Тензорное произведение модулей - Tensor product of modules

В математике , то тензорное произведение модулей представляет собой конструкцию , которая позволяет рассуждения о билинейных картах (например , умножение) будет осуществляться в терминах линейных отображений . Модульная конструкция аналогична конструкции тензорного произведения из векторных пространств , но может быть выполнена для пары модулей над коммутативным кольцом , в результате третьего модуля, а также для пары с правым модулем и лево- модуль над любым кольцом , в результате чего получается абелева группа . Тензорные произведения важны в областях абстрактной алгебры , гомологической алгебры , алгебраической топологии , алгебраической геометрии , операторных алгебр и некоммутативной геометрии . Универсальное свойство тензорного произведения векторных пространств распространяется и на более общие ситуации , в абстрактной алгебре. Это позволяет изучать билинейные или полилинейные операции с помощью линейных операций . Тензорное произведение алгебры и модуля может использоваться для расширения скаляров . Для коммутативного кольца тензорное произведение модулей может быть повторено, чтобы сформировать тензорную алгебру модуля, что позволяет определить умножение в модуле универсальным способом.

Сбалансированный продукт

Для кольца R , правый R - модуль M , левый R - модуль N , и абелевой группы G , отображение ф : М × N → G называется R -уравновешенных , R -middle-линейный или R -сбалансированное произведение, если для всех m , m ′ в M , n , n ′ в N и r в R выполняется следующее:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi (m, n + n ') & = \ varphi (m, n) + \ varphi (m, n') && {\ text {Dl}} _ {\ varphi} \\\ varphi (m + m ', n) & = \ varphi (m, n) + \ varphi (m', n) && {\ text {Dr}} _ {\ varphi} \\\ varphi (m \ cdot r, n) & = \ varphi (m, r \ cdot n) && {\ text {A}} _ {\ varphi} \\\ конец {выровнено}}}$

Множество всех таких сбалансированных произведений над R от M × N до G обозначается L _R ( M , N ; G ) .

Если φ , ψ - сбалансированные произведения, то каждая из поточечно определенных операций φ + ψ и - φ является сбалансированным продуктом. Это превращает множество L _R ( M , N ; G ) в абелеву группу.

При фиксированных M и N отображение G ↦ L _R ( M , N ; G ) является функтором из категории абелевых групп в себя. Часть морфизма задается отображением гомоморфизма группы g  : G → G ′ на функцию φ ↦ g ∘ φ , которая идет из L _R ( M , N ; G ) в L _R ( M , N ; G ′) .

Замечания

1. Свойства (DL) и (Д) выражают biadditivity из ф , который можно рассматривать как дистрибутивности из ф над добавлением.
2. Свойство (А) напоминает некоторые ассоциативные свойства в ф .
3. Каждое кольцо R является R - бимодуль . Таким образом , кольца умножения ( г , г ') ↦ г ⋅ г ' в R представляет собой R - уравновешена продукт R × R → R .

Определение

Для кольца R , правый R - модуля M , левый R - модуля N , тем тензорное произведение над R

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

является абелевой группой вместе со сбалансированным произведением (как определено выше)

${\ displaystyle \ otimes: M \ times N \ to M \ otimes _ {R} N}$

который универсален в следующем смысле:

Для любой абелевой группы G и любого сбалансированного произведения

${\ displaystyle f: M \ times N \ to G}$

существует единственный гомоморфизм групп

${\ displaystyle {\ tilde {f}}: M \ otimes _ {R} N \ to G}$

такой, что

${\ displaystyle {\ tilde {f}} \ circ \ otimes = f.}$

Как и все универсальные свойства , указанное выше свойство определяет тензорное произведение однозначно с точностью до единственного изоморфизма: любая другая абелева группа и сбалансированное произведение с такими же свойствами будут изоморфны M ⊗ _R N и ⊗. Действительно, отображение ⊗ называется каноническим , или более явно: каноническим отображением (или сбалансированным произведением) тензорного произведения.

Определение не доказывает существования M ⊗ _R N ; см. конструкцию ниже.

Тензорное произведение также можно определить как представляющий объект для функтора G → L _R ( M , N ; G ) ; явно это означает, что существует естественный изоморфизм :

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ operatorname {L} _ {R} (M, N; G) \\ g \ mapsto g \ circ \ otimes \ end {cases}}}$

Это сжатый способ сформулировать приведенное выше свойство универсального отображения. (если задан априорный изоморфизм, это естественный изоморфизм, его можно восстановить, взяв и затем сопоставив тождественное отображение.) ${\ displaystyle \ otimes}$${\ displaystyle G = M \ otimes _ {R} N}$

Аналогично, учитывая естественную идентификацию , можно также определить M ⊗ _R N по формуле ${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {R} (M, N; G) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (N, G) )}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (N, G)).}$

Это известно как присоединение тензор-гом ; см. также § Свойства .

