в плоскости y - z при любом x - это внутренность прямоугольного треугольника с длиной стороны , площадь которой равна , так что общий объем равен:

{\ displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}

{\ Displaystyle {1 \ более 2} (1-х ^ {2})}

{\ displaystyle \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {1 \ over 2} (1-x ^ {2}) \, dx}

которые легко исправить механическим способом. Добавление к каждому треугольному сечению сечения треугольной пирамиды с площадью уравновешивает призму с постоянным поперечным сечением.

{\ displaystyle x ^ {2} / 2}

Для пересечения двух цилиндров разрез теряется в рукописи, но его можно очевидным образом восстановить параллельно с остальной частью документа: если плоскость xz является направлением среза, уравнения для цилиндра дают это, в то время как , который определяет область, которая представляет собой квадрат в плоскости x - z с длиной стороны , так что общий объем равен: ${\ displaystyle x ^ {2} <1-y ^ {2}}$ ${\ Displaystyle г ^ {2} <1-у ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2 {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}$

{\ displaystyle \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} 4 (1-y ^ {2}) \, dy.}

И это тот же интеграл, что и в предыдущем примере. Ян Хогендейк утверждает, что Архимед знал не только объем бицилиндра, но и площадь его поверхности , что тоже рационально.

Другие предложения в палимпсесте

Ряд предложений геометрии доказывается в палимпсесте аналогичными аргументами. Одна из теорем гласит, что центр масс полусферы находится на 5/8 пути от полюса до центра сферы. Эта проблема примечательна тем, что вычисляется кубический интеграл.

Languages

In other projects