Топологическая квантовая теория поля - Topological quantum field theory

В калибровочной теории и математической физике , А топологические квантовая теория поля (или топологическая теория поля или TQFT ) является квантовой теорией поля , которая вычисляет топологические инварианты .

Хотя ТКТП были изобретены физиками, они также представляют математический интерес, поскольку связаны, среди прочего, с теорией узлов и теорией четырехмерных многообразий в алгебраической топологии , а также с теорией пространств модулей в алгебраической геометрии . Дональдсон , Джонс , Виттен и Концевич получили медали Филдса за математические работы, связанные с топологической теорией поля.

В физике конденсированного состояния топологические квантовые теории поля - это низкоэнергетические эффективные теории топологически упорядоченных состояний, таких как дробные квантовые состояния Холла , конденсированные состояния струнной сети и другие сильно коррелированные состояния квантовой жидкости .

В динамике все динамические системы с непрерывным временем , с шумом и без него, представляют собой ТКТП типа Виттена, а явление спонтанного нарушения соответствующей топологической суперсимметрии включает в себя такие хорошо установившиеся концепции, как хаос , турбулентность , 1 / f и шумы потрескивания , самовоспроизведение. организованная критичность и т. д.

Обзор

В топологической теории поля, корреляционные функции не зависят от метрики в пространстве - времени . Это означает, что теория нечувствительна к изменениям формы пространства-времени; если пространство-время искажается или сжимается, корреляционные функции не изменяются. Следовательно, они являются топологическими инвариантами.

Топологические теории поля не очень интересны для плоского пространства-времени Минковского, используемого в физике элементарных частиц. Пространство Минковского можно сжать до точки , поэтому применение ТКТП к пространству Минковского приводит к тривиальным топологическим инвариантам. Следовательно, TQFT обычно применяются к искривленным пространствам-времени, таким как, например, римановы поверхности . Большинство известных топологических теорий поля определены для пространств-времени размерности меньше пяти. Кажется, что существует несколько многомерных теорий, но они не очень хорошо изучены.

Считается, что квантовая гравитация не зависит от фона (в некотором подходящем смысле), и TQFT предоставляют примеры независимых от фона квантовых теорий поля. Это побудило к постоянным теоретическим исследованиям этого класса моделей.

(Предостережение: часто говорят, что TQFT имеют только конечное число степеней свободы. Это не фундаментальное свойство. Это верно в большинстве примеров, изучаемых физиками и математиками, но это не обязательно. Топологическая сигма-модель нацелена на бесконечномерное проективное пространство, и если бы такую ​​вещь можно было определить, она имела бы счетное бесконечное число степеней свободы.)

Конкретные модели

Известные топологические теории поля делятся на два общих класса: ТКТП Шварца и ТКТП Виттена. ТКТП Виттена также иногда называют когомологическими теориями поля. См. ( Schwarz 2000 ).

TQFT типа Шварца

В TQFTs Шварц-типа , то корреляционные функции или функция разбиения системы вычисляются по пути интеграл метрических независимых функционалов действий. Например, в модели BF пространство-время представляет собой двумерное многообразие M, наблюдаемые строятся из двух форм F, вспомогательного скаляра B и их производных. Действие (которое определяет интеграл по путям):

${\ Displaystyle S = \ int _ {M} BF}$

Метрика пространства-времени нигде в теории не фигурирует, поэтому теория явно топологически инвариантна. Первый экземпляр появился в 1977 году и принадлежит А. Шварцу ; Функционал его действия:

${\ displaystyle \ int _ {M} A \ wedge dA.}$

Другой более известный пример - теория Черна – Саймонса , которая может быть применена к инвариантам узлов . В общем случае статистические суммы зависят от метрики, но приведенные выше примеры не зависят от метрики.

TQFT типа Виттена

Первый пример TQFT типа Виттена появился в статье Виттена в 1988 г. ( Witten 1988a ), т.е. в четырехмерной топологической теории Янга – Миллса. Хотя его функционал действия содержит метрику пространства-времени g _αβ , после топологического поворота оказывается, что он не зависит от метрики. Независимость тензора энергии-импульса T ^αβ системы от метрики зависит от того, замкнут ли БРСТ-оператор . Следуя примеру Виттена, можно найти множество других примеров в теории струн .

