Закон Стокса - Stokes' law

В 1851 году Джордж Габриэль Стокс вывел выражение, теперь известное как закон Стокса , для силы трения, также называемой силой сопротивления, действующей на сферические объекты с очень маленькими числами Рейнольдса в вязкой жидкости . Закон Стокса выводится путем решения предела Стокса для малых чисел Рейнольдса уравнений Навье – Стокса .

Заявление закона

Сила вязкости на небольшой сфере, движущейся в вязкой жидкости, определяется выражением:

куда:

  • F d - сила трения, известная как сопротивление Стокса, действующая на границу раздела между жидкостью и частицей.
  • μ - динамическая вязкость (некоторые авторы используют символ η )
  • R - радиус сферического объекта
  • v - скорость потока относительно объекта.

В системе единиц СИ , Р д дается в ньютонах (= кг мс -2 ), М в Па · с (= кг · м -1 с -1 ), R в метрах, и V в м / с.

Закон Стокса делает следующие предположения относительно поведения частицы в жидкости:

Для молекул используется закон Стокса, чтобы определить их радиус Стокса и диаметр .

CGS единица кинематической вязкости был назван «Stokes» после его работы.

Приложения

Закон Стокса лежит в основе вискозиметра с падающей сферой , в котором жидкость неподвижна в вертикальной стеклянной трубке. Сфера известного размера и плотности может опускаться через жидкость. При правильном выборе он достигает предельной скорости, которую можно измерить по времени, необходимому для прохождения двух отметок на трубке. Электронное зондирование может использоваться для непрозрачных жидкостей. Зная конечную скорость, размер и плотность сферы, а также плотность жидкости, закон Стокса можно использовать для расчета вязкости жидкости. В классическом эксперименте обычно используются стальные шарикоподшипники разного диаметра для повышения точности расчетов. В школьном эксперименте в качестве жидкости используется глицерин или золотой сироп , а этот метод используется в промышленности для проверки вязкости жидкостей, используемых в технологических процессах. Некоторые школьные эксперименты часто включают изменение температуры и / или концентрации используемых веществ, чтобы продемонстрировать влияние, которое это оказывает на вязкость. Промышленные методы включают множество различных масел и полимерных жидкостей, таких как растворы.

Важность закона Стокса подтверждается тем фактом, что он сыграл решающую роль в исследовании, которое привело к получению по крайней мере трех Нобелевских премий.

Закон Стокса важен для понимания плавания микроорганизмов и сперматозоидов ; также осаждение мелких частиц и организмов в воде под действием силы тяжести.

В воздухе ту же теорию можно использовать для объяснения того, почему маленькие капли воды (или кристаллы льда) могут оставаться взвешенными в воздухе (в виде облаков) до тех пор, пока они не вырастут до критических размеров и не начнут падать в виде дождя (или снега с градом). Аналогичное использование уравнения может быть сделано при осаждении мелких частиц в воде или других жидкостях.

Конечная скорость шара, падающего в жидкости

Ползучий поток мимо падающей сферы в жидкости (например, капли тумана, падающей в воздух): линии тока , сила сопротивления F d и сила тяжести F g .

При конечной скорости (или скорости оседания) избыточная сила F g, возникающая из-за разницы между весом и плавучестью шара (и то и другое вызвано силой тяжести ), определяется как:

где ρ p и ρ f - массовые плотности шара и жидкости соответственно, а g - ускорение свободного падения . Требование баланса сил F d  =  F g и решение для скорости v дает конечную скорость v s . Обратите внимание, что, поскольку избыточная сила увеличивается при R 3, а сопротивление Стокса увеличивается как R , конечная скорость увеличивается как R 2 и, таким образом, сильно зависит от размера частиц, как показано ниже. Если частица испытывает только свой собственный вес при падении в вязкой жидкости, то конечная скорость достигается, когда сумма сил трения и выталкивающей силы на частицу из-за жидкости точно уравновешивает гравитационную силу . Эта скорость v (м / с) определяется как:

(вертикально вниз, если ρ p  >  ρ f , вверх, если ρ p  <  ρ f  ), где:

  • g - напряженность гравитационного поля (м / с 2 )
  • R - радиус сферической частицы (м)
  • ρ p - массовая плотность частицы (кг / м 3 )
  • ρ f - массовая плотность жидкости (кг / м 3 )
  • μ - динамическая вязкость (кг / (м * с)).

