Корень квадратный из 3 - Square root of 3
Представления | |
---|---|
Десятичный | 1,73205 08075 68877 2935 ... |
Непрерывная дробь | |
Двоичный | 1,1011 1011 0110 0111 1010 ... |
Шестнадцатеричный | 1.BB67 AE85 84CA A73B ... |
Квадратный корень из 3 является положительным вещественным числом , что при умножении на себя, дает число 3 . Математически это обозначается как √ 3 или 3 1/2 . Его более точно называют главным квадратным корнем из 3 , чтобы отличить его от отрицательного числа с таким же свойством. Квадратный корень из 3 является иррациональным числом . Она также известна как константа Феодора в честь Феодора из Кирены , доказавшего ее иррациональность.
По состоянию на декабрь 2013 года его числовое значение в десятичной системе счисления составляло не менее десяти миллиардов цифр. Его десятичное расширение , записанное здесь до 65 знаков после запятой, дается OEIS : A002194 :
- 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806
Фракция 97/56 (1,732 142 857 ...) можно использовать в качестве приближения. Несмотря на то, что знаменатель всего 56, он отличается от правильного значения менее чем на1/10 000 (примерно 9,2 × 10 −5 ). Округленное значение 1,732 верно с точностью до 0,01% от фактического значения.
Архимед сообщил диапазон его значения: (1351/780)2
> 3> (265/153)2
; нижний предел с точностью до1/608400 (шесть знаков после запятой) и верхний предел до 2/23409 (четыре десятичных знака).
Выражения
Его можно выразить в виде непрерывной дроби [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1,…] (последовательность A040001 в OEIS ).
Так что верно сказать:
тогда когда :
Это также может быть выражено обобщенными непрерывными дробями, такими как
который равен [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1,…] оценивается в каждом втором семестре.
Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к √ 3 :
Мы также можем получить ряд для √ 3, используя произведение Коши следующего ряда для √ 3/2 и √ 2 :
Серия Тейлор
сходится для
-1 ≤ х ≤ 1.
Поскольку x = 2 выходит за пределы этой области сходимости, мы не можем получить ряд для √ 3 таким образом. Однако, поскольку
x = 1/2 и x = 1 находятся в пределах сходимости, имеем следующие замкнутые формы:
Произведение Коши этих двух бесконечных серий:
Доказательство иррациональности
Это доказательство иррациональности √ 3 использует метод бесконечного спуска Ферма :
Предположим, что √ 3 рационально, и выразим его в наименьших возможных терминах (т. Е. Как полностью уменьшенная дробь ) какм/пдля натуральных чисел m и n .
Следовательно, умножение на 1 даст равное выражение:
где q - наибольшее целое число, меньшее √ 3 . Обратите внимание, что числитель и знаменатель умножены на число меньше 1.
Таким образом, умножив числитель и знаменатель, мы получим:
Отсюда следует, что m можно заменить на √ 3 n :
Тогда √ 3 также можно заменить нам/п в знаменателе:
Квадрат √ 3 можно заменить на 3. Посколькум/пумножается на n , их произведение равно m :
Тогда √ 3 можно выразить меньшими терминами, чемм/п (поскольку первый шаг уменьшил размеры как числителя, так и знаменателя, а последующие шаги не изменили их) как 3 н - мк/m - nq, что противоречит гипотезе о том, что м/п был в самых низких условиях.
Альтернативным доказательством этого является предположение, что √ 3 =м/п с участием м/пбудучи полностью снижение фракции :
Умножение на n обоих членов и возведение обоих в квадрат дает
Так как левая часть делится на 3, то же самое и с правой частью, требуя, чтобы m делилось на 3. Тогда m можно выразить как 3 k :
Следовательно, разделив оба члена на 3, мы получим:
Поскольку правая часть делится на 3, то и левая часть делится на 3, а значит, и на n . Таким образом, поскольку и n, и m делятся на 3, у них есть общий делитель им/п не является полностью уменьшенной дробью, что противоречит исходной посылке.
Геометрия и тригонометрия
Квадратный корень из 3 можно найти как длину катета равностороннего треугольника, охватывающего круг диаметром 1.
Если равносторонний треугольник со сторонами длиной 1 разрезать на две равные половины путем деления пополам внутреннего угла пополам, чтобы получился прямой угол с одной стороной, гипотенуза прямоугольного треугольника будет равна единице, а стороны имеют длину1/2 а также √ 3/2. Отсюда тангенс тригонометрической функции 60 ° равен √ 3 , а синус 60 ° и косинус 30 ° равны√ 3/2.
Квадратный корень из 3 также появляется в алгебраических выражениях для различных других тригонометрических констант , включая синусы 3 °, 12 °, 15 °, 21 °, 24 °, 33 °, 39 °, 48 °, 51 °, 57 °, 66 °, 69 °, 75 °, 78 °, 84 ° и 87 °.
Это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами длиной 1. На комплексной плоскости это расстояние выражается как i √ 3, указанное ниже .
Это длина пространственной диагонали единичного куба .
Vesica Piscis имеет большую ось отношения осей малых равную 1: √ 3 , это можно показать путем построения два равносторонних треугольника внутри него.
Квадратный корень из −3
Умножение из √ 3 на мнимую единицу дает корень квадратный из -3 , на мнимое число . Точнее,
(см. квадратный корень из отрицательных чисел ). Это целое число Эйзенштейна . А именно, это выражается как разница между двумя не действительными кубическими корнями из 1 (которые являются целыми числами Эйзенштейна).
Другое использование
Энергетика
В энергетике напряжение между двумя фазами в трехфазной системе равно √ 3- кратному напряжению между фазой и нейтралью. Это потому, что любые две фазы разнесены на 120 °, а две точки на окружности, разнесенные на 120 градусов, разделены на √ 3 радиуса (см. Примеры геометрии выше).
Смотрите также
Примечания
использованная литература
- С., Д .; Джонс, MF (1968). «22900D приближения к квадратным корням из простых чисел меньше 100». Математика вычислений . 22 (101): 234–235. DOI : 10.2307 / 2004806 . JSTOR 2004806 .
- Улер, HS (1951). «Аппроксимация превышая 1300 знаков после запятой для , , и распределения цифр в них» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 37 (7): 443–447. DOI : 10.1073 / pnas.37.7.443 . PMC 1063398 . PMID 16578382 .
- Уэллс, Д. (1997). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin (пересмотренное издание). Лондон: Penguin Group. п. 23.
внешние ссылки
- Константа Теодора в MathWorld
- [1] Кевин Браун
- [2] Э.Б. Дэвис