Сверхплотное кодирование - Superdense coding

Когда отправитель и получатель совместно используют состояние Bell, два классических бита могут быть упакованы в один кубит. На схеме линии несут кубиты , а сдвоенные линии - классические биты . Переменные b ₁ и b ₂ являются классическими логическими значениями, а нули в левой части представляют чистое квантовое состояние . См. Раздел « Протокол » ниже для получения более подробной информации об этом изображении.${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

В теории квантовой информации , суперплотное кодирование (также упоминаются как кодирование плотного ) представляет собой квантовые коммуникационный протокол для связи ряда классических бит информации лишь передачи меньшего числа кубитов, в предположении отправителя и полученный предварительно обмен запутанного ресурс. В своей простейшей форме протокол включает в себя две стороны, часто называемые в этом контексте Алисой и Бобом , которые совместно используют пару максимально запутанных кубитов и позволяют Алисе передавать два бита ( т. Е. Один из 00, 01, 10 или 11 ) Бобу, отправив только один кубит . Этот протокол был впервые предложен Беннеттом и Визнером в 1970 году (хотя не был опубликован ими до 1992 года) и экспериментально реализован в 1996 году Маттлом, Вайнфуртером, Квиатом и Цайлингером с использованием запутанных пар фотонов. Сверхплотное кодирование можно рассматривать как противоположность квантовой телепортации , при которой один кубит передается от Алисы к Бобу, передавая два классических бита, при условии, что Алиса и Боб имеют предварительно совместно используемую пару Белла.

Передача двух битов через один кубит стала возможной благодаря тому факту, что Алиса может выбрать одну из четырех операций квантовых вентилей для выполнения над своей долей запутанного состояния. Алиса определяет, какую операцию выполнить в соответствии с парой битов, которую она хочет передать. Затем она отправляет Бобу состояние кубита, эволюционировавшее через выбранные ворота . Таким образом, упомянутый кубит кодирует информацию о двух битах, которые Алиса использовала для выбора операции, и эта информация может быть извлечена Бобом благодаря предварительно разделенной запутанности между ними. После получения кубита Алисы, работы с парой и измерения обоих, Боб получает два классических бита информации. Стоит подчеркнуть, что если Алиса и Боб не разделяют запутанность заранее, то сверхплотный протокол невозможен, так как это нарушит теорему Холево .

Сверхплотное кодирование - это основополагающий принцип безопасного квантового секретного кодирования. Необходимость наличия обоих кубитов для декодирования отправляемой информации устраняет риск перехвата сообщений злоумышленниками.

Обзор

Предположим, Алиса хочет отправить Бобу два классических бита информации (00, 01, 10 или 11), используя кубиты (вместо классических битов ). Для этого запутанное состояние (например, состояние Белла) подготавливается с использованием схемы Белла или гейт Чарли, третьим лицом. Затем Чарли отправляет один из этих кубитов (в состоянии Белла) Алисе, а другой - Бобу. Как только Алиса получает свой кубит в запутанном состоянии, она применяет определенный квантовый вентиль к своему кубиту в зависимости от того, какое двухбитовое сообщение (00, 01, 10 или 11) она хочет отправить Бобу. Затем ее запутанный кубит отправляется Бобу, который, применив соответствующий квантовый вентиль и произведя измерения , может получить классическое двухбитовое сообщение. Обратите внимание, что Алисе не нужно сообщать Бобу, какой вентиль применять, чтобы получить правильные классические биты из его проективных измерений.

Протокол

Протокол можно разделить на пять этапов: подготовка, совместное использование, кодирование, отправка и декодирование.

Подготовка

Протокол начинается с подготовки запутанного состояния, которое позже распределяется между Алисой и Бобом. Предположим следующее состояние Белла

${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B} + | 1 \ rangle _ {A} \ otimes | 1 \ rangle _ {B})}$

где обозначает тензорное произведение . Примечание: мы можем опустить символ тензорного произведения и записать состояние Белла как ${\ displaystyle \ otimes}$${\ displaystyle \ otimes}$

${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0_ {A} 0_ {B} \ rangle + | 1_ {A} 1_ {B} \ rangle)}$.

Совместное использование

После подготовки состояния Белла кубит, обозначенный индексом A , отправляется Алисе, а кубит, обозначенный индексом B , отправляется Бобу (примечание: это причина, по которой эти состояния имеют индексы). В этот момент Алиса и Боб могут находиться в совершенно разных местах, которые могут быть очень удалены друг от друга. ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$

Между подготовкой и разделением запутанного состояния и остальными этапами процедуры может пройти длительный период времени . ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$

Кодирование

Применяя квантовый вентиль к своему кубиту локально, Алиса может преобразовать запутанное состояние в любое из четырех состояний Белла (включая, конечно, ). Обратите внимание, что этот процесс не может «разорвать» сцепление между двумя кубитами. ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$

Давайте теперь опишем, какие операции Алисе необходимо выполнить над своим запутанным кубитом, в зависимости от того, какое классическое двухбитовое сообщение она хочет отправить Бобу. Позже мы увидим, почему выполняются именно эти операции. Есть четыре случая, которые соответствуют четырем возможным двухбитовым строкам, которые Алиса может захотеть отправить.

1. Если Алиса хочет послать Бобу классическую двухбитовую строку 00, то она применяет квантовый вентиль тождества,, к своему кубиту, чтобы он оставался неизменным. Результирующее запутанное состояние тогда ${\ displaystyle \ mathbb {I} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle | B_ {00} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0_ {A} 0_ {B} \ rangle + | 1_ {A} 1_ {B} \ rangle) }$

Другими словами, запутанное состояние распределяется между Алисой и Бобом не изменилось, т.е. она по - прежнему . Обозначение также используется, чтобы напомнить нам о том, что Алиса хочет отправить двухбитную строку 00. ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$${\ displaystyle | B_ {00} \ rangle}$

2. Если Алиса хочет послать классическую два-битовую строку 01 Бобу, то она применяет квантовую NOT (или бит-флип ) ворота , к ее кубиту, так что результирующее запутанным квантовое состояние становится ${\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle | B_ {01} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 1_ {A} 0_ {B} \ rangle + | 0_ {A} 1_ {B} \ rangle) }$

3. Если Алиса хочет послать Бобу классическую двухбитовую строку 10, то она применяет квантовый вентиль с переворотом фазы к своему кубиту, так что результирующее запутанное состояние становится ${\ Displaystyle Z = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle | B_ {10} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0_ {A} 0_ {B} \ rangle - | 1_ {A} 1_ {B} \ rangle) }$

4. Если вместо этого Алиса хочет отправить Бобу классическую двухбитовую строку 11, то она применяет квантовый вентиль к своему кубиту, так что результирующее запутанное состояние становится ${\ Displaystyle Z * X = iY}$

${\ displaystyle | B_ {11} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0_ {A} 1_ {B} \ rangle - | 1_ {A} 0_ {B} \ rangle) }$

Матрицы , и являются двумя матрицами Паули . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Y}$

Отправка

После выполнения одной из операций, описанных выше, Алиса может отправить свой запутанный кубит Бобу с помощью квантовой сети через некую обычную физическую среду.

Расшифровка

Чтобы Боб мог узнать, какие классические биты послала Алиса, он выполнит унитарную операцию CNOT с A в качестве управляющего кубита и B в качестве целевого кубита. Затем он выполнит унитарную операцию над запутанным кубитом A. Другими словами, квантовый вентиль Адамара H применяется только к A (см. Рисунок выше). ${\ displaystyle H \ otimes I}$

• Если результирующее запутанное состояние было, то после применения вышеуказанных унитарных операций запутанное состояние станет${\ displaystyle B_ {00}}$${\ displaystyle | 00 \ rangle}$
• Если результирующее запутанное состояние было, то после применения вышеуказанных унитарных операций запутанное состояние станет${\ displaystyle B_ {01}}$${\ displaystyle | 01 \ rangle}$
• Если результирующее запутанное состояние было, то после применения вышеуказанных унитарных операций запутанное состояние станет${\ displaystyle B_ {10}}$${\ displaystyle | 10 \ rangle}$
• Если результирующее запутанное состояние было, то после применения вышеуказанных унитарных операций запутанное состояние станет${\ displaystyle B_ {11}}$${\ displaystyle | 11 \ rangle}$

Эти операции, выполняемые Бобом, можно рассматривать как измерение, которое проецирует запутанное состояние на один из четырех двухкубитных базисных векторов или (как вы можете видеть из результатов и примера ниже). ${\ displaystyle | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle}$${\ displaystyle | 11 \ rangle}$

Пример

Например, если результирующее запутанное состояние (после операций, выполненных Алисой) было , то CNOT с A в качестве управляющего бита и B в качестве целевого бита изменится на . Теперь вентиль Адамара применяется только к A, чтобы получить ${\ displaystyle B_ {01} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 1_ {A} 0_ {B} \ rangle + | 0_ {A} 1_ {B} \ rangle)}$${\ displaystyle B_ {01}}$${\ displaystyle B_ {01} '= {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 1_ {A} 1_ {B} \ rangle + | 0_ {A} 1_ {B} \ rangle)}$

