Квадратная решетка - Square lattice

Квадратные решетки
Квадратная решетка.svg
Прямоугольный
Простой 		диагональный квадрат по
центру
Прямоугольная черепица . Вершины всех квадратов вместе со своими центрами образуют прямую квадратную решетку. Для каждого цвета центры квадратов этого цвета образуют диагональную квадратную решетку, которая в линейном масштабе √2 раз больше, чем прямая квадратная решетка.

В математике , то квадратная решетка представляет собой тип решетки в двумерном евклидовом пространстве . Это двумерная версия целочисленной решетки , обозначенная как Z 2 . Это один из пяти типов двумерных решеток, классифицируемых по группам симметрии ; его группа симметрии в обозначениях IUC как p4m , обозначениях Кокстера как [4,4] и орбифолдах как * 442.

Наиболее распространены две ориентации изображения решетки. Их удобно называть вертикальной квадратной решеткой и диагональной квадратной решеткой; последнюю также называют центрированной квадратной решеткой . Они различаются на угол 45 °. Это связано с тем, что квадратная решетка может быть разбита на две квадратные подрешетки, как это видно из раскраски шахматной доски .

Симметрия

Категория симметрии квадратной решетки - группа обоев p4m. Узор с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка. Вертикальную квадратную решетку можно рассматривать как диагональную квадратную решетку с размером ячейки, который в √2 раз больше, с добавленными центрами квадратов. Соответственно, после добавления центров квадратов вертикальной квадратной решетки мы получаем диагональную квадратную решетку с размером ячеек, который в √2 раз меньше, чем у исходной решетки. Узор с 4-кратной вращательной симметрией имеет квадратную решетку из 4-кратных ротоцентров, которая в √2 раз тоньше и диагонально ориентирована относительно решетки трансляционной симметрии .

Что касается осей отражения, есть три возможности:

  • Никто. Это обои группы p4.
  • По четырем направлениям. Это обои группы p4m.
  • В двух перпендикулярных направлениях. Это обои группы p4g. Точки пересечения осей отражения образуют квадратную сетку, которая имеет такую ​​же тонкость и ориентирована так же, как квадратная решетка из 4-кратных ротоцентров, причем эти ротоцентры находятся в центрах квадратов, образованных осями отражения.
р4, [4,4] + , (442) p4g, [4,4 + ], (4 * 2) p4m, [4,4], (* 442)
Обои групповая диаграмма p4 square.svg Групповая диаграмма обоев p4g square.svg Обои групповая диаграмма p4m square.svg
Группа обоев p4 с расположением в примитивной ячейке 2- и 4-кратных ротоцентров (также применимо для p4g и p4m). Фундаментальный домен обозначен желтым. Группа обоев p4g. Оси отражения идут в двух направлениях, а не через 4-кратные ротоцентры. Группа обоев p4m. Оси отражения проходят в четырех направлениях через 4-кратные ротоцентры. В двух направлениях оси отражения ориентированы так же, как и для p4g, и с такой же плотностью, но смещены. В двух других направлениях они линейно в √2 раз плотнее.

Смотрите также

Рекомендации