Для каждого x в M , y в N записывается

х ⊗ у

для образа ( x , y ) при каноническом отображении . Его часто называют чистым тензором . Строго говоря, правильными обозначениями были бы x ⊗ _R y, но R здесь принято опускать . Тогда, непосредственно из определения, есть отношения: ${\ displaystyle \ otimes: M \ times N \ to M \ otimes _ {R} N}$

х ⊗ ( y + y ′) = x ⊗ y + x ⊗ y ′	(Dl ⊗ )
( x + x ′) ⊗ y = x ⊗ y + x ′ ⊗ y	(Д - р ⊗ )
( Х ⋅ г ) ⊗ у = х ⊗ ( г ⋅ у )	(A ⊗ )

Универсальность тензорного произведения приводит к следующему важному следствию:

Доказательство: Для первого утверждения, пусть L подгруппа , порожденная элементами вида в вопросе, и д факторотображение к Q . У нас есть: а также . Следовательно, в силу части единственности универсального свойства q = 0. Второе утверждение состоит в том, что для определения гомоморфизма модуля достаточно определить его на порождающем множестве модуля.${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ Displaystyle Q = (M \ otimes _ {R} N) / L}$${\ displaystyle 0 = q \ circ \ otimes}$${\ displaystyle 0 = 0 \ circ \ otimes}$${\ Displaystyle \ квадрат}$

Применение универсального свойства тензорных произведений

Определение того, равно ли нулю тензорное произведение модулей

На практике иногда сложнее показать, что тензорное произведение R -модулей ненулевое, чем показать, что оно равно 0. Универсальное свойство дает удобный способ проверить это. ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

Чтобы проверить, что тензорное произведение не равно нулю, можно построить R -билинейное отображение в абелеву группу такое, что . Это работает, потому что если , то . ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle f: M \ times N \ rightarrow G}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle е (м, п) \ neq 0}$${\ displaystyle m \ otimes n = 0}$${\ displaystyle f (m, n) = {\ bar {f}} (m \ otimes n) = {\ bar {(f)}} (0) = 0}$

Например, чтобы увидеть, что , не равно нулю, примем за и . Это говорит о том, что чистые тензоры, пока не равны нулю в . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ otimes _ {Z} \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle (м, п) \ mapsto mn}$${\ displaystyle m \ otimes n \ neq 0}$${\ displaystyle mn}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$

Для эквивалентных модулей

Предложение гласит, что можно работать с явными элементами тензорных произведений вместо того, чтобы каждый раз напрямую ссылаться на универсальное свойство. На практике это очень удобно. Например, если R коммутативно и левое и правое действия R на модулях считаются эквивалентными, то, естественно, можно снабдить R -скалярным умножением, расширив ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

${\ displaystyle r \ cdot (x \ otimes y): = (r \ cdot x) \ otimes y = x \ otimes (r \ cdot y)}$

к целому в соответствии с предыдущим предложением (строго говоря, нужна бимодульная структура, а не коммутативность; см. абзац ниже). Обладая этой структурой R -модуля, он удовлетворяет универсальному свойству, аналогичному описанному выше: для любого R -модуля G существует естественный изоморфизм: ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ operatorname {Hom} _ {R} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ {R {\ text {-bilinear maps}} M \ times N \ to G \}, \\ g \ mapsto g \ circ \ otimes \ end {cases}}}$

Если R не обязательно коммутативен, но если M имеет левое действие посредством кольца S (например, R ), то может быть задана структура левого S -модуля, как и выше, по формуле ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

${\ displaystyle s \ cdot (x \ otimes y): = (s \ cdot x) \ otimes y.}$

Аналогично, если N действует правым кольцом S , то становится правым S -модулем. ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

Тензорное произведение линейных отображений и замена базового кольца

Для линейных отображений правых модулей над кольцом R и левых модулей существует единственный гомоморфизм групп ${\ displaystyle f: M \ to M '}$${\ displaystyle g: N \ to N '}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} f \ otimes g: M \ otimes _ {R} N \ to M '\ otimes _ {R} N' \\ x \ otimes y \ mapsto f (x) \ otimes g ( y) \ end {case}}}$

Из конструкции следует, что тензорность является функтором: каждый правый R -модуль M определяет функтор

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} -: R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow {\ text {Ab}}}$

из категории левых модулей в категорию абелевых групп, переводящую N в M ⊗ N, а гомоморфизм модулей f в гомоморфизм групп 1 ⊗ f .

Если - гомоморфизм колец, и если M - правый S -модуль, а N - левый S -модуль, то существует канонический сюръективный гомоморфизм: ${\ displaystyle f: R \ to S}$

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N \ to M \ otimes _ {S} N}$

индуцированный

${\ displaystyle M \ times N {\ overset {\ otimes _ {S}} {\ longrightarrow}} M \ otimes _ {S} N.}$

Полученное отображение сюръективно, поскольку чистые тензоры x ⊗ y порождают весь модуль. В частности, принимая R быть это показывает каждый тензорное произведение модулей является фактор тензорного произведения абелевых групп. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

См. Также: Тензорное произведение § Тензорное произведение линейных отображений .

Несколько модулей

(Этот раздел необходимо обновить. На данный момент см. § Свойства для более общего обсуждения.)

Можно распространить определение на тензорное произведение любого числа модулей над одним и тем же коммутативным кольцом. Например, универсальное свойство

М ₁ ⊗ М ₂ ⊗ М ₃

в том, что каждая трилинейная карта на

М ₁ × М ₂ × М ₃ → Z

соответствует единственной линейной карте

М ₁ ⊗ М ₂ ⊗ М ₃ → Z .

