Предельная скорость - Terminal velocity

Сила тяжести, направленная вниз ( F _g ), равна сдерживающей силе сопротивления ( F _d ) плюс плавучесть. Чистая сила, действующая на объект, равна нулю, и в результате скорость объекта остается постоянной.

Конечная скорость - это максимальная скорость (скорость), достигаемая объектом при падении через жидкость ( наиболее распространенным примером является воздух ). Это происходит, когда сумма силы сопротивления ( F _d ) и плавучести равна направленной вниз силе тяжести ( F _G ), действующей на объект. Поскольку результирующая сила, действующая на объект, равна нулю, объект имеет нулевое ускорение .

В гидродинамике объект движется со своей конечной скоростью, если его скорость постоянна из-за сдерживающей силы, оказываемой жидкостью, в которой он движется.

С увеличением скорости объекта увеличивается и сила сопротивления, действующая на него, которая также зависит от вещества, через которое он проходит (например, воздуха или воды). На некоторой скорости сопротивление или сила сопротивления будут равны гравитационному притяжению объекта (плавучесть рассматривается ниже). В этот момент объект перестает ускоряться и продолжает падать с постоянной скоростью, называемой конечной скоростью (также называемой скоростью оседания). Объект, движущийся вниз со скоростью, превышающей предельную (например, потому что он был брошен вниз, упал из более тонкой части атмосферы или изменил форму), будет замедляться, пока не достигнет предельной скорости. Перетаскивание зависит от проецируемой области , представленной здесь поперечным сечением или силуэтом объекта в горизонтальной плоскости. Объект с большой площадью проецирования относительно его массы, например парашют, имеет более низкую конечную скорость, чем объект с небольшой площадью проецирования относительно его массы, например дротик. В общем, для той же формы и материала конечная скорость объекта увеличивается с размером. Это связано с тем, что направленная вниз сила (вес) пропорциональна кубу линейного размера, но сопротивление воздуха приблизительно пропорционально площади поперечного сечения, которая увеличивается только как квадрат линейного размера. Для очень маленьких объектов, таких как пыль и туман, предельная скорость легко преодолевается конвекционными потоками, которые не позволяют им достигать земли, и, следовательно, они остаются в воздухе в течение неопределенного времени. Загрязнение воздуха и туман являются примерами конвекционных течений.

Примеры

График зависимости скорости парашютиста от времени, достигшего предельной скорости.

Например, исходя из сопротивления ветра, предельная скорость парашютиста в положении свободного падения живот к земле (т. Е. Лицом вниз) составляет около 195  км / ч (120  миль / ч ; 54  м / с ). Эта скорость является асимптотическим предельным значением скорости, и силы, действующие на тело, уравновешивают друг друга все более и более точно по мере приближения к конечной скорости. В этом примере скорость 50% от скорости терминала достигается всего за 3 секунды, в то время как для достижения 90% требуется 8 секунд, для достижения 99% - 15 секунд и так далее.

Более высокие скорости могут быть достигнуты, если парашютист подтягивает свои конечности (см. Также свободный полет ). В этом случае конечная скорость увеличивается примерно до 320 км / ч (200 миль в час или 90 м / с), что почти равно конечной скорости сапсана, ныряющего на свою добычу. Такая же конечная скорость достигается для типичной пули .30-06, падающей вниз - когда она возвращается на землю после выстрела вверх или сбрасывается с башни - согласно исследованию артиллерийского вооружения армии США 1920 года.

Парашютисты, участвующие в соревнованиях по скорости, летают в положении вниз головой и могут развивать скорость 530 км / ч (330 миль / ч; 150 м / с); текущий рекорд принадлежит Феликсу Баумгартнеру, который прыгнул с высоты 128 100 футов (39 000 м) и достиг 1357,6 км / ч (840 миль / ч; 380 м / с), хотя он достиг этой скорости на большой высоте, где плотность воздуха намного ниже, чем у поверхности Земли, что соответственно создает меньшую силу сопротивления.

Биолог Дж. Б. С. Холдейн писал:

Для мыши и любого более мелкого животного [гравитация] практически не представляет опасности. Вы можете бросить мышь в шахту длиной в тысячу ярдов; и, достигнув дна, он получает легкий шок и уходит. Убита крыса, сломан человек, брызжет конь. Поскольку сопротивление воздуха движению пропорционально поверхности движущегося объекта. Разделите длину, ширину и рост каждого животного на десять; его вес уменьшен до одной тысячной, а его поверхность - только до сотой. Таким образом, сопротивление падению в случае небольшого животного относительно в десять раз больше, чем движущая сила.

Физика

Используя математические термины, конечная скорость - без учета эффекта плавучести - определяется как

$${\ displaystyle V_ {t} = {\ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho AC_ {d}}}}}$$

• ${\ displaystyle V_ {t}}$ представляет конечную скорость,
• ${\ displaystyle m}$это масса падающего объекта,
• ${\ displaystyle g}$это ускорение силы тяжести ,
• ${\ displaystyle C_ {d}}$- коэффициент лобового сопротивления ,
• ${\ displaystyle \ rho}$- плотность жидкости, через которую падает объект, и
• ${\ displaystyle A}$- проектируемая площадь объекта.