ВТКП Виттена возникают, если выполняются следующие условия:

1. Действие TQFT имеет симметрию, т.е. если обозначает преобразование симметрии (например, производную Ли ), то имеет место.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta S = 0}$
2. Преобразование симметрии точное , т. Е.${\ displaystyle \ delta ^ {2} = 0}$
3. Существуют наблюдаемые, удовлетворяющие всех .${\ displaystyle O_ {1}, \ dots, O_ {n}}$${\ displaystyle \ delta O_ {i} = 0}$${\ Displaystyle я \ в \ {1, \ точки, п \}}$
4. Тензор энергии-импульса (или аналогичные физические величины) имеет вид произвольного тензора .${\ Displaystyle Т ^ {\ альфа \ бета} = \ дельта G ^ {\ альфа \ бета}}$${\ displaystyle G ^ {\ alpha \ beta}}$

В качестве примера ( Linker 2015 ): дано поле 2-форм с дифференциальным оператором, которому удовлетворяет , тогда действие имеет симметрию, если, поскольку ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle S = \ int _ {M} B \ клин \ дельта B}$${\ Displaystyle \ дельта В \ клин \ дельта В = 0}$

${\ displaystyle \ delta S = \ int _ {M} \ delta (B \ wedge \ delta B) = \ int _ {M} \ delta B \ wedge \ delta B + \ int _ {M} B \ wedge \ delta ^ {2} B = 0}$.

Кроме того, имеет место следующее (при условии , что не зависит от и действует подобно функциональным производным ): ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} S = \ int _ {M} {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}} } B \ wedge \ delta B + \ int _ {M} B \ wedge \ delta {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = \ int _ {M} {\ frac { \ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B \ wedge \ delta B- \ int _ {M} \ delta B \ wedge {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = -2 \ int _ {M} \ delta B \ wedge {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}}} B}$.

Выражение пропорционально другой 2-форме . ${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} S}$${\ displaystyle \ delta G}$${\ displaystyle G}$

Теперь любые средние наблюдаемые для соответствующей меры Хаара не зависят от "геометрического" поля и, следовательно, являются топологическими: ${\ displaystyle \ left \ langle O_ {i} \ right \ rangle: = \ int d \ mu O_ {i} e ^ {iS}}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B}} \ left \ langle O_ {i} \ right \ rangle = \ int d \ mu O_ {i} i {\ frac {\ delta} {\ delta B }} Se ^ {iS} \ propto \ int d \ mu O_ {i} \ delta Ge ^ {iS} = \ delta \ left (\ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {iS} \ right) = 0 }$.

Третье равенство использует тот факт, что и инвариантность меры Хаара относительно преобразований симметрии. Поскольку это всего лишь число, его производная Ли равна нулю. ${\ displaystyle \ delta O_ {i} = \ delta S = 0}$${\ displaystyle \ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {iS}}$

Математические постановки

Оригинальные аксиомы Атьи-Сигала

Атья предложил набор аксиом для топологической квантовой теории поля, вдохновленный аксиомами, предложенными Сигалом для конформной теории поля (впоследствии идея Сигала была резюмирована в Segal (2001) ), и геометрическим значением суперсимметрии Виттена в Witten (1982) . Аксиомы Атьи построены путем склеивания границы с дифференцируемым (топологическим или непрерывным) преобразованием, в то время как аксиомы Сигала предназначены для конформных преобразований. Эти аксиомы были относительно полезны для математической обработки КТП типа Шварца, хотя неясно, охватывают ли они всю структуру КТП типа Виттена. Основная идея заключается в том, что TQFT является функтор из определенной категории из кобордизмы в категорию векторных пространств .

Фактически существует два различных набора аксиом, которые можно с полным основанием назвать аксиомами Атьи. Эти аксиомы различаются в основном тем, применяются ли они к TQFT, определенному на одном фиксированном n- мерном римановом / лоренцевом пространстве-времени M, или к TQFT, определенному для всех n -мерных пространств-времени одновременно.