Бинарное тензорное произведение ассоциативно: ( M ₁ ⊗ M ₂ ) ⊗ M ₃ естественно изоморфно M ₁ ⊗ ( M ₂ ⊗ M ₃ ). Тензорное произведение трех модулей, определяемое универсальным свойством трилинейных отображений, изоморфно обоим этим повторным тензорным произведениям.

Характеристики

Модули над общими кольцами

Пусть R ₁ , R ₂ , R ₃ , R - кольца, не обязательно коммутативные.

• Для R ₁ - R ₂ - бимодуль М ₁₂ и левого R ₂ - модуль M ₂₀ , является левым R ₁ модуль.${\ displaystyle M_ {12} \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20}}$

• Для правого R ₂ - модуль M ₀₂ и R ₂ - R ₃ - бимодулем М ₂₃ , является правым R ₃ - модуль.${\ displaystyle M_ {02} \ otimes _ {R_ {2}} M_ {23}}$

• (ассоциативность) Для правого R ₁ -модуля M ₀₁ , R ₁ - R ₂ -бимодуля M ₁₂ и левого R ₂ -модуля M ₂₀ имеем:

${\ displaystyle \ left (M_ {01} \ otimes _ {R_ {1}} M_ {12} \ right) \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20} = M_ {01} \ otimes _ {R_ { 1}} \ left (M_ {12} \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20} \ right).}$

• Поскольку R является R - R -бимодулем, мы имеем кольцевое умножение как его каноническое сбалансированное произведение.${\ Displaystyle R \ otimes _ {R} R = R}$${\ displaystyle mn =: m \ otimes _ {R} n}$

Модули над коммутативными кольцами

Пусть R - коммутативное кольцо, а M , N и P - R -модули. потом

• (личность) ${\ Displaystyle R \ otimes _ {R} M = M.}$

• (ассоциативность) Таким образом, определено правильно.${\ displaystyle (M \ otimes _ {R} N) \ otimes _ {R} P = M \ otimes _ {R} (N \ otimes _ {R} P).}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N \ otimes _ {R} P}$

• (симметрия) Фактически, для любой перестановки σ множества {1, ..., n } существует единственный изоморфизм:${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N = N \ otimes _ {R} M.}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} M_ {1} \ otimes _ {R} \ cdots \ otimes _ {R} M_ {n} \ longrightarrow M _ {\ sigma (1)} \ otimes _ {R} \ cdots \ otimes _ {R} M _ {\ sigma (n)} \\ x_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n} \ longmapsto x _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes x _ {\ sigma ( n)} \ end {case}}}$

• (распределительная собственность) Фактически,${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} (N \ oplus P) = (M \ otimes _ {R} N) \ oplus (M \ otimes _ {R} P).}$

${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} \ left (\ bigoplus \ nolimits _ {i \ in I} N_ {i} \ right) = \ bigoplus \ nolimits _ {i \ in I} \ left (M \ otimes _ {R} N_ {i} \ right),}$

для индексного множества I произвольной мощности .

• (коммутирует с конечным произведением) для любого конечного числа ,${\ displaystyle N_ {i}}$

${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} \ prod _ {i = 1} ^ {n} N_ {i} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} M \ otimes _ {R} N_ {i} .}$

• (коммутирует с локализацией ) для любого мультипликативно замкнутого подмножества S в R ,

${\ displaystyle S ^ {- 1} (M \ otimes _ {R} N) = S ^ {- 1} M \ otimes _ {S ^ {- 1} R} S ^ {- 1} N}$

как -модуль. Поскольку это R -алгебра и , это частный случай:${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} - = S ^ {- 1} R \ otimes _ {R} -}$

• (коммутирует с расширением базового) Если S является R - алгеброй, пишущим ,${\ displaystyle -_ {S} = S \ otimes _ {R} -}$

${\ displaystyle (M \ otimes _ {R} N) _ {S} = M_ {S} \ otimes _ {S} N_ {S};}$

ср. § Расширение скаляров .

• (коммутирует с прямым пределом) для любой прямой системы R -модулей M _i ,

${\ displaystyle (\ varinjlim M_ {i}) \ otimes _ {R} N = \ varinjlim (M_ {i} \ otimes _ {R} N).}$

• (тензор точен справа), если

${\ displaystyle 0 \ to N '{\ overset {f} {\ to}} N {\ overset {g} {\ to}} N' '\ to 0}$

- точная последовательность R -модулей, то

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N '{\ overset {1 \ otimes f} {\ to}} M \ otimes _ {R} N {\ overset {1 \ otimes g} {\ to}} M \ время от времени _ {R} N '' \ to 0}$

является точной последовательностью R -модулей, где Это следствие:${\ Displaystyle (1 \ otimes f) (x \ otimes y) = x \ otimes f (y).}$

• ( сопряженное отношение ) .${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M \ otimes _ {R} N, P) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {R} (N, P ))}$

• (отношение тензор-гом) существует каноническое R -линейное отображение:

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N) \ otimes P \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N \ otimes P),}$

который является изоморфизмом, если либо M, либо P - конечно порожденный проективный модуль (см. § Как сохраняющие линейность отображения для некоммутативного случая); в более общем случае существует каноническая R -линейная карта:

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N) \ otimes \ operatorname {Hom} _ {R} (M ', N') \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (M \ otimes M ', N \ otimes N')}$

который является изоморфизмом, если любой из или является парой конечно порожденных проективных модулей.${\ Displaystyle (М, Н)}$${\ Displaystyle (М, М ')}$

В качестве практического примера предположим, что M , N - свободные модули с базами и . Тогда М является прямой суммой и то же самое для N . По распределительному свойству: ${\ displaystyle e_ {i}, я \ in I}$${\ displaystyle f_ {j}, j \ in J}$ ${\ Displaystyle M = \ bigoplus _ {я \ in I} Re_ {я}}$

${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N = \ bigoplus _ {i, j} R (e_ {i} \ otimes f_ {j})}$;

т. е. являются R -основой . Даже если M не является свободным, свободным представление о М может быть использовано для вычисления тензорных произведений. ${\ displaystyle e_ {i} \ otimes f_ {j}, \, i \ in I, j \ in J}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

Тензорное произведение, вообще говоря, не коммутирует с обратным пределом : с одной стороны,

${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / p ^ {n} = 0}$

(ср. «примеры»). С другой стороны,

${\ displaystyle \ left (\ varprojlim \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ right) \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Z} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Z} _ {p} \ left [p ^ {- 1} \ right] = \ mathbb {Q} _ {p}}$

где - кольцо целых p-адических чисел и поле p-адических чисел . См. Также « бесконечное целое число » для примера в подобном духе. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}, \ mathbb {Q} _ {p}}$

Если R не коммутативен, порядок тензорных произведений может иметь значение следующим образом: мы «расходуем» правое действие M и левое действие N, чтобы сформировать тензорное произведение ; в частности, даже не будет определяться. Если M , N - бимодули, то левое действие происходит от левого действия M, а правое действие - от правого действия N ; эти действия не обязательно должны совпадать с левым и правым действиями . ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle N \ otimes _ {R} M}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle N \ otimes _ {R} M}$

В более общем случае ассоциативность имеет место для некоммутативных колец: если M - правый R -модуль, N - ( R , S ) -модуль и P - левый S -модуль, то

${\ displaystyle (M \ otimes _ {R} N) \ otimes _ {S} P = M \ otimes _ {R} (N \ otimes _ {S} P)}$

как абелева группа.

Общий вид сопряженного отношения тензорных произведений гласит: если R не обязательно коммутативно, M - правый R -модуль, N - ( R , S ) -модуль, P - правый S -модуль, то как абелева группа

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {S} (M \ otimes _ {R} N, P) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {S} (N, P )), \, f \ mapsto f '}$

где дается См. также: тензор-гомоприсоединение . ${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle f '(x) (y) = f (x \ otimes y).}$

Тензорное произведение R -модуля с полем дробей

Пусть R область целостности с Фракцию полем K .

• Для любого R - модуля М , а R -модулей, где это кручение подмодуль М .${\ displaystyle K \ otimes _ {R} M \ cong K \ otimes _ {R} (M / M _ {\ operatorname {tor}})}$${\ displaystyle M _ {\ operatorname {tor}}}$

• Если M - торсионный R -модуль, то и если M не является торсионным модулем, то .${\ displaystyle K \ otimes _ {R} M = 0}$${\ displaystyle K \ otimes _ {R} M \ neq 0}$

• Если N - подмодуль в M такой, что является торсионным модулем, то, как и R -модули по .${\ Displaystyle M / N}$${\ displaystyle K \ otimes _ {R} N \ cong K \ otimes _ {R} M}$${\ displaystyle x \ otimes n \ mapsto x \ otimes n}$

• В , если и только если или . В частности, где .${\ displaystyle K \ otimes _ {R} M}$${\ displaystyle x \ otimes m = 0}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle m \ in M ​​_ {\ operatorname {tor}}}$${\ displaystyle M _ {\ operatorname {tor}} = \ operatorname {ker} (M \ to K \ otimes _ {R} M)}$${\ displaystyle m \ mapsto 1 \ otimes m}$

• ${\ displaystyle K \ otimes _ {R} M \ cong M _ {(0)}}$где - локализация модуля на первичном идеале (т. е. локализация относительно ненулевых элементов).${\ displaystyle M _ {(0)}}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (0)}$

Расширение скаляров

Сопряженное отношение в общем виде имеет важный частный случай: для любой R -алгебры S , M - правого R -модуля, P - правого S -модуля, используя , мы имеем естественный изоморфизм: ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {S} (S, -) = -}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {S} (M \ otimes _ {R} S, P) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Res} _ {R} (P)) .}$

Это говорит о том, что функтор является левым сопряженным с забывчивым функтором , который ограничивает S -действие до R -действия. Из - за этого, часто называют расширением скаляров из R в S . В теории представлений , когда R , S - групповые алгебры, указанное выше соотношение становится взаимностью Фробениуса . ${\ displaystyle - \ otimes _ {R} S}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {R}}$${\ displaystyle - \ otimes _ {R} S}$

Примеры

• ${\ Displaystyle R ^ {n} \ otimes _ {R} S = S ^ {n},}$для любой R -алгебры S (т. е. свободный модуль остается свободным после расширения скаляров.)