В действительности объект асимптотически приближается к своей конечной скорости .

Эффекты плавучести из-за направленной вверх силы, действующей на объект окружающей жидкостью, могут быть учтены с использованием принципа Архимеда : масса должна уменьшаться за счет вытесненной массы жидкости вместе с объемом объекта. Поэтому вместо использования приведенной массы в этой и последующих формулах. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ rho V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle m_ {r} = m- \ rho V}$

Скорость терминала объекта изменяется из - за свойств жидкости, масса объекта и его проектируемого поперечного сечения площади поверхности .

Плотность воздуха увеличивается с уменьшением высоты примерно на 1% на 80 метров (260 футов) (см. Барометрическую формулу ). Для объектов, падающих через атмосферу, на каждые 160 метров (520 футов) падения конечная скорость уменьшается на 1%. После достижения локальной конечной скорости, продолжая падение, скорость уменьшается, чтобы измениться с локальной конечной скоростью.

Вывод для предельной скорости

Используя математические термины, определяя вниз как положительное, результирующая сила, действующая на объект, падающий у поверхности Земли, равна (согласно уравнению сопротивления ):

$${\ displaystyle F _ {\ text {net}} = ma = mg - {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} AC_ {d},}$$

При равновесии , то результирующая сила равна нулю ( Р _нетто = 0) , а скорость становится конечная скорость Нт _{т → ∞} v ( т ) = V _т :

$${\ displaystyle mg- {1 \ over 2} \ rho V_ {t} ^ {2} AC_ {d} = 0.}$$

Решение для V _t дает

${\ displaystyle V_ {t} = {\ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho AC_ {d}}}}.}$

( 5 )

Получение решения для скорости v как функции времени t

Уравнение лобового сопротивления - при условии , что ρ , g и C d - постоянные: $${\ displaystyle ma = m {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = mg - {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} AC_ {d} .}$$ Хотя это уравнение Риккати может быть решено путем сведения к линейному дифференциальному уравнению второго порядка, разделить переменные проще . Более практичный вид этого уравнения можно получить, сделав замену α 2 = ρAC d/2 мг. Разделив обе стороны на m, мы получим $${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = g \ left (1- \ alpha ^ {2} v ^ {2} \ right).}$$ Уравнение можно переформатировать в $${\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ frac {\ mathrm {d} v} {g (1- \ alpha ^ {2} v ^ {2})}}.}$$ Взяв интеграл от обеих частей, получаем $${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} {\ mathrm {d} t '} = {1 \ over g} \ int _ {0} ^ {v} {\ frac {\ mathrm {d} v' } {1- \ alpha ^ {2} v ^ {\ prime 2}}}.}$$ После интеграции это становится $${\ displaystyle t-0 = {1 \ над g} \ left [{\ ln (1+ \ alpha v ') \ over 2 \ alpha} - {\ frac {\ ln (1- \ alpha v')} { 2 \ alpha}} + C \ right] _ {v '= 0} ^ {v' = v} = {1 \ over g} \ left [{\ ln {\ frac {1+ \ alpha v '} {1 - \ alpha v '}} \ over 2 \ alpha} + C \ right] _ {v' = 0} ^ {v '= v}}$$ или в более простой форме $${\ displaystyle t = {1 \ over 2 \ alpha g} \ ln {\ frac {1+ \ alpha v} {1- \ alpha v}} = {\ frac {\ mathrm {artanh} (\ alpha v)} {\ alpha g}},}$$ с artanh - функция обратного гиперболического тангенса . В качестве альтернативы, $${\ displaystyle {\ frac {1} {\ alpha}} \ tanh (\ alpha gt) = v,}$$ с tanh - функция гиперболического тангенса . Предполагая, что g положительно (что было определено как), и подставляя α обратно, скорость v становится $${\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho AC_ {d}}}} \ tanh \ left (t {\ sqrt {\ frac {g \ rho AC_ {d}} {2m}}}) \Правильно).}$$ Используя формулу для предельной скорости $${\ displaystyle V_ {t} = {\ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho AC_ {d}}}}}$$ уравнение можно переписать как $${\ displaystyle v = V_ {t} \ tanh \ left (t {\ frac {g} {V_ {t}}} \ right).}$$ Когда время стремится к бесконечности ( t → ∞), гиперболический тангенс стремится к 1, в результате чего конечная скорость $${\ displaystyle V_ {t} = \ lim _ {t \ to \ infty} v (t) = {\ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho AC_ {d}}}}.}$$

Конечная скорость в ползучем потоке

Ползущее обтекание сферы: линии тока , сила сопротивления F _d и сила тяжести F _g

Для очень медленного движения жидкости силами инерции жидкости можно пренебречь (предположение о безмассовой жидкости) по сравнению с другими силами. Такие потоки называются ползучими или Стокс течет и условие , которое должно удовлетворяться для потоков , которые будут ползучими потоками одно и то число Рейнольдса , . Уравнение движения для ползучего потока (упрощенное уравнение Навье – Стокса ) имеет вид ${\ displaystyle Re \ ll 1}$

$${\ Displaystyle {\ mathbf {\ набла}} п = \ му \ набла ^ {2} {\ mathbf {v}}}$$

• ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ - векторное поле скорости жидкости,
• ${\ displaystyle p}$ - поле давления жидкости,
• ${\ displaystyle \ mu}$представляет собой вязкость жидкость / жидкость .