Вывод

Устойчивый сток Стокса

В стоксовом потоке при очень низком числе Рейнольдса члены, вызывающие конвективное ускорение, в уравнениях Навье – Стокса не учитываются. Тогда уравнения потока принимают вид для стационарного несжимаемого потока :

куда:

Используя некоторые тождества векторного исчисления , можно показать, что эти уравнения приводят к уравнениям Лапласа для давления и каждой из компонент вектора завихренности:

  и  

Дополнительные силы, такие как силы тяжести и плавучести, не учитывались, но их можно легко добавить, поскольку приведенные выше уравнения являются линейными, поэтому может применяться линейная суперпозиция решений и связанных сил.

Поперечное обтекание сферы

Линии тока ползучего обтекания сферы в жидкости. Isocontours о ф функции (значения в контурных наклеек).

Для случая сферы в однородном потоке в дальней зоне выгодно использовать цилиндрическую систему координат ( rφz ). Г ось лежит через центр сферы и выровнены с направлением среднего потока, в то время как г есть радиус, измеренный перпендикулярно г оси х. Начало координат находится в центре сферы. Поскольку поток осесимметричен относительно оси z , он не зависит от азимута φ .

В этой цилиндрической системе координат поток несжимаемой жидкости можно описать функцией тока Стокса ψ , зависящей от r и z :

где u r и u z - компоненты скорости потока в направлениях r и z соответственно. В этом осесимметричном случае азимутальная составляющая скорости в направлении φ равна нулю. Объемный поток через трубку, ограниченную поверхностью некоторого постоянного значения ψ , равен 2π ψ и является постоянным.

Для этого случая осесимметричного потока, единственный ненулевой компонент завихренности вектора со является азимутального ф -компонента ш ф

Оператор Лапласа , примененный к завихренности ω φ , принимает вид в этой цилиндрической системе координат с осесимметрией:

Из предыдущих двух уравнений и с соответствующими граничными условиями для скорости u однородного потока в дальней зоне в направлении z и сферы радиуса R найдено решение

Стокса-обтекание сферы с параметрами скорости в дальнем поле , радиуса сферы , вязкости воды (T = 20 ° C) . Показаны силовые линии поля скорости и амплитуды скорости, давления и завихренности с псевдоцветами.

Решение скорости в цилиндрических координатах и компонентах выглядит следующим образом:

Решение завихренности в цилиндрических координатах выглядит следующим образом:

Решение давления в цилиндрических координатах выглядит следующим образом:

Решение давления в сферических координатах выглядит следующим образом:

Формулу давления также называют диполь-потенциалом в аналогах электростатики.

Далее следует более общая формулировка с произвольным вектором скорости в дальней зоне в декартовых координатах :

В этой формулировке неконсервативный термин представляет собой разновидность так называемого Стокслета . Стокслет - это функция Грина уравнений Стокса-потока. Консервативный член равен диполь-градиентному полю . Формула завихренности - это разновидность формулы Био-Савара , которая также используется в электромагнетизме .

Следующая формула описывает тензор вязких напряжений для частного случая стоксова течения. Это необходимо для расчета силы, действующей на частицу. В декартовых координатах вектор-градиент идентичен матрице якобиана . Матрица представляет собой единичную матрицу .

Сила, действующая на сферу, рассчитывается с помощью поверхностного интеграла, где представляет собой радиальный единичный вектор сферических координат :

Стокс-обтекание сферы: , ,

Вращательное обтекание сферы

Другие типы течения Стокса

Хотя жидкость статична, и сфера движется с определенной скоростью относительно рамки сферы, сфера находится в покое, а жидкость течет в направлении, противоположном движению сферы.

Смотрите также

Источники

  • Бэтчелор, GK (1967). Введение в динамику жидкости . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2.
  • Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9. Первоначально опубликованное в 1879 году, 6-е расширенное издание впервые появилось в 1932 году.

использованная литература