• Для коммутативного кольца и коммутативной R -алгебры S имеем:${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle S \ otimes _ {R} R [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] = S [x_ {1}, \ dots, x_ {n}];}$

на самом деле, в более общем смысле,

${\ displaystyle S \ otimes _ {R} (R [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] / I) = S [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] / IS [x_ { 1}, \ точки, x_ {n}],}$

где идеал.${\ displaystyle I}$

• Используя предыдущий пример и китайскую теорему об остатках , в качестве колец${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1),}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} = \ mathbb {C} [x] / (x ^ {2} +1) = \ mathbb {C} [x ] / (x + i) \ times \ mathbb {C} [x] / (xi) = \ mathbb {C} ^ {2}.}.}$

Это дает пример, когда тензорное произведение является прямым произведением .

• ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} [i] = \ mathbb {R} [i] = \ mathbb {C}.}$

Примеры

Структура тензорного произведения вполне обычных модулей может быть непредсказуемой.

Пусть G - абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок (то есть G - периодическая абелева группа ; например, G может быть конечной абелевой группой или ). Потом: ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} G = 0.}$

В самом деле, любое имеет вид ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} G}$

${\ displaystyle x = \ sum _ {i} r_ {i} \ otimes g_ {i}, \ qquad r_ {i} \ in \ mathbb {Q}, g_ {i} \ in G.}$

Если это порядок , то мы вычисляем: ${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle g_ {i}}$

${\ displaystyle x = \ sum (r_ {i} / n_ {i}) n_ {i} \ otimes g_ {i} = \ sum r_ {i} / n_ {i} \ otimes n_ {i} g_ {i} = 0.}$

Точно так же можно увидеть

${\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} = 0.}$

Вот несколько полезных для вычислений тождеств: Пусть R - коммутативное кольцо, I , J идеалы, M , N R -модули. потом

1. ${\ displaystyle R / I \ otimes _ {R} M = M / IM}$. Если М является плоским , .${\ displaystyle IM = I \ otimes _ {R} M}$
2. ${\ displaystyle M / IM \ otimes _ {R / I} N / IN = M \ otimes _ {R} N \ otimes _ {R} R / I}$ (потому что тензор коммутирует с расширениями базы)
3. ${\ Displaystyle R / I \ otimes _ {R} R / J = R / (I + J)}$.

Пример: если G является абелевой группой, ; это следует из 1. ${\ Displaystyle G \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / n = G / nG}$

Пример :; это следует из 3. В частности, для различных простых чисел р , д , ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / m = \ mathbb {Z} / {\ gcd (n, m)}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ otimes \ mathbb {Z} / q \ mathbb {Z} = 0.}$

Для управления порядком элементов групп можно применять тензорные произведения. Пусть G - абелева группа. Тогда кратные 2 в

${\ Displaystyle G \ otimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$

равны нулю.

Пример: Позвольте быть группой корней n -й степени из единицы. Это циклическая группа, и циклические группы классифицируются по порядку. Таким образом, неканонически, и, таким образом, когда g является НОД n и m , ${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ Displaystyle \ му _ {п} \ приблизительно \ mathbb {Z} / п}$

${\ displaystyle \ mu _ {n} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mu _ {m} \ приблизительно \ mu _ {g}.}$

Пример: рассмотрим Поскольку получается из наложения -линейности на середину, мы имеем сюръекцию ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}.}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {Q}}$

ядро которого порождается элементами вида где r , s , x , u - целые числа, а s - ненулевое значение. С ${\ displaystyle {r \ over s} x \ otimes yx \ otimes {r \ over s} y}$

${\ displaystyle {r \ over s} x \ otimes y = {r \ over s} x \ otimes {s \ over s} y = x \ otimes {r \ over s} y,}$

ядро фактически исчезает; следовательно,${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} .}$

Однако учтите и . Как -векторное пространство имеет размерность 4, но имеет размерность 2. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {C}} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {C}} \ mathbb {C}}$

Таким образом, и не изоморфны. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {C}} \ mathbb {C}}$

Пример: Предлагаем сравнить и . Как и в предыдущем примере, у нас есть: как абелева группа и, следовательно, как -векторное пространство (любое -линейное отображение между -векторными пространствами является -линейным). Как -векторное пространство, имеет размерность (мощность базиса) континуума . Следовательно, имеет -базис, индексированный произведением континуумов; таким образом, его -мерность является континуумом. Следовательно, по причине размерности существует неканонический изоморфизм -векторных пространств: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} = \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} \ приблизительно \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {R}}$.

Рассмотрим модули для неприводимых многочленов такие, что Тогда ${\ Displaystyle M = \ mathbb {C} [x, y, z] / (f), N = \ mathbb {C} [x, y, z] / (g)}$${\ displaystyle f, g \ in \ mathbb {C} [x, y, z]}$${\ Displaystyle \ НОД (е, г) = 1.}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(f)}} \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y, z]} {\ frac {\ mathbb { C} [x, y, z]} {(g)}} \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(f, g)}}}$

Еще одно полезное семейство примеров связано с изменением скаляров. Заметь

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {Z} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, \ ldots, f_ {k})}} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} R \ cong {\ frac {R [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, \ ldots, f_ {k})}}}$

Хорошие примеры этого явления, на которые стоит обратить внимание: ${\ Displaystyle R = \ mathbb {Q}, \ mathbb {C}, \ mathbb {Z} / (p ^ {k}), \ mathbb {Z} _ {p}, \ mathbb {Q} _ {p} .}$

Строительство

Конструкция M ⊗ N берет фактор свободной абелевой группы с базисом символы m ∗ n , используемые здесь для обозначения упорядоченной пары ( m , n ) для m в M и n в N подгруппой, порожденной всеми элементами формы

1. - m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′
2. - ( m + m ′) ∗ n + m ∗ n + m ′ ∗ n.
3. ( m · r ) ∗ n - m ∗ ( r · n )

где м , м 'в М , п , п ' в N , и г в R . Фактор-отображение, переводящее m ∗ n = ( m , n ) в смежный класс, содержащий m ∗ n ; это,

${\ Displaystyle \ otimes: M \ times N \ to M \ otimes _ {R} N, \, (m, n) \ mapsto [m * n]}$

сбалансировано, и подгруппа выбрана минимально, так что это отображение сбалансировано. Универсальность группы следует из универсальных свойств свободной абелевой группы и фактора.

С точки зрения теории категорий, пусть σ - заданное правое действие R на M ; т.е. σ ( т , г ) = м · г и т левого действия R из N . Тогда тензорное произведение M и N над R можно определить как коуравнитель :

${\ displaystyle M \ times R \ times N {{{} \ на вершине {\ overset {\ sigma \ times 1} {\ to}}} \ на вершине {{\ underset {1 \ times \ tau} {\ to}} \ atop {}}} M \ times N {\ overset {\ otimes} {\ to}} M \ otimes _ {R} N,}$

вместе с требованиями

${\ Displaystyle m \ otimes (n + n ') = m \ otimes n + m \ otimes n',}$

${\ displaystyle (m + m ') \ otimes n = m \ otimes n + m' \ otimes n.}$

Если S - подкольцо кольца R , то является фактор-группой по подгруппе, порожденной , где - образ под. В частности, любое тензорное произведение R -модулей может быть построено, если желательно, как частное от тензорное произведение абелевых групп путем наложения свойства R- сбалансированного произведения. ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle M \ otimes _ {S} N}$${\ displaystyle xr \ otimes _ {S} yx \ otimes _ {S} ry, \, r \ in R, x \ in M, y \ in N}$${\ displaystyle x \ otimes _ {S} y}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle \ otimes: M \ times N \ to M \ otimes _ {S} N.}$

При построении тензорного произведения над коммутативным кольцом R структура R -модуля может быть построена с самого начала путем формирования фактора свободного R -модуля по подмодулю, порожденному элементами, приведенными выше для общей конструкции, дополненной элементами r ⋅ ( m ∗ n ) - m ∗ ( r ⋅ n ) . В качестве альтернативы, общая конструкция может быть задана структурой Z ( R ) -модуля путем определения скалярного действия как r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ), когда это правильно определено, а именно, когда r ∈ Z ( R ), то центр из R .

Прямое произведение из М и N редко изоморфно тензорное произведение M и N . Когда R не коммутативен, тензорное произведение требует, чтобы M и N были модулями на противоположных сторонах, в то время как прямое произведение требует, чтобы они были модулями на одной стороне. Во всех случаях единственной функцией из M × N в G, которая является как линейной, так и билинейной, является нулевое отображение.

Как линейные карты

В общем случае не все свойства тензорного произведения векторных пространств распространяются на модули. Тем не менее, некоторые полезные свойства тензорного произведения, рассматриваемого как гомоморфизмы модулей , сохраняются.

Двойной модуль

Двойной модуль правого R - модуля Е , определяются как Хомы _R ( E , R ) с каноническим левым R - модулем структурой, и обозначаются Е ^* . Каноническая структура - это поточечные операции сложения и скалярного умножения. Таким образом, E ^∗ - это множество всех R- линейных отображений E → R (также называемых линейными формами ) с операциями

${\ Displaystyle (\ phi + \ psi) (u) = \ phi (u) + \ psi (u), \ quad \ phi, \ psi \ in E ^ {*}, u \ in E}$

${\ Displaystyle (г \ cdot \ phi) (u) = r \ cdot \ phi (u), \ quad \ phi \ in E ^ {*}, u \ in E, r \ in R,}$

Аналогично определяется двойственный к левому R -модулю с теми же обозначениями.

Всегда существует канонический гомоморфизм E → E ^∗∗ от E ко второму двойственному ему. Это изоморфизм, если E - свободный модуль конечного ранга. Вообще говоря, E называется рефлексивным модулем, если канонический гомоморфизм является изоморфизмом.

Сопряжение двойственности

Обозначим естественное спаривание двойственного к нему E ^∗ и правого R -модуля E или левого R -модуля F и его двойственного F ^∗ как

${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: E ^ {*} \ times E \ to R: (e ', e) \ mapsto \ langle e', e \ rangle = e '(e)}$

${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: F \ times F ^ {*} \ to R: (f, f ') \ mapsto \ langle f, f' \ rangle = f '(f).}$

Спаривание является левым R -линейным в своем левом аргументе и правым R- линейным в своем правом аргументе:

${\ Displaystyle \ langle r \ cdot g, h \ cdot s \ rangle = r \ cdot \ langle g, h \ rangle \ cdot s, \ quad r, s \ in R.}$

Элемент как (би) линейное отображение

В общем случае каждый элемент тензорного произведения модулей порождает левое R -линейное отображение, правое R- линейное отображение и R -билинейную форму. В отличие от коммутативного случая, в общем случае тензорное произведение не является R -модулем и, следовательно, не поддерживает скалярное умножение.

