Уравнение Стейнхарта – Харта - Steinhart–Hart equation

Уравнение Стейнхарта-Харт является моделью сопротивления в виде полупроводника при различных температурах . Уравнение

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} = A + B \ ln R + C (\ ln R) ^ {3},}$

куда

${\ displaystyle T}$- температура (в кельвинах ),

${\ displaystyle R}$сопротивление при (в Ом),${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle A}$, и - коэффициенты Стейнхарта – Харта , которые меняются в зависимости от типа и модели термистора, а также интересующего температурного диапазона.${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

Использование уравнения

Уравнение часто используется для получения точной температуры термистора, поскольку оно обеспечивает более точное приближение к реальной температуре, чем более простые уравнения, и полезно во всем диапазоне рабочих температур датчика. Коэффициенты Стейнхарта – Харта обычно публикуются производителями термисторов.

Если коэффициенты Стейнхарта – Харта недоступны, их можно вывести. При точных температурах делаются три точных меры сопротивления, затем коэффициенты вычисляются путем решения трех одновременных уравнений .

Обратное к уравнению

Чтобы найти сопротивление полупроводника при заданной температуре, необходимо использовать обратное уравнение Стейнхарта – Харта. См. Примечания по применению «Коэффициенты A, B, C для уравнения Стейнхарта – Харта».

${\ displaystyle R = \ exp \ left ({\ sqrt [{3}] {yx / 2}} - {\ sqrt [{3}] {y + x / 2}} \ right),}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = {\ frac {1} {C}} \ left (A - {\ frac {1} {T}} \ right), \\ y & = {\ sqrt {\ left ({\ frac {B} {3C}} \ right) ^ {3} + {\ frac {x ^ {2}} {4}}}}. \ end {выравнивается}}}$

Коэффициенты Стейнхарта – Харта.

Чтобы найти коэффициенты Стейнхарта – Харта, нам нужно знать как минимум три рабочие точки. Для этого мы используем три значения сопротивления для трех известных температур.

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & \ ln R_ {1} & \ ln ^ {3} R_ {1} \\ 1 & \ ln R_ {2} & \ ln ^ {3} R_ {2} \\ 1 & \ ln R_ {3} & \ ln ^ {3} R_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} A \\ B \\ C \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} { \ frac {1} {T_ {1}}} \\ {\ frac {1} {T_ {2}}} \\ {\ frac {1} {T_ {3}}} \ end {bmatrix}}}$

При , и значения сопротивления при температурах , и , можно выразить , и (все расчеты): ${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle R_ {2}}$${\ displaystyle R_ {3}}$${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {3}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle {\ begin {align} L_ {1} & = \ ln R_ {1}, \ quad L_ {2} = \ ln R_ {2}, \ quad L_ {3} = \ ln R_ {3} \ \ Y_ {1} & = {\ frac {1} {T_ {1}}}, \ quad Y_ {2} = {\ frac {1} {T_ {2}}}, \ quad Y_ {3} = { \ frac {1} {T_ {3}}} \\\ gamma _ {2} & = {\ frac {Y_ {2} -Y_ {1}} {L_ {2} -L_ {1}}}, \ quad \ gamma _ {3} = {\ frac {Y_ {3} -Y_ {1}} {L_ {3} -L_ {1}}} \\\ Rightarrow C & = \ left ({\ frac {\ gamma _ {3} - \ gamma _ {2}} {L_ {3} -L_ {2}}} \ right) \ left (L_ {1} + L_ {2} + L_ {3} \ right) ^ {- 1 } \\\ Стрелка вправо B & = \ gamma _ {2} -C \ left (L_ {1} ^ {2} + L_ {1} L_ {2} + L_ {2} ^ {2} \ right) \\\ Стрелка вправо A & = Y_ {1} - \ left (B + L_ {1} ^ {2} C \ right) L_ {1} \ end {align}}}$

Разработчики уравнения

Уравнение названо в честь Джона С. Стейнхарта и Стэнли Р. Харта, которые впервые опубликовали это соотношение в 1968 году. Профессор Стейнхарт (1929–2003), член Американского геофизического союза и Американской ассоциации содействия развитию науки , был член факультета Университета Висконсин-Мэдисон с 1969 по 1991 год. Доктор Харт, старший научный сотрудник Океанографического института Вудс-Хоул с 1989 года, член Геологического общества Америки , Американского геофизического союза, Геохимического общества и Европейской ассоциации. геохимии , был связан с профессором Стейнхартом из Института Карнеги в Вашингтоне, когда уравнение было разработано.

Вывод и альтернативы

Самую общую форму уравнения можно получить, расширив уравнение параметра B до бесконечного ряда:

${\ displaystyle R = R_ {0} e ^ {B \ left ({\ frac {1} {T}} - {\ frac {1} {T_ {0}}} \ right)}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} = {\ frac {1} {T_ {0}}} + {\ frac {1} {B}} \ left (\ ln {\ frac {R} { R_ {0}}} \ right) = a_ {0} + a_ {1} \ ln {\ frac {R} {R_ {0}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ left (\ ln {\ frac {R} {R_ {0}}} \ справа) ^ {n}}$

${\ displaystyle R_ {0}}$является эталонным (стандартным) значением сопротивления. Уравнение Стейнхарта – Харта предполагает, что оно равно 1 Ом. Подгонка кривой намного менее точна, когда она предполагается и используется другое значение, например 1 кОм. Однако использование полного набора коэффициентов позволяет избежать этой проблемы, поскольку это просто приводит к смещению параметров. ${\ displaystyle R_ {0}}$${\ displaystyle a_ {2} = 0}$${\ displaystyle R_ {0}}$

В исходной статье Стейнхарт и Харт отмечают, что разрешение ухудшило соответствие. Это удивительно, потому что если больше свободы, то посадка будет лучше. Это может быть потому, что авторы подходят вместо , и, таким образом, ошибка увеличивается из-за дополнительной свободы. Последующие статьи обнаружили большую пользу в разрешении . ${\ displaystyle a_ {2} \ neq 0}$${\ displaystyle 1 / T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle a_ {2} \ neq 0}$

Уравнение было разработано путем тестирования множества уравнений методом проб и ошибок и выбрано благодаря его простой форме и хорошему соответствию. Однако в своей первоначальной форме уравнение Стейнхарта – Харта недостаточно точно для современных научных измерений. Для интерполяции с использованием небольшого количества измерений было обнаружено , что расширение ряда с точностью до 1 мК в калиброванном диапазоне. Некоторые авторы рекомендуют использовать . Если имеется много точек данных, стандартная полиномиальная регрессия также может генерировать точные аппроксимации кривой. Некоторые производители начали предоставлять коэффициенты регрессии в качестве альтернативы коэффициентам Стейнхарта – Харта. ${\ displaystyle n = 4}$${\ displaystyle n = 5}$

использованная литература

внешние ссылки

• Калькулятор коэффициентов Стейнхарта-Харта онлайн
• Калькулятор коэффициентов Стейнхарта-Харта Java