Пусть Λ - коммутативное кольцо с 1 (почти для всех реальных целей мы будем иметь Λ = Z , R или C ). Первоначально Атья предложил аксиомы топологической квантовой теории поля (ТКПП) в размерности d, определенной над основным кольцом Λ, следующим образом:

• Конечно порожденный Λ-модуль Z (Σ), связанный с каждым ориентированным замкнутым гладким d-мерным многообразием Σ (соответствующий аксиоме гомотопии ),
• Элемент Z ( M ) ∈ Z (∂ M ), связанный с каждым ориентированным гладким ( d + 1) -мерным многообразием (с краем) M (соответствующий аддитивной аксиоме).

Эти данные подчиняются следующим аксиомам (4 и 5 были добавлены Атьей):

1. Z является функториален относительно сохраняющей ориентации диффеоморфизмов из Е и М ,
2. Z является инволютивным , т.е. Z (Σ *) = Z (Σ) , где Σ * * сг с противоположной ориентацией и Z (Е) * обозначает сопряженный модуль,
3. Z является мультипликативным .
4. Z ( ) = Λ для d-мерного пустого многообразия и Z ( ) = 1 для ( d + 1) -мерного пустого многообразия.${\ displaystyle \ emptyset}$${\ displaystyle \ emptyset}$
5. Z ( M * ) = Z ( M ) ( аксиома эрмитова ). Если так, что Z ( M ) можно рассматривать как линейное преобразование между эрмитовыми векторными пространствами, то это эквивалентно тому, что Z ( M * ) является сопряженным к Z ( M ).${\ displaystyle \ partial M = \ Sigma _ {0} ^ {*} \ cup \ Sigma _ {1}}$

Замечание. Если для замкнутого многообразия M мы рассматриваем Z ( M ) как числовой инвариант, то для многообразия с краем мы должны рассматривать Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) как «относительный» инвариант. Пусть f  : Σ → Σ - сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, и отождествим противоположные концы Σ × I через f . Это дает многообразие Σ _f, и из наших аксиом следует

${\ Displaystyle Z (\ Sigma _ {f}) = \ operatorname {Trace} \ \ Sigma (f)}$

где Σ ( f ) - индуцированный автоморфизм Z (Σ).

Замечание. Для многообразия M с краем Σ всегда можно образовать дубль, который является замкнутым многообразием. Пятая аксиома показывает, что ${\ Displaystyle M \ чашка _ {\ Sigma} M ^ {*}}$

${\ Displaystyle Z \ влево (M \ чашка _ {\ Sigma} M ^ {*} \ right) = | Z (M) | ^ {2}}$

где справа мы вычисляем норму в эрмитовой (возможно, неопределенной) метрике.

Отношение к физике

Физически (2) + (4) связаны с релятивистской инвариантностью, а (3) + (5) указывают на квантовую природу теории.

Σ означает физическое пространство (обычно d = 3 для стандартной физики), а дополнительное измерение в Σ × I - это «мнимое» время. Пространство Z ( M ) является гильбертовым пространством квантовой теории, а физическая теория с гамильтонианом H будет иметь оператор эволюции во времени e ^itH или оператор «мнимого времени» e ^−tH . Главной особенностью топологических QFTs является то , что H = 0, откуда следует , что нет реальной динамики или распространения, вдоль цилиндра Σ × I . Однако может быть нетривиальное «распространение» (или туннельные амплитуды) от Σ ₀ до Σ ₁ через промежуточное многообразие M с ; это отражает топологию М . ${\ displaystyle \ partial M = \ Sigma _ {0} ^ {*} \ cup \ Sigma _ {1}}$

Если ∂ M = Σ, то различающееся вектор Z ( М ) в гильбертовом пространстве Z (Σ) мыслится как состояние вакуума определяется М . Для закрытого коллектора M число Z ( M ) - это математическое ожидание вакуума . По аналогии со статистической механикой ее еще называют статистической суммой .