• Для правого R -модуля E и правого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ⊗ _R E ^∗ → Hom _R ( E , F ) такой, что θ ( f ⊗ e ′) есть отображение e ↦ f ⋅ ⟨ е ', е ⟩ .

• Для левого R -модуля E и правого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ⊗ _R E → Hom _R ( E ^∗ , F ) такой, что θ ( f ⊗ e ) есть отображение e ′ ↦ f ⋅ ⟨ е , е ′⟩ .

Оба случая верны для общих модулей и становятся изоморфизмами, если модули E и F ограничиваются как конечно порожденные проективные модули (в частности, свободные модули конечных рангов). Таким образом, элемент тензорного произведения модулей над кольцом R канонически отображается на R- линейное отображение, хотя, как и в случае с векторными пространствами, к модулям применяются ограничения, чтобы это было эквивалентно полному пространству таких линейных отображений.

• Для правого R -модуля E и левого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ^∗ ⊗ _R E ^∗ → L _R ( F × E , R ) такой, что θ ( f ′ ⊗ e ′) есть отображение ( е , е ) ↦ ⟨ е , е '⟩ ⋅ ⟨ е ', е ⟩ . Таким образом, элемент тензорного произведения ξ ∈ F ^* ⊗ _R Е ^* можно рассматривать давая начало или действовать в качестве R -bilinear карты F × E → R .

След

Пусть R - коммутативное кольцо, E - R -модуль. Тогда существует каноническое R -линейное отображение:

${\ displaystyle E ^ {*} \ otimes _ {R} E \ to R}$

индуцируется линейностью ; это единственное R -линейное отображение, соответствующее естественному спариванию. ${\ displaystyle \ phi \ otimes x \ mapsto \ phi (x)}$

Если E - конечно порожденный проективный R -модуль, то его можно отождествить с помощью канонического гомоморфизма, упомянутого выше, и тогда указанное выше является отображением следов : ${\ displaystyle E ^ {*} \ otimes _ {R} E = \ operatorname {End} _ {R} (E)}$

${\ displaystyle \ operatorname {tr}: \ operatorname {End} _ {R} (E) \ to R.}$

Когда R - поле, это обычный след линейного преобразования.

Пример из дифференциальной геометрии: тензорное поле

Наиболее ярким примером тензорного произведения модулей в дифференциальной геометрии является тензорное произведение пространств векторных полей и дифференциальных форм. Точнее, если R - (коммутативное) кольцо гладких функций на гладком многообразии M , то положим

${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p} = \ Gamma (M, TM) ^ {\ otimes p} \ otimes _ {R} \ Gamma (M, T ^ {*} M) ^ {\ otimes q}}$

где Γ означает пространство сечений и верхний индекс означает Тензорно р раз над R . По определению элемент является тензорным полем типа ( p , q ). ${\ displaystyle \ otimes p}$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p}}$

Как R -модули, является дуальным модулем${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {p} ^ {q}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p}.}$

Для облегчения обозначений поставим и так . Когда p , q ≥ 1, для каждого ( k , l ) с 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q существует R- полилинейное отображение: ${\ Displaystyle E = \ Gamma (M, TM)}$${\ Displaystyle E ^ {*} = \ Gamma (M, T ^ {*} M)}$

${\ displaystyle E ^ {p} \ times {E ^ {*}} ^ {q} \ to {\ mathfrak {T}} _ {q-1} ^ {p-1}, \, (X_ {1} , \ dots, X_ {p}, \ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {q}) \ mapsto \ langle X_ {k}, \ omega _ {l} \ rangle X_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes {\ widehat {X_ {l}}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {p} \ otimes \ omega _ {1} \ otimes \ cdots {\ widehat {\ omega _ {l}}} \ otimes \ cdots \ otimes \ omega _ {q}}$

где означает, а шляпа означает, что термин опущен. По универсальному свойству ему соответствует единственное R -линейное отображение: ${\ displaystyle E ^ {p}}$${\ displaystyle \ prod _ {1} ^ {p} E}$

${\ displaystyle C_ {l} ^ {k}: {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p} \ to {\ mathfrak {T}} _ {q-1} ^ {p-1}.}$

Это называется сжатием тензоров в индексе ( k , l ). Разматывая то, что говорит универсальное свойство, человек видит:

${\ displaystyle C_ {l} ^ {k} (X_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {p} \ otimes \ omega _ {1} \ otimes \ cdots \ otimes \ omega _ {q}) = \ langle X_ {k}, \ omega _ {l} \ rangle X_ {1} \ otimes \ cdots {\ widehat {X_ {l}}} \ cdots \ otimes X_ {p} \ otimes \ omega _ {1} \ otimes \ cdots {\ widehat {\ omega _ {l}}} \ cdots \ otimes \ omega _ {q}.}$

Замечание : Предыдущее обсуждение стандартно для учебников по дифференциальной геометрии (например, Helgason). В некотором смысле теоретико-пучковая конструкция (т. Е. Язык связки модулей ) становится более естественной и все более распространенной; об этом см. раздел § Тензорное произведение пучков модулей .