Аналитическое решение для ползучего обтекания сферы было впервые дано Стоксом в 1851 году. Из решения Стокса сила сопротивления, действующая на сферу диаметра, может быть получена как ${\ displaystyle d}$

${\ Displaystyle D = 3 \ pi \ mu dV \ qquad {\ text {или}} \ qquad C_ {d} = {\ frac {24} {Re}}}$

( 6 )

где число Рейнольдса, . Выражение для силы сопротивления, задаваемое уравнением ( 6 ), называется законом Стокса . ${\ Displaystyle Re = {\ гидроразрыва {\ rho d} {\ mu}} V}$

Когда значение подставляется в уравнение ( 5 ), мы получаем выражение для предельной скорости сферического объекта, движущегося в условиях ползучего потока: ${\ displaystyle C_ {d}}$

$${\ displaystyle V_ {t} = {\ frac {gd ^ {2}} {18 \ mu}} \ left (\ rho _ {s} - \ rho \ right),}$$

${\ displaystyle \ rho _ {s}}$

Приложения

Результаты ползучего потока могут быть применены для изучения осаждения отложений у дна океана и падения капель влаги в атмосферу. Этот принцип также применяется в вискозиметре с падающей сферой , экспериментальном устройстве, используемом для измерения вязкости высоковязких жидкостей, например нефти, парафина, гудрона и т. Д.

Конечная скорость при наличии силы плавучести

Скорость осаждения W _s песчинки (диаметр d, плотность 2650 кг / м ³ ) в воде при 20 ° C, вычисленная по формуле Soulsby (1997).

Когда учитываются эффекты плавучести, объект, падающий через жидкость под собственным весом, может достичь предельной скорости (скорости оседания), если результирующая сила, действующая на объект, становится равной нулю. Когда достигается предельная скорость, вес объекта точно уравновешивается восходящей силой плавучести и силой сопротивления. То есть

${\ Displaystyle W = F_ {b} + D}$

( 1 )

куда

• ${\ displaystyle W}$ - вес объекта,
• ${\ displaystyle F_ {b}}$ - сила плавучести, действующая на объект, и
• ${\ displaystyle D}$ - сила сопротивления, действующая на объект.

Если падающий объект имеет сферическую форму, выражения для трех сил приведены ниже:

${\ displaystyle W = {\ frac {\ pi} {6}} d ^ {3} \ rho _ {s} g,}$

( 2 )

${\ displaystyle F_ {b} = {\ frac {\ pi} {6}} d ^ {3} \ rho g,}$

( 3 )

${\ displaystyle D = C_ {d} {\ frac {1} {2}} \ rho V ^ {2} A,}$

( 4 )

куда

• ${\ displaystyle d}$ диаметр сферического объекта,
• ${\ displaystyle g}$ - ускорение свободного падения,
• ${\ displaystyle \ rho}$ плотность жидкости,
• ${\ displaystyle \ rho _ {s}}$ плотность объекта,
• ${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} \ pi d ^ {2}}$ площадь проекции сферы,
• ${\ displaystyle C_ {d}}$ - коэффициент лобового сопротивления, а
• ${\ displaystyle V}$- характеристическая скорость (принимаемая как конечная скорость, ).${\ displaystyle V_ {t}}$

Подстановка уравнений ( 2 - 4 ) в уравнении ( 1 ) и решения для конечной скорости, с получением указанного в следующее выражение ${\ displaystyle V_ {t}}$

${\ displaystyle V_ {t} = {\ sqrt {{\ frac {4gd} {3C_ {d}}} \ left ({\ frac {\ rho _ {s} - \ rho} {\ rho}} \ right) }}.}$

( 5 )

В уравнении ( 1 ) предполагается, что объект плотнее жидкости. В противном случае знак силы сопротивления следует сделать отрицательным, поскольку объект будет двигаться вверх против силы тяжести. Примерами являются пузырьки, образующиеся на дне бокала с шампанским, и воздушные шары с гелием. Конечная скорость в таких случаях будет иметь отрицательное значение, соответствующее скорости подъема.

Смотрите также

• Закон Стокса
• Терминальная баллистика

использованная литература

внешние ссылки

• Конечная скорость - сайт НАСА
• Бортовое видео о том, как твердотопливные ракетные ускорители космического шаттла быстро замедляются до предельной скорости при входе в более плотную атмосферу , с 2900 миль в час (3,8 Маха) в 5:15 на видео до 220 миль в час в 6:45 при раскрытии парашютов 90 секунды спустя - видео и звук НАСА, @ io9.com.
• Конечная скорость оседания шара при всех реалистичных числах Рейнольдса по методу Heywood Tables.