Причина, по которой теория с нулевым гамильтонианом может быть разумно сформулирована, заключается в подходе Фейнмана к интегралам по путям к КТП. Это включает релятивистскую инвариантность (которая применяется к общим ( d + 1) -мерным «пространствам-времени»), и теория формально определяется подходящим лагранжианом - функционалом классических полей теории. Лагранжево , который включает в себя только первые производные во время формально приводит к нулевому Гамильтон, но сам лагранжиан может иметь нетривиальные функции , которые относятся к топологии М .

Примеры Атьи

В 1988 г. М. Атья опубликовал статью, в которой описал множество новых примеров топологической квантовой теории поля, которые рассматривались в то время ( Atiyah 1988 ) . Он содержит некоторые новые топологические инварианты наряду с некоторыми новыми идеями: Кассон инвариант , Donaldson инвариант , теория Громова , Floer гомологии и теория Джонса-Виттена . ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFAtiyah1988 ( помощь )

d = 0

В этом случае Σ состоит из конечного числа точек. К одной точке сопоставит векторное пространство V = Z (точка) и п -точек п - кратное тензорное произведение: V ^{⊗ п} = V  ⊗ ... ⊗  V . Симметричная группа S _п действует на V ^{⊗ н} . Стандартный способ получить квантовое гильбертово пространство - начать с классического симплектического многообразия (или фазового пространства ), а затем его квантовать. Продолжат S _п к компактной группе Ли G и рассмотрят «интегрируемую» орбиту , для которых симплектической структура исходит из линейного расслоения , то квантования приводит к неприводимым представлениям V из G . Это физическая интерпретация теоремы Бореля – Вейля или теоремы Бореля – Вейля – Ботта . Лагранжианом этих теорий является классическое действие ( голономия линейного расслоения). Таким образом , топологический QFT это с г = 0 , естественно , относится к классической теории представлений о группах Ли и группе симметрии .

d = 1

Мы должны рассматривать периодические граничные условия , проверяемые при замкнутых петель в компактном симплектическом многообразии X . Наряду с голономией Виттена (1982) такие петли, которые используются в случае d = 0 в качестве лагранжиана, затем используются для модификации гамильтониана. Для замкнутой поверхности M инвариант Z ( M ) теории - это число псевдоголоморфных отображений f  : M → X по Громову (они являются обычными голоморфными отображениями, если X - кэлерово многообразие ). Если это число становится бесконечным , т.е. если есть «модули», то мы должны зафиксировать дополнительные данные о M . Это можно сделать, выбрав несколько точек P _i, а затем посмотрев на голоморфные отображения f  : M → X, где f ( P _i ) ограничено лежать на фиксированной гиперплоскости. Виттен (1988b) записал соответствующий лагранжиан для этой теории. Флоер дал строгую трактовку, т. Е. Гомологию Флоера , основанную на идеях теории Морса Виттена ; для случая, когда граничные условия лежат на интервале, а не являются периодическими, начальная и конечная точки пути лежат на двух фиксированных лагранжевых подмногообразиях . Эта теория получила развитие как теория инвариантов Громова – Виттена .

Другой пример - голоморфная конформная теория поля . В то время это не могло считаться строго топологической квантовой теорией поля, потому что гильбертовы пространства бесконечномерны. Конформные теории поля также связаны с компактной группой Ли G, в которой классическая фаза состоит из центрального расширения группы петель (LG) . Их квантование дает гильбертовы пространства теории неприводимых (проективных) представлений LG . Группа Diff ₊ ( S ¹ ) теперь заменяет симметрическую группу и играет важную роль. В результате статистическая сумма в таких теориях зависит от сложной структуры , поэтому она не является чисто топологической.

d = 2

Теория Джонса-Виттена - самая важная теория в этом случае. Здесь классическое фазовое пространство, ассоциированное с замкнутой поверхностью Σ, является пространством модулей плоского G- расслоения над Σ. Лагранжиан представляет собой целое кратное функции Черны-Simons о наличии G -связности на 3-многообразии (который должен быть «оформлен»). Целое кратное k , называемое уровнем, является параметром теории, а k → ∞ дает классический предел. Эта теория может быть естественным образом объединена с теорией d = 0 для получения «относительной» теории. Детали были описаны Виттеном, который показывает, что статистическая сумма для (обрамленной) связи в 3-сфере - это просто значение полинома Джонса для подходящего корня из единицы. Теорию можно определить над соответствующим круговым полем , см. Atiyah (1988) . Рассматривая риманову поверхность с границей, мы можем связать ее с конформной теорией d = 1 вместо того , чтобы связывать теорию d = 2 с d = 0. Это развилось в теорию Джонса – Виттена и привело к открытию глубоких связей между узлами. теория и квантовая теория поля. Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFAtiyah1988 ( помощь )

