Кривая таутохрона - Tautochrone curve

Четыре шара скользят по циклоидной кривой из разных положений, но достигают дна одновременно. Синие стрелки показывают ускорение точек вдоль кривой. Вверху находится диаграмма времени и положения.
Объекты, представляющие кривую таутохроны

Tautochrone или изохрона кривой (от греческих префиксов кого означают тот же самым или изобутили равно , и хроно время ) является кривым , для которого время , затраченное объектом скольжения без трения в равномерной тяжести до самой низкой точки не зависит от его исходной точки Кривая. Кривая представляет собой циклоиду , и время равно π, умноженному на квадратный корень из радиуса (круга, образующего циклоиду), превышающего ускорение свободного падения. Кривая таутохрон связана с кривой брахистохрон , которая также является циклоидой .

Проблема таутохрон

Именно в левом горшке Pequod, когда мыльный камень старательно кружил вокруг меня, я впервые косвенно поразился тому замечательному факту, что в геометрии все тела, скользящие по циклоиде, например, мой мыльный камень, будут спускаться с него. любой момент в одно и то же время.

Моби Дик , Герман Мелвилл , 1851 г.

Проблема таутохрон, попытка идентифицировать эту кривую, была решена Христианом Гюйгенсом в 1659 году. Он геометрически доказал в своем Horologium Oscillatorium , первоначально опубликованном в 1673 году, что кривая представляет собой циклоиду .

На циклоиде, ось которой расположена на перпендикуляре и вершина которой расположена внизу, времена спуска, в течение которых тело достигает самой низкой точки в вершине после вылета из любой точки циклоиды, равны каждому Другие ...

Гюйгенс также доказал, что время спуска равно времени, которое требуется телу, чтобы упасть вертикально на то же расстояние, что и диаметр круга, образующего циклоиду, умноженный на . Говоря современным языком, это означает, что время спуска равно , где - радиус круга, образующего циклоиду, и - сила тяжести Земли , или, точнее, ее ускорение свободного падения .

Пять изохронных циклоидальных маятников с разной амплитудой

Позже это решение было использовано для решения проблемы кривой брахистохрона . Иоганн Бернулли решил проблему в статье ( Acta Eruditorum , 1697).

Схема циклоидального маятника

Проблема таутохрон была изучена Гюйгенсом более внимательно, когда он понял, что маятник, который следует по круговой траектории, не является изохронным, и поэтому его маятниковые часы будут показывать разное время в зависимости от того, насколько далеко качнулся маятник. Определив правильный путь, Христиан Гюйгенс попытался создать маятниковые часы, в которых использовалась веревка для подвешивания боба и щеки бордюра возле верхней части веревки, чтобы изменить путь к кривой таутохроны. Эти попытки оказались бесполезными по ряду причин. Во-первых, изгиб струны вызывает трение, изменяющее время. Во-вторых, были гораздо более важные источники временных ошибок, которые подавляли любые теоретические улучшения, которым помогает путешествие по кривой таутохрон. Наконец, «круговая ошибка» маятника уменьшается по мере уменьшения длины поворота, поэтому более совершенные механизмы спуска часов могут значительно уменьшить этот источник неточности.

Позже математики Жозеф Луи Лагранж и Леонард Эйлер дали аналитическое решение проблемы.

Лагранжево решение

Если положение частицы параметризуется длиной дуги s ( t ) от самой нижней точки, кинетическая энергия пропорциональна . Потенциальная энергия пропорциональна высоте y ( s ) . Один из способов, которым кривая может быть изохроной, - это если лагранжиан является лагранжианом простого гармонического осциллятора : высота кривой должна быть пропорциональна квадрату длины дуги.

где коэффициент пропорциональности был установлен на 1 путем изменения единиц длины. Дифференциальная форма этого отношения:

что исключает s и оставляет дифференциальное уравнение для dx и dy . Чтобы найти решение, проинтегрируйте x через y :

где . Этот интеграл представляет собой площадь под кругом, которую естественным образом можно разрезать на треугольник и круговой клин:

Чтобы увидеть, что это странно параметризованная циклоида , измените переменные, чтобы разделить трансцендентную и алгебраическую части, указав угол . Это дает

что является стандартной параметризацией, за исключением масштаба x , y и  θ .

