Сквирмер - Squirmer

Сферический микроплавец в потоке Стокса

Squirmer является моделью для сферического microswimmer плавания в потоке Стокса . Модель сквирмера была введена Джеймсом Лайтхиллом в 1952 году и усовершенствована и использована для моделирования парамециума Джоном Блейком в 1971 году. Блейк использовал модель сквирмера для описания потока, создаваемого ковром из бьющихся коротких нитей, называемых ресничками, на поверхности парамециума. Сегодня сквирмер - это стандартная модель для изучения самодвижущихся частиц , таких как частицы Януса , в стоксовом потоке.

Поле скорости в кадре частицы

Здесь мы даем поле течения сквирмера в случае недеформируемого осесимметричного сферического сквирмера (радиус ). Эти выражения даны в сферической системе координат . ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle u_ {r} (r, \ theta) = {\ frac {2} {3}} \ left ({\ frac {R ^ {3}} {r ^ {3}}} - 1 \ right) B_ {1} P_ {1} (\ cos \ theta) + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {R ^ {n + 2}} {r ^ {n + 2 }}} - {\ frac {R ^ {n}} {r ^ {n}}} \ right) B_ {n} P_ {n} (\ cos \ theta) \ ;,}$
${\ displaystyle u _ {\ theta} (r, \ theta) = {\ frac {2} {3}} \ left ({\ frac {R ^ {3}} {2r ^ {3}}} + 1 \ right ) B_ {1} V_ {1} (\ cos \ theta) + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} \ left (n {\ frac {R ^ { n + 2}} {r ^ {n + 2}}} + (2-n) {\ frac {R ^ {n}} {r ^ {n}}} \ right) B_ {n} V_ {n} (\ соз \ тета) \ ;.}$

Здесь постоянные коэффициенты, - многочлены Лежандра , и . Один находит . Выражения выше относятся к движущейся частице. На интерфейсе можно найти и . ${\ displaystyle B_ {n}}$${\ Displaystyle P_ {п} (\ соз \ тета)}$${\ displaystyle V_ {n} (\ cos \ theta) = {\ frac {-2} {n (n + 1)}} \ partial _ {\ theta} P_ {n} (\ cos \ theta)}$
${\ displaystyle P_ {1} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta, P_ {2} (\ cos \ theta) = {\ tfrac {1} {2}} (3 \ cos ^ {2} \ theta -1), \ точки, V_ {1} (\ cos \ theta) = \ sin \ theta, V_ {2} (\ cos \ theta) = {\ tfrac {1} {2}} \ sin 2 \ theta, \ точки}$
${\ displaystyle u _ {\ theta} (R, \ theta) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {n} V_ {n}}$${\ displaystyle u_ {r} (R, \ theta) = 0}$

Шейкер, ${\ displaystyle \ beta = - \ infty}$	Толкатель, ${\ displaystyle \ beta = -5}$	Нейтральный, ${\ displaystyle \ beta = 0}$	Съемник, ${\ displaystyle \ beta = 5}$	Шейкер, ${\ Displaystyle \ бета = \ infty}$	Пассивная частица
Шейкер, ${\ displaystyle \ beta = - \ infty}$	Толкатель, ${\ displaystyle \ beta = -5}$	Нейтральный, ${\ displaystyle \ beta = 0}$	Съемник, ${\ displaystyle \ beta = 5}$	Шейкер, ${\ Displaystyle \ бета = \ infty}$	Пассивная частица
Поле скорости сквирмера и пассивной частицы (верхний ряд: лабораторная рамка, нижний ряд: рамка пловца)

Скорость плавания и лабораторный корпус

Используя теорему взаимности Лоренца , можно найти вектор скорости частицы . Расход в фиксированной лабораторной раме определяется выражением : ${\ Displaystyle \ mathbf {U} = - {\ tfrac {1} {2}} \ int \ mathbf {u} (R, \ theta) \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta = {\ tfrac {2 } {3}} Б_ {1} \ mathbf {e} _ {z}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} ^ {L} = \ mathbf {u} + \ mathbf {U}}$

${\ displaystyle u_ {r} ^ {L} (r, \ theta) = {\ frac {R ^ {3}} {r ^ {3}}} UP_ {1} (\ cos \ theta) + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {R ^ {n + 2}} {r ^ {n + 2}}} - {\ frac {R ^ {n}} {r ^ { n}}} \ right) B_ {n} P_ {n} (\ cos \ theta) \ ;,}$
${\ displaystyle u _ {\ theta} ^ {L} (r, \ theta) = {\ frac {R ^ {3}} {2r ^ {3}}} UV_ {1} (\ cos \ theta) + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} \ left (n {\ frac {R ^ {n + 2}} {r ^ {n + 2}}} + (2 -n) {\ frac {R ^ {n}} {r ^ {n}}} \ right) B_ {n} V_ {n} (\ cos \ theta) \ ;.}$

со скоростью плавания . Обратите внимание, что и . ${\ Displaystyle U = | \ mathbf {U} |}$${\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow \ infty} \ mathbf {u} ^ {L} = 0}$${\ Displaystyle и_ {г} ^ {L} (Р, \ тета) \ neq 0}$

Структура потока и параметр сквирмера

Приведенные выше ряды часто усекаются при изучении потока в дальней зоне . В этом приближении с параметром squirmer . Первая мода характеризует диполь гидродинамического источника с затуханием (а вместе с тем и скорость плавания ). Вторая мода соответствует гидродинамическому стресслету или силовому диполю с затуханием . Таким образом, дает соотношение обоих вкладов и направление силового диполя. используется для разделения микропловцов на толкачей, пулеров и нейтральных пловцов. ${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle r \ gg R}$${\ displaystyle u _ {\ theta} (R, \ theta) = B_ {1} \ sin \ theta + {\ tfrac {1} {2}} B_ {2} \ sin 2 \ theta}$${\ Displaystyle \ бета = B_ {2} / | B_ {1} |}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle \ propto 1 / r ^ {3}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle \ propto 1 / r ^ {2}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta}$

Тип пловца	толкатель	нейтральный пловец	съемник	шейкер	пассивная частица
Параметр Squirmer	${\ Displaystyle \ бета <0}$	${\ displaystyle \ beta = 0}$	${\ displaystyle \ beta> 0}$	${\ displaystyle \ beta = \ pm \ infty}$
Затухание скорости в дальнем поле	${\ displaystyle \ mathbf {u} \ propto 1 / r ^ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbf {u} \ propto 1 / r ^ {3}}$	${\ displaystyle \ mathbf {u} \ propto 1 / r ^ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbf {u} \ propto 1 / r ^ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbf {u} \ propto 1 / r}$
Биологический пример	Э. Коли	Парамеций	Chlamydomonas reinhardtii

На приведенных выше рисунках показано поле скорости в лабораторной системе отсчета и в системе отсчета с фиксированными частицами. Гидродинамические дипольные и квадрупольные поля модели squirmer являются результатом поверхностных напряжений из-за ударов ресничек бактерий, химических реакций или теплового неравновесия на частицах Janus. Сквирмер не требует усилия. Напротив, поле скоростей пассивной частицы является результатом внешней силы, ее дальнее поле соответствует «стокслету» или гидродинамическому монополю. Бессиловая пассивная частица не движется и не создает никакого поля потока.

Смотрите также

• Протистское передвижение

использованная литература