${\ displaystyle B_ {01} '' = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle - | 1 \ rangle) \ right)} _ {A} \ otimes | 1_ {B} \ rangle + {\ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle + | 1 \ rangle) \ right)} _ {A} \ otimes | 1_ {B} \ rangle \ right)}$

Для простоты избавимся от индексов, так что у нас есть

${\ displaystyle B_ {01} '' = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle - | 1 \ rangle) \ otimes | 1 \ rangle + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle + | 1 \ rangle) \ otimes | 1 \ rangle \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 01 \ rangle - | 11 \ rangle) + {\ frac {1} {\ sqrt {2}} } (| 01 \ rangle + | 11 \ rangle) \ right) = {\ frac {1} {2}} | 01 \ rangle - {\ frac {1} {2}} | 11 \ rangle + {\ frac { 1} {2}} | 01 \ rangle + {\ frac {1} {2}} | 11 \ rangle = | 01 \ rangle}$

Теперь у Боба есть базовое состояние , поэтому он знает, что Алиса хотела отправить двухбитную строку 01. ${\ displaystyle | 01 \ rangle}$

Безопасность

Сверхплотное кодирование - это форма безопасной квантовой коммуникации. Если перехватчик, обычно называемый Евой, перехватывает кубит Алисы на пути к Бобу, все, что получает Ева, является частью запутанного состояния. Без доступа к кубиту Боба Ева не может получить какую-либо информацию от кубита Алисы. Третья сторона не может подслушивать информацию, передаваемую посредством сверхплотного кодирования, и попытка измерить любой из кубитов приведет к коллапсу состояния этого кубита и предупреждению Боба и Алисы.

Общая схема плотного кодирования

Общие схемы плотного кодирования могут быть сформулированы на языке, используемом для описания квантовых каналов . Алиса и Боб разделяют максимально запутанное состояние ω . Обозначим подсистемы, изначально принадлежащие Алисе и Бобу, 1 и 2 соответственно. Для передачи сообщения x Алиса применяет соответствующий канал

${\ displaystyle \; \ Phi _ {x}}$

в подсистеме 1. В комбинированной системе это выполняется

${\ Displaystyle \ omega \ rightarrow (\ Phi _ {x} \ otimes I) (\ omega)}$

где I обозначает карту идентичности в подсистеме 2. Затем Алиса отправляет свою подсистему Бобу, который выполняет измерение в объединенной системе для восстановления сообщения. Пусть измерение Боба моделируется POVM с положительными полуопределенными операторами, такими что . Таким образом, вероятность того, что измерительное устройство Боба зарегистрирует сообщение, равна ${\ displaystyle \ {F_ {y} \} _ {y}}$${\ displaystyle F_ {y}}$${\ textstyle \ sum _ {y} F_ {y} = I}$${\ displaystyle y}$

$${\ Displaystyle п (Y | Икс) = \ langle F_ {Y}, (\ Phi _ {x} \ otimes I) (\ omega) \ rangle \ Equiv \ OperatorName {Tr} [F_ {y} (\ Phi _ {x} \ otimes I) (\ omega)].}$$

$${\ displaystyle p (y | x) = \ operatorname {Tr} [F_ {y} (\ Phi _ {x} \ otimes I) (\ omega)] = \ delta _ {xy},}$$

. ${\ displaystyle \ delta _ {xy}}$

Экспериментальный

Протокол сверхплотного кодирования был актуализирован в нескольких экспериментах с использованием различных систем для различных уровней пропускной способности канала и точности. В 2004 году захваченные ионы бериллия 9 использовались в максимально запутанном состоянии для достижения пропускной способности канала 1,16 с точностью 0,85. В 2017 году пропускная способность канала 1,665 была достигнута с точностью 0,87 для оптических волокон. Квартаны высокой размерности (состояния, сформированные в парах фотонов посредством невырожденного спонтанного параметрического преобразования с понижением частоты) использовались для достижения пропускной способности канала 2,09 (с пределом 2,32) с точностью 0,98. Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) также использовался для разделения между тремя сторонами.

использованная литература

• Уайльд, Марк М., 2017, Quantum Information Theory, Cambridge University Press , также доступно в eprint arXiv: 1106.1145

внешние ссылки

• Кубиты, квантовая механика и компьютеры: заметки по курсу
• Сверхплотное кодирование: как отправить два бита с помощью одного кубита на YouTube , Майкл Нильсен