Решение «Виртуальная гравитация»

Самое простое решение проблемы таутохрон - это отметить прямую связь между углом наклона и силой тяжести, которую ощущает частица на наклоне. Частица, находящаяся под вертикальным углом наклона 90 °, испытывает полное гравитационное ускорение , а частица, находящаяся в горизонтальной плоскости, испытывает нулевое гравитационное ускорение. При промежуточных углах ускорение частицы за счет "виртуальной силы тяжести" составляет . Обратите внимание, что измеряется между касательной к кривой и горизонтом, причем углы выше горизонтали рассматриваются как положительные углы. Таким образом, варьируется от до .

Положение массы, измеренное вдоль кривой таутохроны , должно подчиняться следующему дифференциальному уравнению:

которое наряду с начальными условиями и имеет решение:

Можно легко проверить и то, что это решение решает дифференциальное уравнение, и то, что частица достигнет в определенный момент времени из любой начальной позиции . Теперь проблема состоит в том, чтобы построить кривую, которая заставит массу подчиняться описанному выше движению. Второй закон Ньютона показывает, что сила тяжести и ускорение массы связаны соотношением:

Явное отображение расстояния `` вызывает затруднения, но мы можем провести различие, чтобы получить более управляемую форму:

или же

Это уравнение связывает изменение угла кривой с изменением расстояния вдоль кривой. Теперь мы используем тригонометрию, чтобы связать угол с дифференциальными длинами , и :

Замена с в приведенном выше уравнении позволяет нам решить для с точки зрения :

Кроме того, мы можем также выразить в терминах и решить для с точки зрения :

Подставляя и , мы видим, что эти параметрические уравнения для и являются уравнениями для точки на окружности радиуса, катящейся по горизонтальной линии ( циклоида ), с центром окружности в координатах :

Обратите внимание, что диапазон от . Типично установить и так, чтобы самая низкая точка кривой совпадала с началом координат. Следовательно:

Решая и помня, что это время, необходимое для спуска, мы находим время спуска через радиус :

(По материалам Proctor , стр. 135–139)

Решение Авеля

Нильс Хенрик Абель атаковал обобщенную версию задачи о таутохроне ( механическая проблема Абеля ), а именно: по заданной функции, которая задает полное время спуска для данной стартовой высоты, найти уравнение кривой, которое дает этот результат. Задача о таутохроне - это частный случай механической задачи Абеля, когда - константа.

Решение Абеля начинается с принципа сохранения энергии - поскольку частица не имеет трения и, таким образом, не теряет энергию на нагрев , ее кинетическая энергия в любой точке в точности равна разнице в потенциальной энергии гравитации от начальной точки. Кинетическая энергия равна , а поскольку частица вынуждена двигаться по кривой, ее скорость равна просто , где - расстояние, измеренное по кривой. Точно так же гравитационная потенциальная энергия, полученная при падении с начальной высоты на высоту, составляет :

В последнем уравнении мы ожидали записать расстояние, оставшееся вдоль кривой, как функцию высоты ( , признали, что оставшееся расстояние должно уменьшаться с увеличением времени (таким образом, знак минус), и использовали цепное правило в форме .

Теперь мы проинтегрируем от до, чтобы получить общее время, необходимое для падения частицы:

Это называется интегральным уравнением Абеля и позволяет нам вычислить общее время, необходимое для того, чтобы частица упала по заданной кривой (что было бы легко вычислить). Но механическая проблема Абеля требует обратного - мы хотим найти , если бы уравнение кривой вытекало бы прямым путем. Чтобы продолжить, заметим , что интеграл справа является свертка из с и таким образом принять преобразование Лапласа обеих сторон по отношению к переменной :

где Поскольку , теперь у нас есть выражение для преобразования Лапласа в терминах преобразования Лапласа России:

Это все, что мы можем сделать без уточнения . Как только он известен, мы можем вычислить его преобразование Лапласа, вычислить преобразование Лапласа и затем выполнить обратное преобразование (или попытаться найти) .

Для задачи о таутохронах постоянно. Поскольку преобразование Лапласа 1 равно , т. Е. , Мы находим функцию формы :

Снова используя приведенное выше преобразование Лапласа, мы инвертируем преобразование и заключаем:

Можно показать, что циклоида подчиняется этому уравнению. Требуется сделать еще один шаг, чтобы выполнить интеграл по отношению к, чтобы получить выражение формы пути.

( Симмонс , раздел 54).

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Блэквелл, Ричард Дж. (1986). Маятниковые часы Христиана Гюйгенса . Эймс, Айова: Издательство государственного университета Айовы. ISBN  0-8138-0933-9.Часть II, Предложение XXV, с. 69.

Библиография

Внешние ссылки