d = 3

Дональдсон определил целочисленный инвариант гладких 4-многообразий, используя пространства модулей SU (2) -инстантонов. Эти инварианты являются полиномами от вторых гомологий. Таким образом, 4-многообразия должны иметь дополнительные данные, состоящие из симметрической алгебры H ₂ . Виттен (1988a) построил суперсимметричный лагранжиан, который формально воспроизводит теорию Дональдсона. Формулу Виттена можно понимать как бесконечномерный аналог теоремы Гаусса – Бонне . Позднее эта теория получила дальнейшее развитие и стала калибровочной теорией Зайберга – Виттена, которая сводит SU (2) к U (1) в N = 2, d = 4 калибровочной теории. Гамильтонова версия теории была развита Флоером в терминах пространства связностей на трехмерном многообразии. Флоер использует функцию Черна – Саймонса , которая является лагранжианом теории Джонса-Виттена, для модификации гамильтониана. Подробнее см. Atiyah (1988) . Виттен (1988a) также показал, как можно соединить вместе теории d = 3 и d = 1: это вполне аналогично связи между d = 2 и d = 0 в теории Джонса – Виттена. Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFAtiyah1988 ( помощь )

Теперь топологическая теория поля рассматривается как функтор , но не по фиксированной размерности, а по всем измерениям одновременно.

Случай фиксированного пространства-времени

Пусть Bord _M - категория, морфизмы которой являются n -мерными подмногообразиями в M, а объекты - связными компонентами границ таких подмногообразий. Считайте два морфизма эквивалентными, если они гомотопны через подмногообразия в M и, таким образом, образуют фактор-категорию hBord _M : объекты в hBord _M являются объектами Bord _M , а морфизмы hBord _M являются классами гомотопической эквивалентности морфизмов в Bord _M . TQFT на M - это симметричный моноидальный функтор из hBord _M в категорию векторных пространств.

Обратите внимание, что кобордизмы, если их границы совпадают, могут быть сшиты вместе, чтобы сформировать новый бордизм. Это закон композиции для морфизмов в категории кобордизмов. Поскольку для сохранения композиции требуются функторы, это говорит о том, что линейная карта, соответствующая сшитому морфизму, является просто композицией линейной карты для каждой части.

Существует эквивалентность категорий между категорией двумерных топологических квантовых теорий поля и категорией коммутативных алгебр Фробениуса .

Все n -мерные пространства-времени сразу

Пара штанов является (1 + 1) -мерным бордизм, что соответствует продукту или копроизведение в 2-мерном TQFT.

Чтобы рассмотреть все пространства-времени сразу, необходимо заменить hBord _M на более крупную категорию. Итак, пусть Bord _n будет категорией бордизмов, т. Е. Категорией, морфизмами которой являются n -мерные многообразия с краем, а объектами являются компоненты связности границ n-мерных многообразий. (Обратите внимание, что любое ( n - 1) -мерное многообразие может появиться как объект в Bord _n .) Как и выше, рассматривайте два морфизма в Bord _n как эквивалентные, если они гомотопны, и формируйте фактор-категорию hBord _n . Bord _n является моноидальной категорией относительно операции, которая отображает два бордизма в бордизм, образованный их дизъюнктным объединением. Тогда ТКТП на n -мерных многообразиях является функтором из hBord _n в категорию векторных пространств, который отображает непересекающиеся объединения бордизмов в их тензорное произведение.

Например, для (1 + 1) -мерных бордизмов (2-мерных бордизмов между одномерными многообразиями) карта, связанная с парой штанов, дает продукт или копроизведение, в зависимости от того, как сгруппированы граничные компоненты, что является коммутативным или кокоммутативно, в то время как отображение, связанное с диском, дает коучу (след) или единицу (скаляры), в зависимости от группировки граничных компонентов, и, таким образом, (1 + 1) -мерные TQFT соответствуют алгебрам Фробениуса .

