Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр - Stone's representation theorem for Boolean algebras

В математике , теорема о представлении Стоун для булевых алгебр состояний , что каждая булева алгебра является изоморфной в определенную область множеств . Теорема является фундаментальной для более глубокого понимания булевой алгебры , возникшего в первой половине 20 века. Теорема была впервые доказана Маршаллом Х. Стоуном . Стоун привел к нему его изучению спектральной теории из операторов на гильбертовом пространстве .

Каменные пространства

Каждая булева алгебра B имеет ассоциированное топологическое пространство, обозначаемое здесь S ( B ), которое называется ее пространством Стоуна . Точки в S ( B ) являются ультрафильтрами на B или, что эквивалентно, гомоморфизмами из B в двухэлементную булеву алгебру . Топология на S ( B ) порождается (замкнутым) базисом, состоящим из всех множеств вида

где Ь является элементом B . Это топология поточечной сходимости сетей гомоморфизмов в двухэлементную булеву алгебру.

Для каждой булевой алгебры B , S ( B ) представляет собой компактное полностью отсоединен хаусдорфовым ; такие пространства называются каменными пространствами (также проконечными пространствами ). Наоборот, учитывая любое топологическое пространство X , совокупность подмножеств X , которые замкнутых (как закрытых , так и открытых) является Булева алгебра.

Теорема представления

Простая версия теоремы Стоуна о представлении утверждает, что каждая булева алгебра B изоморфна алгебре открыто-замкнутых подмножеств ее пространства Стоуна S ( B ). Изоморфизм отправляет элемент во множество всех ультрафильтров, содержащих b . Это открыто-замкнутое множество из-за выбора топологии на S ( B ) и потому, что B - булева алгебра.

Переформулируем теорему на языке теории категорий ; то теорема утверждает , что существует двойственность между категорией из булевых алгебр и категорией каменных пространств. Эта двойственность означает, что помимо соответствия между булевыми алгебрами и их пространствами Стоуна, каждый гомоморфизм булевой алгебры A в булеву алгебру B естественным образом соответствует непрерывной функции из S ( B ) в S ( A ). Другими словами, существует контравариантный функтор, который обеспечивает эквивалентность категорий. Это был ранний пример нетривиальной двойственности категорий.

Теорема представляет собой частный случай двойственности Стоуна , более общую основу для двойственности между топологическими пространствами и частично упорядоченными множествами .

Доказательство требует либо аксиомы выбора, либо ее ослабленной формы. В частности, теорема эквивалентна булевой теореме о простом идеале , ослабленному принципу выбора, который утверждает, что каждая булева алгебра имеет простой идеал.

Распространение классической двойственности Стоуна на категорию булевых пространств (= нульмерных локально компактных хаусдорфовых пространств) и непрерывных отображений (соответственно совершенных отображений) было получено Г. Д. Димовым (соответственно, HP Doctor).

Смотрите также

Цитаты

использованная литература