Поверхность (математика) - Surface (mathematics)

Сфера является поверхностью твердого шара , имеющей здесь радиус г

В математике , A поверхность является обобщением плоскости . В отличие от плоскости, он не обязательно должен быть плоским, то есть его кривизна не должна быть нулевой. Это аналогично кривой, обобщающей прямую линию . Есть много более точных определений, в зависимости от контекста и математических инструментов, используемых для анализа поверхности.

Математическая концепция идеализирует то, что подразумевается под поверхностью в науке , компьютерной графике и обычном языке.

Определения

Часто поверхность определяется уравнениями, которым удовлетворяют координаты ее точек. Это тот случай , в графе о наличии непрерывной функции двух переменных. Множество нулей функции трех переменных представляет собой поверхность, которая называется неявной поверхностью . Если определяющая трехвариантная функция является полиномом , поверхность является алгебраической поверхностью . Например, единичная сфера - это алгебраическая поверхность, которая может быть определена неявным уравнением

Поверхность также может быть определена как изображение в некотором пространстве размерностью не менее 3 непрерывной функции двух переменных (требуются некоторые дополнительные условия, чтобы гарантировать, что изображение не является кривой ). В этом случае говорят, что у него есть параметрическая поверхность , которая параметризуется этими двумя переменными, называемыми параметрами . Например, единичная сфера может быть параметризована углами Эйлера , также называемыми долготой u и широтой v по формуле

Параметрические уравнения поверхностей в некоторых точках часто бывают неправильными. Например, все точки единичной сферы, кроме двух, являются изображением, посредством указанной выше параметризации, ровно одной пары углов Эйлера ( по модулю 2 π ). Для остальных двух точек ( северного и южного полюсов ) в одной cos v = 0 , а долгота u может принимать любые значения. Также есть поверхности, для которых не может существовать единственная параметризация, охватывающая всю поверхность. Поэтому часто рассматриваются поверхности, которые параметризованы несколькими параметрическими уравнениями, изображения которых покрывают поверхность. Это формализовано концепцией многообразия : в контексте многообразий, обычно в топологии и дифференциальной геометрии , поверхность - это многообразие размерности два; это означает , что поверхность представляет собой топологическое пространство таким образом, что каждая точка имеет окрестность , которая гомеоморфно к открытому подмножеству в евклидовой плоскости (см поверхности (топология) и поверхность (дифференциальная геометрия) ). Это позволяет определять поверхности в пространствах размерностью более трех и даже абстрактные поверхности , которые не содержатся ни в каком другом пространстве. С другой стороны, это исключает поверхности, которые имеют особенности , такие как вершина конической поверхности или точки, где поверхность пересекает саму себя.

В классической геометрии поверхность обычно определяется как геометрическое место точки или линии. Например, сфера - это геометрическое место точки, которая находится на заданном расстоянии от фиксированной точки, называемой центром; коническая поверхность представляет собой геометрическое место линии , проходящей через фиксированную точку и пересекающей кривую ; поверхность вращения представляет собой геометрическое место кривой , вращающейся вокруг линии. Линейчатой поверхность представляет собой геометрическое место двигающейся линии , удовлетворяющую некоторые ограничения; В современной терминологии линейчатая поверхность - это поверхность, которая представляет собой объединение линий.

Терминология

В этой статье рассматриваются и сравниваются несколько видов поверхностей. Таким образом, для их различения необходима однозначная терминология. Поэтому мы называем топологическими поверхностями поверхности, которые являются многообразиями размерности два (поверхности, рассматриваемые в разделе Поверхность (топология) ). Мы называем дифференцируемыми поверхностями поверхности, которые являются дифференцируемыми многообразиями (поверхности, рассматриваемые в Surface (дифференциальная геометрия) ). Всякая дифференцируемая поверхность является топологической поверхностью, но обратное неверно.

Для простоты, если не указано иное, «поверхность» будет означать поверхность в евклидовом пространстве размерности 3 или в R 3 . Поверхность, которую нельзя включать в другое пространство, называется абстрактной поверхностью .

Примеры

  • График , из непрерывной функции двух переменных, определенной над подключенным открытым подмножеством из R 2 представляет собой топологическая поверхность . Если функция дифференцируема , график является дифференцируемой поверхностью .
  • Плоскость является как алгебраическая поверхность и дифференцируемое поверхность. Это также линейчатая поверхность и поверхность вращения .
  • Круговой цилиндр (то есть, локус линии пересечения окружности и параллельно заданное направление) является алгебраической поверхностью и дифференцируемое поверхность.
  • Круговой конус (геометрическое место линии , пересекающей круг, и проходящее через фиксированную точку, то вершина , которая находится за пределами плоскости круга) является алгебраической поверхностью , которая не является дифференцируемой поверхностью. Если удалить вершину, остаток конуса будет объединением двух дифференцируемых поверхностей.
  • Поверхность многогранника - это топологическая поверхность, которая не является ни дифференцируемой, ни алгебраической поверхностью.
  • Гиперболический параболоид (график функции г = х ) является дифференцируемой поверхностью и алгебраическая поверхность. Это также линейчатая поверхность, и по этой причине ее часто используют в архитектуре .
  • Два гиперболоида является алгебраической поверхностью и объединение двух непересекающихся дифференцируемых поверхностей.