Кроме того, мы можем рассматривать одновременно 4-мерные, 3-мерные и 2-мерные многообразия, связанные указанными выше бордизмами, и из них мы можем получить обширные и важные примеры.

Развитие в более позднее время

Рассматривая развитие топологической квантовой теории поля, мы должны рассмотреть ее многочисленные приложения к калибровочной теории Зайберга – Виттена , топологической теории струн , взаимосвязи между теорией узлов и квантовой теорией поля, а также к инвариантам квантовых узлов . Кроме того, это вызвало большой интерес как в математике, так и в физике. Также важный интерес в последнее время вызывают нелокальные операторы в TQFT ( Гуков и Капустин (2013) ). Если рассматривать теорию струн как фундаментальную, то нелокальные ТКТП можно рассматривать как нефизические модели, обеспечивающие вычислительно эффективное приближение к локальной теории струн.

ТКТП типа Виттена и динамические системы

Стохастические (частные) дифференциальные уравнения (СДУ) являются основой для моделей всего в природе выше шкалы квантового вырождения и когерентности и по сути являются ТКТП Виттена. Все СДУ обладают топологической или БРСТ-суперсимметрией, а в операторном представлении стохастической динамики - это внешняя производная , которая коммутативна с оператором стохастической эволюции. Эта суперсимметрия сохраняет непрерывность фазового пространства за счет непрерывных потоков, а явление суперсимметричного спонтанного пробоя глобальным несуперсимметричным основным состоянием включает в себя такие хорошо установившиеся физические концепции, как хаос , турбулентность , 1 / f и шумы потрескивания , самоорганизованная критичность. и т. д. Топологический сектор теории для любого СДУ можно распознать как ТКТП Виттена. ${\ displaystyle \ delta}$

Смотрите также

использованная литература

• Атья, Майкл (1988a). «Новые инварианты трехмерных и четырехмерных многообразий» . Математическое наследие Германа Вейля . Труды симпозиумов по чистой математике. 48 . Американское математическое общество. С.  285–299 . DOI : 10.1090 / pspum / 048/974342 . ISBN 9780821814826.
• Атья, Майкл (1988b). «Топологические квантовые теории поля» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 68 (68): 175–186. DOI : 10.1007 / BF02698547 . Руководство по ремонту  1001453 . S2CID  121647908 .
• Гуков, Сергей; Капустин, Антон (2013). «Топологическая квантовая теория поля, нелокальные операторы и фазовые диаграммы калибровочных теорий». arXiv : 1307.4793 [ hep-th ].
• Линкер, Патрик (2015). "Топологическая дипольная теория поля" . Победитель . 2 : e144311.19292. DOI : 10,15200 / winn.144311.19292 .
• Лурье, Джейкоб (2009). «К классификации топологических теорий поля». arXiv : 0905.0465 [ math.CT ].
• Шварц, Альберт (2000). «Топологические квантовые теории поля». arXiv : hep-th / 0011260 .
• Сегал, Грэм (2001). «Топологические структуры в теории струн». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A: Математические, физические и технические науки . 359 (1784): 1389–1398. Bibcode : 2001RSPTA.359.1389S . DOI : 10,1098 / rsta.2001.0841 . S2CID  120834154 .
• Виттен, Эдвард (1982). «Суперсимметрия и теория Морса» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (4): 661–692. DOI : 10.4310 / JDG / 1214437492 .
• Виттен, Эдвард (1988a). «Топологическая квантовая теория поля» . Сообщения по математической физике . 117 (3): 353–386. Bibcode : 1988CMaPh.117..353W . DOI : 10.1007 / BF01223371 . Руководство по ремонту  0953828 . S2CID  43230714 .
• Виттен, Эдвард (1988b). «Топологические сигма-модели» . Сообщения по математической физике . 118 (3): 411–449. Bibcode : 1988CMaPh.118..411W . DOI : 10.1007 / bf01466725 . S2CID  34042140 .