Отношение к плоским модулям

В общем,

${\ displaystyle - \ otimes _ {R} -: {\ text {Mod -}} R \ times R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow \ mathrm {Ab}}$

является бифунктором, который принимает на вход правую и левую пару модулей R и присваивает их тензорному произведению в категории абелевых групп .

Зафиксировав правый R- модуль M , функтор

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} -: R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow \ mathrm {Ab}}$

возникает, и симметрично левый R- модуль N может быть зафиксирован для создания функтора

${\ displaystyle - \ otimes _ {R} N: {\ text {Mod -}} R \ longrightarrow \ mathrm {Ab}.}$

В отличие от бифунктора Hom, тензорный функтор ковариантен для обоих входов. ${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {R} (-, -),}$

Можно показать, что и всегда являются точными справа функторами , но не обязательно точными слева ( где первое отображение является умножением на , является точным, но не после взятия тензора с ). По определению модуль T является плоским модулем, если является точным функтором. ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} -}$${\ displaystyle - \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} _ {n} \ to 0,}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$${\ displaystyle T \ otimes _ {R} -}$

Если и являются порождающими наборами для M и N , соответственно, то будет порождающим набором для Поскольку тензорный функтор иногда не может быть точным слева, это может быть не минимальный порождающий набор, даже если исходные порождающие множества минимальны. Если M - плоский модуль , функтор точен по самому определению плоского модуля. Если тензорные произведения берутся по полю F , мы имеем дело с векторными пространствами, как указано выше. Поскольку все F- модули плоские, бифунктор точен в обоих положениях, а два заданных порождающих набора являются базисами, тогда действительно образует основу для${\ displaystyle \ {m_ {i} \ mid i \ in I \}}$${\ displaystyle \ {n_ {j} \ mid j \ in J \}}$${\ displaystyle \ {m_ {i} \ otimes n_ {j} \ mid i \ in I, j \ in J \}}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N.}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} -}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} -}$ ${\ displaystyle - \ otimes _ {R} -}$${\ displaystyle \ {m_ {i} \ otimes n_ {j} \ mid i \ in I, j \ in J \}}$${\ displaystyle M \ otimes _ {F} N.}$

Дополнительная конструкция

Если S и T коммутативные R -алгебры, то S ⊗ _R T также будет коммутативной R -алгеброй с отображением умножения, определенным формулой ( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ ) и продлен по линейности. В этом случае тензорное произведение становится расслоенным копроизведением в категории R -алгебр.

Если M и N оба являются R -модулями над коммутативным кольцом, то их тензорное произведение снова является R -модулем. Если R - кольцо, _R M - левый R -модуль, а коммутатор

rs - sr

любые два элементов г и s из R находится в аннуляторе из М , то мы можем сделать М в правый R модуль путем установки

mr = rm .

Действие R на M факторизуется через действие коммутативного факторного кольца. В этом случае тензорное произведение M на себя над R снова является R -модулем. Это очень распространенный метод в коммутативной алгебре.

Обобщение

Тензорное произведение комплексов модулей

Если X , Y - комплексы R -модулей ( R - коммутативное кольцо), то их тензорное произведение - это комплекс, задаваемый формулой

${\ displaystyle (X \ otimes _ {R} Y) _ {n} = \ sum _ {i + j = n} X_ {i} \ otimes _ {R} Y_ {j},}$

с дифференциалом, задаваемым: для x в X _i и y в Y _j ,

${\ displaystyle d_ {X \ otimes Y} (x \ otimes y) = d_ {X} (x) \ otimes y + (- 1) ^ {i} x \ otimes d_ {Y} (y).}$

Например, если C - цепной комплекс плоских абелевых групп и G - абелева группа, то группа гомологий группы C с коэффициентами в G (см. Также: теорему об универсальных коэффициентах ). ${\ displaystyle C \ otimes _ {\ mathbb {Z}} G}$

Тензорное произведение связок модулей

В этой схеме, например, можно определить тензорное поле на гладком многообразии M как (глобальное или локальное) сечение тензорного произведения (называемого тензорным расслоением )

${\ displaystyle (TM) ^ {\ otimes p} \ otimes _ {O} (T ^ {*} M) ^ {\ otimes q}}$

где О представляет собой пучок колец гладких функций на М и пучках рассматриваются как локально свободные пучки на М . ${\ displaystyle TM, T ^ {*} M}$

Внешний пучок на М является подрасслоением тензорного расслоения , состоящим из всех антисимметрических ковариантных тензоров. Секции из внешнего пучка являются дифференциальными формами на М .

Один важный случай формирования тензорного произведения над пучком некоммутативных колец появляется в теории D -модулей ; т. е. тензорные произведения над пучком дифференциальных операторов .

Смотрите также

• Функтор Tor
• Тензорное произведение алгебр
• Тензорное произведение полей
• производное тензорное произведение

Заметки

Рекомендации

• Бурбаки, Алгебра
• Хелгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Норткотт, Д. Г. (1984), Полилинейная алгебра , Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4.
• Hazewinkel, Michiel ; Губарени Надежда Михайловна ; Губарени, Надия ; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
• Питер Мэй (1999), Краткий курс алгебраической топологии , University of Chicago Press.