Параметрическая поверхность

Параметрическая поверхность представляет собой образ открытого подмножества евклидовой плоскости (обычно ) с помощью непрерывной функции , в топологическом пространстве , как правило, евклидово пространство размерности по меньшей мере , три. Обычно предполагается, что функция должна быть непрерывно дифференцируемой , и в этой статье так будет всегда.

В частности, параметрическая поверхность в задается тремя функциями двух переменных u и v , называемыми параметрами

Поскольку изображение такой функции может быть кривой (например, если три функции постоянны по отношению к v ), требуется дополнительное условие, как правило, что почти для всех значений параметров матрица Якоби

имеет второй ранг . Здесь «почти все» означает, что значения параметров, у которых ранг равен двум, содержат плотное открытое подмножество диапазона параметризации. Для поверхностей в пространстве более высокой размерности условие такое же, за исключением количества столбцов матрицы Якоби.

Касательная плоскость и вектор нормали

Точка p, в которой указанная выше матрица Якоби имеет ранг два, называется регулярной , или, точнее, параметризация называется регулярной в p .

Касательная плоскость в регулярной точке р является единственной плоскостью , проходящей через р и имеющий направление , параллельное двух векторов - строк матрицы Якоби. Касательная плоскость - это аффинное понятие , поскольку ее определение не зависит от выбора метрики . Другими словами, любое аффинное преобразование отображает касательную плоскость к поверхности в точке с касательной плоскостью к изображению поверхности в изображении точки.

Нормаль в точке поверхности является единственной линией , проходящей через точку и перпендикулярно к касательной плоскости; нормальный вектор представляет собой вектор , который параллелен нормали.

По поводу других дифференциальных инвариантов поверхностей в окрестности точки см. Дифференциальная геометрия поверхностей .

Неправильная точка и особая точка

Нерегулярная точка параметрической поверхности является неправильной . Есть несколько видов неправильных точек.

Может случиться так, что неправильная точка станет правильной, если изменить параметризацию. Это случай из полюсов в параметризации единичной сферы по углам Эйлера : достаточно переставить роль различных осей координат для изменения полюсов.

С другой стороны, рассмотрим круговой конус параметрического уравнения

Вершина конуса является началом координат (0, 0, 0) и получается при t = 0 . Это нерегулярная точка, которая остается неправильной независимо от выбранной параметризации (в противном случае существовала бы единственная касательная плоскость). Такая нерегулярная точка, касательная плоскость которой не определена, называется особой .

Есть еще один вид особых точек. Есть точки самопересечения , то есть точки пересечения поверхности. Другими словами, это точки, полученные при (как минимум) двух разных значениях параметров.

График двумерной функции

Пусть z = f ( x , y ) - функция двух действительных переменных. Это параметрическая поверхность, параметризованная как

Каждая точка этой поверхности регулярна, поскольку два первых столбца матрицы Якоби образуют единичную матрицу ранга два.

Рациональная поверхность

Рациональная поверхность является поверхностью , которая может быть параметризованной рациональными функциями двух переменных. То есть, если е я ( т , у ) являются, я = 0, 1, 2, 3 , многочлены в двух неизвестных, то параметрической поверхности, определяемые

является рациональной поверхностью.

Рациональная поверхность - это алгебраическая поверхность , но большинство алгебраических поверхностей не рациональны.

Неявная поверхность

Неявная поверхность в евклидовом пространстве (или, в более общем смысле, в аффинном пространстве ) размерности 3 - это набор общих нулей дифференцируемой функции трех переменных

Неявный означает, что уравнение неявно определяет одну из переменных как функцию других переменных. Это уточняется теоремой о неявной функции : если f ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 и частная производная по z от f не равна нулю в ( x 0 , y 0 , z 0 ) , то существует дифференцируемая функция φ ( x , y ) такая, что

в окрестности из ( х 0 , у 0 , г 0 ) . Другими словами, неявная поверхность - это график функции вблизи точки поверхности, где частная производная по z отлична от нуля. Таким образом, неявная поверхность имеет параметрическое представление локально, за исключением точек поверхности, где три частные производные равны нулю.

Правильные точки и касательная плоскость

Точка поверхности, в которой хотя бы одна частная производная f отлична от нуля, называется регулярной . В такой точке касательная плоскость и направление нормали хорошо определены и могут быть выведены с помощью теоремы о неявной функции из определения, данного выше, в § Касательная плоскость и нормальный вектор . Направление нормали - это градиент , то есть вектор

Касательная плоскость определяется своим неявным уравнением

Особая точка

Особая точка неявной поверхности (в ) является точкой поверхности , где неявное уравнение имеет место и три частные производные от ее определяющей функции равны нулю. Следовательно, особые точки являются решениями системы четырех уравнений с тремя неопределенными. Поскольку у большинства таких систем нет решения, многие поверхности не имеют особых точек. Поверхность без особой точки называется регулярной или неособой .

