Карта палатки - Tent map

График функции карты палатки
Пример повторения начального условия x 0  = 0,4 по карте палатки с μ = 1,9.

В математике , то палатка карта с параметром ц является реальным значной функцией е ц определяется

имя быть из - за палатки -подобных формы графа из ф ц . Для значений параметра ц в пределах 0 и 2, F μ отображает на единичный интервал [0, 1] в себя, определяя тем самым дискретное время системы динамической на нем ( что эквивалентно, рекуррентное соотношение ). В частности, повторение точки x 0 в [0, 1] приводит к последовательности :

где μ - положительная вещественная постоянная. Выбирая, например, параметр μ = 2, эффект функции f μ можно рассматривать как результат операции складывания единичного интервала пополам с последующим растяжением результирующего интервала [0, 1/2], чтобы снова получить интервал [0, 1]. Повторяя процедуру, любая точка x 0 интервала принимает новые последующие позиции, как описано выше, генерируя последовательность x n в [0, 1].

Случай карты палаточной является нелинейным преобразованием как в битовой карте сдвига и г = 4 случае логистического отображения .

Поведение

Орбиты карты палатки единичной высоты
Бифуркационная диаграмма для карты палатки. Более высокая плотность указывает на повышенную вероятность того, что переменная x получит это значение для данного значения параметра μ.

Карта палатки с параметром μ = 2 и логистическая карта с параметром r = 4 топологически сопряжены , и, таким образом, поведение двух карт в этом смысле идентично при итерации.

В зависимости от значения μ карта палатки демонстрирует диапазон динамического поведения от предсказуемого до хаотического.

  • Если μ меньше 1, точка x = 0 является привлекательной фиксированной точкой системы для всех начальных значений x, т.е. система будет сходиться к x = 0 от любого начального значения x .
  • Если μ равно 1, все значения x, меньшие или равные 1/2, являются фиксированными точками системы.
  • Если μ больше 1, система имеет две неподвижные точки: одна в 0, а другая в μ / (μ + 1). Обе фиксированные точки нестабильны, т.е. значение x, близкое к любой фиксированной точке, будет двигаться от нее, а не по направлению к ней. Например, когда μ равно 1,5, фиксированная точка находится при x = 0,6 (поскольку 1,5 (1 - 0,6) = 0,6), но, начиная с x = 0,61, мы получаем
  • Если μ находится между 1 и квадратным корнем из 2 системы отображает множество интервалов между ц - М 2 /2 и μ / 2 для себя. Этот набор интервалов является набором Жюлиа карты, то есть это наименьшее инвариантное подмножество вещественной прямой под этой картой. Если μ больше , чем квадратный корень из 2, эти интервалы сливаются, и множество Жюлиа является весь интервал от ц - μ 2 /2 μ / 2 (см бифуркации диаграмма).
  • Если μ находится между 1 и 2 интервала [μ - μ 2 /2, μ / 2] содержит как периодические и непериодические точки, хотя все орбиты неустойчивы (т.е. около точки движутся от орбит , а не по отношению к ним ). Орбиты большей длины появляются с увеличением μ. Например:
  • Если μ равно 2, система отображает интервал [0, 1] на себя. Теперь есть периодические точки с любой длиной орбиты в пределах этого интервала, а также непериодические точки. Периодические точки плотны в [0, 1], поэтому отображение стало хаотическим . Фактически, динамика будет непериодической тогда и только тогда, когда она иррациональна . Это можно увидеть, заметив, что делает карта, когда она выражена в двоичной системе счисления: она сдвигает двоичную точку на одну позицию вправо; затем, если то, что появляется слева от двоичной точки, является «единицей», она заменяет все единицы на нули и наоборот (за исключением последнего бита «единицы» в случае конечного двоичного расширения); начиная с иррационального числа, этот процесс продолжается бесконечно, не повторяясь. Инвариантной мерой для x является равномерная плотность на единичном интервале. Функция автокорреляции для достаточно длинной последовательности { } покажет нулевую автокорреляцию при всех ненулевых задержках. Таким образом, невозможно отличить белый шум от белого шума с помощью функции автокорреляции. Обратите внимание, что случай r = 4 логистической карты и случай карты палатки гомеоморфны друг другу: обозначая логистически развивающуюся переменную как , гомеоморфизм
  • Если μ больше 2, набор Жюлиа карты отключается и разбивается на набор Кантора в интервале [0, 1]. Множество Джулиа по-прежнему содержит бесконечное количество как непериодических, так и периодических точек (включая орбиты для любой длины орбиты), но почти каждая точка в пределах [0, 1] теперь в конечном итоге будет расходиться к бесконечности. Каноническое множество Кантора (полученное путем последовательного удаления средних третей из подмножеств единичной линии) - это множество Жюлиа карты палатки для μ = 3.


Числовые ошибки

Временной ряд карты Tent для параметра m = 2.0, который показывает числовую ошибку: «график временного ряда (график переменной x относительно количества итераций) перестает колебаться, и никаких значений не наблюдается после n = 50». Параметр m = 2,0, начальная точка случайна.

Увеличение диаграммы орбиты

Увеличение возле наконечника показывает больше деталей.
  • Более пристальный взгляд на диаграмму орбиты показывает, что есть 4 разделенных области при μ ≈ 1. Для дальнейшего увеличения 2 контрольные линии (красные) нарисованы от наконечника до подходящего x при определенном μ (например, 1,10), как показано.
Дальнейшее увеличение показывает 8 отдельных областей.
  • При измерении расстояния от соответствующих опорных линий в верхней и нижней части карты отображаются дополнительные детали. (всего 8 разделенных областей при некотором μ)

Карта асимметричной палатки

Асимметричная карта палатки - это, по сути, искаженная, но все же кусочно-линейная версия случая карты палатки. Это определяется

для параметра . Случай карты палатки является настоящим случаем . Последовательность { } будет иметь ту же функцию автокорреляции, что и данные из процесса авторегрессии первого порядка с независимым и одинаковым распределением { } . Таким образом, данные с карты асимметричной палатки нельзя отличить, используя функцию автокорреляции, от данных, сгенерированных процессом авторегрессии первого порядка.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки