Подпроизводная - Subderivative

Выпуклая функция (синий) и «субкасательные линии» в точке x ₀ (красный).

В математике , в Субдифференциале , субградиент и Субдифференциал обобщает производный для выпуклых функций , которые не обязательно дифференцируемы . Подпроизводные возникают в выпуклом анализе , изучении выпуклых функций , часто в связи с выпуклой оптимизацией .

Пусть - вещественнозначная выпуклая функция, определенная на открытом отрезке вещественной прямой. Такая функция не обязательно должна быть дифференцируемой во всех точках: например, функция абсолютного значения f ( x ) = | х | недифференцируема при x = 0. Однако, как видно на графике справа (где f (x) синим цветом имеет недифференцируемые изгибы, аналогичные функции абсолютного значения), для любого x ₀ в области определения функции можно провести линию, проходящую через point ( x ₀ , f ( x ₀ )) и который всюду касается графика f или находится под ним . Наклон такой линии называется Субдифференциал (потому что линия находится под графиком F ). ${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$

Определение

Строго говоря, производная выпуклой функции в точке x ₀ на открытом интервале I - это действительное число c такое, что ${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle f (x) -f (x_ {0}) \ geq c (x-x_ {0})}$

для всех х в I . Можно показать, что множество подчиненных в точке x ₀ для выпуклой функции представляет собой непустой отрезок [ a , b ], где a и b - односторонние пределы

${\ displaystyle a = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}}}$

${\ displaystyle b = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}}}$

которые гарантированно существуют и удовлетворяют a ≤ b .

Множество [ a , b ] всех подчиненных производных называется субдифференциалом функции f в точке x ₀ . Поскольку f выпуклая, если ее субдифференциал at содержит ровно одну производную, то f дифференцируем в точке . ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Пример

Рассмотрим функцию f ( x ) = | х | который выпуклый. Тогда субдифференциал в нуле - это интервал [−1, 1]. Субдифференциал в любой точке x ₀ <0 - это одноэлементный набор {−1}, а субдифференциал в любой точке x ₀ > 0 - одноэлементный набор {1}. Это похоже на знаковую функцию , но не является однозначной функцией в 0, а включает все возможные подчиненные производные.

Характеристики

• Выпуклая функция f : I → R дифференцируема в точке x ₀ тогда и только тогда, когда субдифференциал состоит только из одной точки, которая является производной в точке x ₀ .
• Точка x ₀ является глобальным минимумом выпуклой функции f тогда и только тогда, когда ноль содержится в субдифференциале, то есть на рисунке выше можно провести горизонтальную «субкасательную линию» к графику f в точке ( x ₀ , f ( x ₀ )). Это последнее свойство является обобщением того факта, что производная функции, дифференцируемой в локальном минимуме, равна нулю.
• Если и выпуклые функции с субдифференциалами и с является внутренней точкой одной из функций, то субдифференциале является (где оператор сложения обозначает сумму Минковской ). Это читается как «субдифференциал суммы есть сумма субдифференциалов».${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ partial f (x)}$${\ displaystyle \ partial g (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f + g}$${\ Displaystyle \ partial (f + g) (x) = \ partial f (x) + \ partial g (x)}$

Субградиент

Понятия субпроизводной и субдифференциала можно обобщить на функции нескольких переменных. Если f : U → R - выпуклая функция с действительными значениями, определенная на выпуклом открытом множестве в евклидовом пространстве R ⁿ , вектор в этом пространстве называется субградиентом в точке x ₀ в U, если для любого x в U выполняется ${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle е (х) -f (х_ {0}) \ geq v \ cdot (х-х_ {0})}$

где точка обозначает скалярное произведение . Множество всех субградиентов в точке x ₀ называется субдифференциалом в точке x ₀ и обозначается ∂ f ( x ₀ ). Субдифференциал - это всегда непустой выпуклый компакт .

Эти понятия обобщают далее выпуклых функций F : U → R на выпуклом множестве в локально выпуклом пространстве V . Функционал ^∗ в сопряженном пространстве V ^∗ называется субградиентом в точке x ₀ в U, если для всех x в U${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle f (x) -f (x_ {0}) \ geq v ^ {*} (x-x_ {0}).}$

Множество всех субградиентов в точке x ₀ называется субдифференциалом в точке x ₀ и снова обозначается ∂ f ( x ₀ ). Субдифференциал всегда является выпуклым замкнутым множеством . Это может быть пустой набор; рассмотрим, например, неограниченный оператор , который является выпуклым, но не имеет субградиента. Если f непрерывна, субдифференциал непуст.

История

Субдифференциал выпуклых функций был введен Жаном Жаком Моро и Р. Тирреллом Рокафелларом в начале 1960-х годов. Обобщен Субдифференциал для невыпуклых функций был введен FH Кларком и RT Рокфеллером в начале 1980 - х годов.

Смотрите также

• Слабая производная
• Субградиентный метод

использованная литература

• Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан С. (2010). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-31256-9.
• Хириар-Уррути, Жан-Батист; Лемарешаль, Клод (2001). Основы выпуклого анализа . Springer. ISBN 3-540-42205-6.
• Зэлинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . World Scientific Publishing Co., Inc., стр. Xx + 367. ISBN 981-238-067-1. Руководство по ремонту  1921556 .

внешние ссылки

• «Использование »${\ displaystyle \ lim \ limits _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (xh)} {2h}}}$ . Обмен стеками . 15 июля 2002 г.