Изучение поверхностей вблизи особых точек и их классификация - это теория особенностей . Особая точка считается изолированной, если в ее окрестностях нет другой особой точки. В противном случае особые точки могут образовывать кривую. Это особенно верно для самопересекающихся поверхностей.

Алгебраическая поверхность

Первоначально алгебраическая поверхность была поверхностью, которая может быть определена неявным уравнением

где f - многочлен от трех неопределенностей с действительными коэффициентами.

Эта концепция была расширена в нескольких направлениях, путем определения поверхностей над произвольными полями и рассмотрения поверхностей в пространствах произвольной размерности или в проективных пространствах . Также рассматриваются абстрактные алгебраические поверхности, которые явно не вложены в другое пространство.

Поверхности над произвольными полями

Многочлены с коэффициентами в любом поле принимаются для определения алгебраической поверхности. Однако поле коэффициентов многочлена не определено должным образом, так как, например, многочлен с рациональными коэффициентами также может рассматриваться как многочлен с действительными или комплексными коэффициентами. Поэтому понятие точки поверхности было обобщено следующим образом:

Учитывая многочлен п ( х , у , г ) , пусть K наименьшее поле , содержащее коэффициенты и К быть алгебраически замкнутое расширение по к , бесконечной степени трансцендентности . Тогда точка поверхности является элементом K 3, который является решением уравнения

Если полином имеет действительные коэффициенты, поле K является комплексным полем , а точка поверхности, которая принадлежит (обычная точка), называется реальной точкой . Точка, принадлежащая k 3 , называется рациональной над k или просто рациональной точкой , если k - поле рациональных чисел .

Проективная поверхность

Проективная поверхность в проективном пространстве размерности три есть множество точек, однородные координаты являются нулями одного однородного многочлена от четырех переменных. В более общем смысле , проективное поверхность представляет собой подмножество проективного пространства, которое является проективным многообразием в размерности два.

Проективные поверхности сильно связаны с аффинными поверхностями (то есть с обычными алгебраическими поверхностями). Переход от проективной поверхности к соответствующей аффинной поверхности осуществляется путем присвоения одной некоторой координаты или неопределенного из определяющих многочленов (обычно последнего). И наоборот, от аффинной поверхности переходят к связанной с ней проективной поверхности (называемой проективным пополнением ) путем усреднения определяющего полинома (в случае поверхностей в пространстве размерности три) или путем усреднения всех полиномов определяющего идеала (для поверхностей в пространстве размерности три). пространство более высокого измерения).

В пространствах более высоких измерений

Нельзя определить понятие алгебраической поверхности в пространстве размерности выше трех без общего определения алгебраического многообразия и размерности алгебраического многообразия . Фактически, алгебраическая поверхность - это алгебраическое многообразие размерности два .

Точнее, алгебраическая поверхность в пространстве размерности n - это набор общих нулей по крайней мере n - 2 многочленов, но эти многочлены должны удовлетворять дополнительным условиям, проверка которых может оказаться непосильной. Во-первых, многочлены не должны определять многообразие или алгебраическое множество более высокой размерности, что обычно имеет место, если один из многочленов находится в идеале, порожденном другими. Как правило, n - 2 полинома определяют алгебраический набор размерности два или выше. Если размерность равна двум, алгебраическое множество может иметь несколько неприводимых компонентов . Если есть только один компонент, n - 2 полинома определяют поверхность, которая является полным пересечением . Если компонентов несколько, то для выбора конкретного компонента требуются дополнительные полиномы.

Большинство авторов рассматривают в качестве алгебраической поверхности только алгебраические многообразия размерности два, но некоторые также рассматривают как поверхности все алгебраические множества, неприводимые компоненты которых имеют размерность два.

В случае поверхностей в пространстве размерности три каждая поверхность является полным пересечением, а поверхность определяется одним полиномом, который является неприводимым или нет, в зависимости от того, рассматриваются ли неприводимые алгебраические множества размерности два как поверхности или не.

Абстрактная алгебраическая поверхность

Рациональные поверхности - это алгебраические поверхности.

Топологическая поверхность

В топологии поверхность обычно определяется как двумерное многообразие . Это означает , что топологическая поверхность является топологическим пространством , что каждая точка имеет окрестность , которая гомеоморфно к открытому подмножеству в виде евклидовой плоскости .

Каждая топологическая поверхность гомеоморфна многогранной поверхности , все грани которой являются треугольниками . Комбинаторное изучение таких механизмов треугольников (или, в более общем плане , многомерных симплексов ) является исходным объектом алгебраической топологии . Это позволяет характеризовать свойства поверхностей в терминах чисто алгебраических инвариантов , таких как род и группы гомологии .

Классы гомеоморфизма поверхностей полностью описаны (см. Поверхность (топология) ).

Дифференцируемая поверхность

Фрактальная поверхность

В компьютерной графике

Смотрите также

Примечания